『数学と人生のショートカットの技術』 マーカス・デュ・ソートイ 基本書籍 ニューヨーク 著作権 © 2021 マーカス・デュ・ソートイ 表紙デザイン：アン・キルヒナー 表紙画像 © fotogestoeber / Shutterstock.com 表紙著作権 © 2023 ハチェット・ブック・グループ株式会社 ハチェット・ブック・グループは、自由な表現の権利と著作権の重要性を支持します。著作権の目的は、作家やアーティストが私たちの文化を豊かにする創造的な作品を生み出すことを奨励することです。この本を無断でスキャン、アップロード、配布することは、著者の知的財産の盗用にあたります。本書の資料を（レビュー目的以外で）使用したい場合は、permissions@hbgusa.comまでご連絡ください。著者の権利を支持していただき、ありがとうございます。 基本書籍 ハチェット・ブック・グループ 1290 アメリカズ・アベニュー、ニューヨーク、NY 10104 www.basicbooks.com 初版：2021年10月 初のトレードペーパーバック版：2023年9月 基本書籍は、ハチェット・ブック・グループの子会社であるパーセウス・ブックスLLCのインプリントです。基本書籍の名称とロゴは、ハチェット・ブック・グループの商標です。ハチェット・スピーカーズ・ビューローは、さまざまな著者を講演イベントに提供しています。詳細については、hachettespeakersbureau.comをご覧いただくか、HachetteSpeakers@hbgusa.comまでメールしてください。出版社は、出版社が所有していないウェブサイト（またはその内容）について責任を負いません。 図書館の蔵書目録データ 著者名：マーカス・デュ・ソートイ タイトル：『より良い考え方：数学と人生のショートカットの技術』 初版 | ニューヨーク：基本書籍、2021年 | 索引を含む 識別子：LCCN 2021008118 | ISBN 9781541600362（ハードカバー） | ISBN 9781541600379（電子書籍） 主題：数学 | 数学—方法論 | 一般的および包括的なトピック；コレクション—一般的および雑多な特定トピック—数学の普及 | 一般的および包括的なトピック；コレクション—一般的および雑多な特定トピック—数学の方法論 | 一般的および包括的なトピック；コレクション—一般的および雑多な特定トピック—一般的な応用数学 | 一般的および包括的なトピック；コレクション—一般的および雑多な特定トピック—非数学者のための数学（工学、社会科学など） 分類：LCC QA39 .D77 2021 | DDC 510—dc23 LC記録は https://lccn.loc.gov/2021008118 で入手可能 ISBN：9781541600362（ハードカバー）、9781541600379（電子書籍）、9781541604407（ペーパーバック） 目次 表紙 タイトルページ 著作権 献辞 出発 第1章 パターンのショートカット ピットストップ1 音楽 第2章 計算されたショートカット ピットストップ2 スタートアップ 第3章 言語のショートカット ピットストップ3 記憶 第4章 幾何学のショートカット ピットストップ4 旅 第5章 図解のショートカット ピットストップ5 経済学 第6章 微積分のショートカット ピットストップ6 芸術 第7章 データのショートカット ピットストップ7 心理療法 第8章 確率のショートカット ピットストップ8 ファイナンス 第9章 ネットワークのショートカット ピットストップ9 神経科学 第10章 不可能なショートカット 到着 謝辞 著者についてもっと知る 『より良い思考』への称賛 すべての数学教師に、特に私に最初の数学的ショートカットを教えてくれたベイルソン先生に感謝を。 本書では、あなたに選択肢があります。明らかな道は長く、途中に美しい景色もなく、時間がかかり、全てのエネルギーを奪われるでしょうが、最終的には目的地にたどり着くことができます。しかし、もう一つの道があります。それは、主な道から外れているように見え、目的地から遠ざかるように思えるため、鋭い目を持っていないと見逃してしまうかもしれません。しかし、そこには「ショートカット」と書かれた標識があります。これは、より早く、最小限のエネルギーで目的地に到達できるオフロードのルートを約束しています。途中で素晴らしい景色が見られる可能性もあるかもしれません。ただし、この道を進むには、しっかりとした判断力が必要です。選択はあなた次第です。この本は、その第二の道を指し示しています。これは、あなたがこの非伝統的なルートを交渉し、行きたい場所にたどり着くために必要なより良い思考へのショートカットです。ショートカットの魅力が、私が数学者になりたいと思った理由でした。怠け者のティーンエイジャーだった私は、常に目的地への最も効率的な道を探していました。手抜きをしたいわけではなく、できるだけ少ない努力で目標を達成したかったのです。だから、12歳の時に数学の先生が学校で学んでいた内容が実はショートカットを祝うものであると教えてくれたとき、私は興味を持ちました。話は、9歳の少年カール・フリードリヒ・ガウスを主人公にしたシンプルな物語から始まります。私たちの先生は、1786年にハノーファー近くのブラウンシュヴァイクの町に私たちを連れて行きました。そこは小さな町で、地元の学校には一人の教師、ビュットナー氏しかおらず、彼は町の100人の子供たちを一つの教室で教えなければなりませんでした。私の先生、ベイルソン氏は厳格なスコットランド人で、厳しい規律を守っていましたが、ビュットナー氏と比べると優しい方のように思えました。ガウスの教師は、騒がしいクラスの中で規律を保つために、杖を振り回しながらベンチの間を行き来していました。教室自体は、最近の数学的巡礼で訪れた際、薄暗く、天井が低く、光が少なく、床が不均一な、まるで中世の監獄のような部屋でした。ビュットナー氏の厳しい教育方針は、その環境にぴったり合っているように感じました。物語によれば、ある算数の授業中にビュットナー氏は、クラスを長時間占有させるために、かなり退屈な課題を出すことに決めました。「クラスのみんな、1から100までの数字をスレートに足し算してください。終わったら、スレートを前に持ってきて、私の机の上に置いてください。」 彼がその文を終える前に、ガウスは立ち上がり、自分のスレートを机の上に置いて、低地ドイツ語で「Ligget se（そこにある）」と宣言しました。教師はその少年の生意気さに驚き、彼を見つめました。杖を持つ手は期待に震えていましたが、彼は若きガウスを叱る前に、全ての生徒がスレートを提出するのを待つことにしました。やがてクラスが終わり、ビットナーの机はチョークと計算式で覆われたスレートの山となりました。ビットナーはその山を一つずつ調べ始め、上に置かれた最後のスレートから手をつけました。ほとんどの計算は間違っており、生徒たちは必ずどこかで算数のミスをしていました。ついに彼はガウスのスレートにたどり着きました。若い生意気者に対する叱責の準備をしていた彼でしたが、スレートをひっくり返すと、そこには正しい答え：5050が書かれていました。そして、余計な計算はありませんでした。ビットナーは驚愕しました。この9歳の少年がどうしてこんなに早く答えを見つけたのか？伝説によれば、この早熟な学生は、実際に多くの算数をする手間を省くための近道を見つけたのです。彼が気づいたのは、数字をペアで足すと、1+100、2+99、3+98のように、各ペアの答えは常に101になるということでした。そして、ペアは50組あるため、答えは50×101＝5050となるのです。この話を聞いて、私は衝撃を受けました。ガウスがこの面倒で労力のかかる作業を短縮する方法を見出したことは、まさに啓示でした。ガウスの教室での近道の話はおそらく伝説に過ぎないかもしれませんが、それでも数学が単なる面倒な計算ではなく、戦略的思考を伴うものであることを美しく表現しています。「それが、私の愛する学生たち、数学です」と、教師はガウスの話の終わりに宣言しました。「近道の技術です。」私の12歳の自分は思いました。「もっと教えて！」 さらに早く進むために 人間は常に近道を使います。そうしなければなりません。決定を下すための時間は限られていますし、複雑な問題を解決するための精神的なキャパシティも限られています。人間が複雑な課題を解決するために開発した最初の戦略の一つが、ヒューリスティックスの概念です。これは、脳に入ってくる情報の一部を意識的または無意識的に無視することで、問題をより単純にするプロセスです。しかし、ほとんどのヒューリスティックスは、悪い判断や偏った決定を導くことが多く、一般的には仕事をこなすには不十分です。私たちは経験から一つのことを知っていて、それを基に他の問題に当てはめようとすることがあります。私たちは、局所的な知識からグローバルな判断を下します。これは、私たちの環境が住んでいた小さなサバンナの地域を超えない時には問題ありませんでした。しかし、私たちの周囲が広がるにつれて、これらのヒューリスティックスは、私たちの地元の知識を超えて物事がどのように機能するかを理解するための良い方法を提供しなくなりました。これが、私たちがより良い近道を開発し始めなければならなかった瞬間です。 これらの道具は、今日私たちが数学と呼ぶものです。良いショートカットを見つけるには、自分が移動しようとしている地理的な状況から一歩引いて考える能力が必要です。もしあなたがその風景の中にいると、周囲に見えるものだけに頼ることが多くなります。各ステップは正しい方向に進んでいるように感じるかもしれませんが、その道の累積的な結果は、目的地に向かうのに遠回りさせたり、完全に道を外れさせたりすることがあります。だからこそ、人間はより良い思考方法を発展させました。目の前の作業の細部から離れ、目的地により早く、効率的に到達するための予期しない道があるかもしれないことを理解する能力です。これは、ガウスが教師から出された課題に取り組んだときに示したことです。他の生徒たちが一つの数字から次の数字へと進み、出会った新しい数字を足し算している間、ガウスは問題全体を俯瞰し、旅の始まりと終わりを利用する方法を理解しました。数学は、以前は無秩序に曲がりくねった道しか見えなかったところに構造を見出すための高次の思考を使う能力に関するものです。自分をその風景から引き離し、高いところから真の地形を見下ろすことができるのです。このように問題をマッピングすることでショートカットが生まれます。そして、物理的にそれに遭遇することなく心の目で構造を見る能力を活用し始めると、この抽象的思考の能力は人類文明の驚異的な進歩を何世紀にもわたって引き起こしました。より良い思考への旅は、五千年前にナイル川とユーフラテス川の周辺で始まりました。人間は、これらの川に沿って栄えていた都市国家をより巧妙に築く方法を見つけたかったのです。ピラミッドを建てるためには何ブロックの石が必要か？都市を養うためにどれだけの土地を耕作する必要があるか？川の高さの変化は、洪水の前触れを示す指標となるのか？これらの課題を解決するためのショートカットを見つける道具を持っていた者が、これらの新興社会で名を馳せました。数学がこれらの文明の急速な発展へのショートカットとして成功したことで、この分野はより早く進むことを望む人々にとって強力なツールとして位置づけられました。文明の変革は、新しい数学の発見によって何度も引き起こされました。ルネサンス以降の数学の爆発は、微積分などの道具を私たちに提供し、科学者たちに効率的な工学的解決策への驚異的なショートカットをもたらしました。そして今日、数学は私たちのコンピュータ上で実装されているすべてのアルゴリズムの背後にあり、現代のデジタルジャングルを通じて私たちを助けるショートカットを提供しています。目的地への最適なルート、インターネット検索のための最良のウェブサイト、さらには人生の旅を共にする最適なパートナーを見つける手助けをしています。しかし、興味深いことに、人間が挑戦に取り組む最良の方法を見つけるために数学の力を利用した最初の存在ではなかったという点も注目に値します。 自然は私たちが到着するずっと前から、問題を解決するための数学的なショートカットを使ってきました。物理学の多くの法則は、自然が常にショートカットを見つけることに基づいています。光は、太陽のような大きな物体の周りを曲がることになっても、最も早く目的地に到達する道を進みます。石鹸の膜は、エネルギーを最も少なく消費する形を作り出します。バブルは球体を形成しますが、この対称的な形が最小の表面積を持ち、したがって最小のエネルギーコストで済むからです。蜂は巣の中に六角形の巣房を作りますが、六角形は固定された面積を囲むのに最も少ないワックスを使用します。私たちの体も、A地点からB地点へ移動するための最もエネルギー効率の良い歩き方を見つけています。自然は人間と同じように怠惰で、エネルギーコストの低い解決策を見つけたがります。18世紀の数学者ピエール＝ルイ・モペルチュイは「自然はそのすべての行動において倹約的である」と書きました。自然はショートカットを見つけるのが非常に得意で、必ず数学的な理由があります。そしてしばしば、人間がショートカットを発見するのは、自然が問題を解決する様子を観察することから生まれます。 この本では、ガウスのような数学者たちが何世紀にもわたって発展させてきたショートカットの武器庫を皆さんと共有したいと思います。各章では、それぞれ異なる種類のショートカットを紹介し、その特有の味わいをお届けします。しかし、すべてのショートカットの目的は、問題を解くために苦労しなければならない人から、他の誰よりも早く答えを提出できる人へと変身させることです。私はこの旅の伴侶としてガウスを選びました。彼の教室での成功は、彼をショートカットの王子として際立たせるキャリアの始まりでした。実際、彼の生涯における数々の突破口は、私が本書で紹介するさまざまなショートカットにわたっています。 数学者たちが何世紀にもわたって蓄積してきたショートカットの物語を語ることで、この本が、何かをするのにかかる時間を節約し、より刺激的なことにもっと時間を使いたい人々のためのツールキットとなることを願っています。これらのショートカットは、最初は数学的に見えない問題にも応用できることが多いです。数学は、複雑な世界をナビゲートし、向こう側への道を見つけるための考え方です。だからこそ、数学は教育課程の中で核心的な科目として位置づけられるべきなのです。二次方程式を解く方法を全員が知っていることが絶対に必要だからではなく、正直なところ、誰がそれを知る必要があるのでしょうか。重要なのは、代数やアルゴリズムがそのような問題を解決する際に果たす力を理解することです。 より良い思考への旅は、数学者たちが開発した最も強力なショートカットの一つ、パターンから始まります。パターンはしばしば最良のショートカットです。パターンを見つければ、未来にデータを続けるためのショートカットを見つけたことになります。この基礎的なルールを見抜く能力が、数学的モデリングの基盤となります。 しばしば、ショートカットの役割は、一見無関係な問題の背後にある基本的な原則を理解することです。ガウスのショートカットの美しさは、たとえ教師が1000や100万までの数字を足すように難しくしようとしても、そのショートカットが機能することです。一つずつ数字を足していくと、時間がかかるようになりますが、ガウスのトリックは、足す数字の数が増えても影響を受けません。100万までの数字を足すには、再びペアにして（1 + 1,000,000、2 + 999,999…）500,000組を作り、それぞれが1,000,001になるようにします。これらを掛け算すると（500,000 x 1,000,001）、はい、答えが得られます。山が高くなっても、山を貫通するトンネルは影響を受けません。言語を創造し、変える力は、非常に効果的なショートカットであることがわかります。代数は、さまざまに見える問題の背後にある基本的な原則を認識する手助けをします。座標の言語は、幾何学を数値に変え、幾何学的な設定では見えなかったショートカットを明らかにすることがよくあります。言語を創造することは、理解を深めるための素晴らしいツールです。私は、非常に複雑な設定に取り組んでいたとき、たくさんの条件を整理する必要がありました。私の博士課程の指導教官が「名前を付けてみてはどうか」と提案したことは、まさに啓示でした。それは本当に思考をショートカットする助けになりました。ショートカットのアイデアを話すと、必ず誰かが私が何らかの形でごまかそうとしていると思います。「カット」という言葉は、手抜きをしているように聞こえるので、最初からショートカットと手抜きを区別することが重要です。私は、正しい解決策に到達するための賢い道に興味があります。粗悪な近似を見つけることには興味がありません。私は完全な理解を求めていますが、無駄な労力は避けたいのです。とはいえ、いくつかのショートカットは、問題を解決するのに十分な近似に関するものです。ある意味で、言語自体がショートカットです。「椅子」という言葉は、私たちが座ることができるさまざまなものを指すショートカットです。しかし、椅子の具体的な例ごとに異なる言葉を考え出すのは効率的ではありません。言語は、周囲の世界を効率的に伝達し、私たちが住む多面的な世界を進む手助けをする非常に巧妙な低次元の表現です。複数の事例に対する単語のショートカットがなければ、私たちは雑音に圧倒されてしまいます。数学においても、情報を捨てることがショートカットを見つけるためにしばしば不可欠であることを明らかにします。トポロジーの概念は、測定なしの幾何学です。ロンドン地下鉄にいるとき、駅がどのように接続されているかを示す地図は、幾何学的に正確な地図よりもロンドンを移動するのにずっと役立ちます。図もまた強力なショートカットです。最良の図は、問題を解決するために不要なものを捨てることが多いです。しかし、私が言いたいのは… 良いショートカットと手抜きの危険性の間には、しばしば微妙な線引きがあります。微積分は、人間がショートカットを見つけるために発明した偉大なものの一つです。多くのエンジニアは、この数学の魔法を利用して、工学的な課題に対する最適な解決策を見つけています。確率と統計は、大規模なデータセットについて多くのことを知るためのショートカットとなります。また、数学は複雑な幾何学や絡み合ったネットワークを通る最も効率的な道を見つける手助けをしてくれることがよくあります。私が数学に魅了されたときに感じた驚くべき発見の一つは、無限をナビゲートするためのショートカットを見つける能力です。無限の道の一端から他端へと移動するためのショートカットです。 各章は、エピグラムではなくパズルから始まります。これらのパズルはしばしば選択を伴います：長い道のりを進むか、もし見つけられればショートカットを使うかです。各パズルには、その章の中心にあるショートカットを活用した解決策があります。章を読む前に挑戦する価値があり、目的地に到達するために費やした時間が長ければ長いほど、ショートカットが明らかになったときの感謝の気持ちが増すことがよくあります。私自身の旅で発見したのは、ショートカットにはさまざまな種類があるということです。このため、私はこれから始める旅に対して取ることができる複数のアプローチを強調し、最も効果的なショートカットを使うことで目的地により早く到達できることを示します。 私たちが利用できるショートカットは、すでにその地形に待ち受けています。ただし、正しい方向を指し示す標識や道を示す地図が必要かもしれません。多くの努力をして切り開かなければ存在しないショートカットもあります。例えば、何年もかけて掘るトンネルのように、一度できてしまえば他の人もその先へと進むことができるのです。また、現在の空間から完全に脱出することを必要とするショートカットもあります。宇宙の片側からもう片側へのワームホールや、現実の世界の枠を超えれば二つの物事が想像以上に近いことを示す余分な次元のようにです。物事を加速させるショートカット、移動距離を短縮するショートカット、必要なエネルギーを減らすショートカットもあります。どこかに、ショートカットを見つける価値のある節約が存在します。 しかし、ショートカットが本質を見失うこともあると認識しています。もしかしたら、あなたは時間をかけたいのかもしれません。もしかしたら、旅そのものが重要なのかもしれません。体重を減らすためにエネルギーを使いたいのかもしれません。自然の中を歩くのに、ショートカットを使って帰ることでその楽しみを削ぐのはなぜでしょうか？なぜ小説を読むのではなく、ウィキペディアの要約を読むのでしょうか？ですが、たとえ無視することに決めたとしても、ショートカットの選択肢があることを知っておくのは良いことです。ショートカットは、ある程度私たちの時間との関係についてのものです。あなたは自分の時間を何に使いたいですか？ 時には、何かを体験することが重要であり、その感情を奪うような近道を見つけることにはほとんど価値がありません。音楽を聴くことは近道できません。それには時間がかかります。しかし、他の場面では、人生はあまりにも短いため、目的地にたどり着くのに時間をかけることはできません。映画は人生を90分に凝縮することができ、追っているキャラクターのすべての行動を目撃したいわけではありません。世界の反対側に飛行機で行くことは、そこまで歩くための近道であり、休暇を早く始めることができます。もし飛行時間をさらに短縮できるなら、あなたはそうするでしょう。しかし、時には人々が目的地に到達するためのゆっくりとしたバージョンを体験したいと思うこともあります。たとえば、巡礼は近道を嫌います。また、私は映画の予告編を見ません。なぜなら、それは映画をあまりにも短縮してしまうからです。しかし、選択肢があることは依然として価値があります。文学における近道は、常に災難へとつながる道です。赤ずきんは、森の中で近道を探して道を外れなければ、決してオオカミに出会うことはなかったでしょう。バニアンの『天路歴程』では、困難の丘を近道した者たちは迷子になり、滅びてしまいます。『指輪物語』では、ピピンが「近道は長い遅れを生む」と警告します（ただし、フロドは宿屋がさらに長い遅れを生むと反論します）。ホーマー・シンプソンは、イッチーとスクラッチーランドへの道中の悲惨な迂回の後に、「二度と近道について話さないようにしよう」と誓います。近道を取ることに内在する危険は、映画『ロード・トリップ』でうまくまとめられています。「もちろん難しい、それは近道だから。簡単だったら、それはただの『道』だろう。」この本は、これらの文学的なトロープから近道の概念を救い出そうとしています。災難への道ではなく、近道は自由への道なのです。 人間対機械 この本を書こうと思ったきっかけの一つは、人類が近道を必要としない新しい種に取って代わられようとしているという認識がますます一般的になっていることです。私たちは今、コンピュータが午後の間に私が一生でできるよりも多くの計算を行うことができる世界に生きています。コンピュータは、私が一冊の小説を読むのにかかる時間で、世界文学をすべて分析することができます。コンピュータは、私が頭の中で保持できる数手のチェスの動きよりも、はるかに多くのチェスのバリエーションを分析できます。コンピュータは、私が角の店に歩いて行くのにかかる時間よりも早く、地球上の輪郭や道筋を探ることができます。今日のコンピュータは、ガウスの近道を思いつくでしょうか？目を瞬きする間のさらに短い時間で、1から100までの数字を足し算できるのに、なぜそれを気にするでしょうか？人類がこの驚異的な速度とほぼ無限の記憶を持つシリコンの隣人に追いつく希望はどこにあるのでしょうか。映画『Her』の中で、コンピュータは人間の所有者に対して、人間の相互作用のペースがあまりにも遅いため、自分の思考の速度に匹敵する他のオペレーティングシステムと過ごすことを好むと宣言します。 コンピュータは人間が操作する速度を、山が形成されては侵食される遅いペースを見つめるように観察します。しかし、人間には何か特別な利点があるのかもしれません。コンピュータと比べて、人間の脳が同時に計算を行う能力には限界があり、また機械ロボットの力に対して人間の身体には物理的な欠点があります。このため、人間はコンピュータやロボットが簡単だと考えるすべてのステップを避ける方法がないか、立ち止まって考えることを余儀なくされます。人間は、手の届かないように見える山に直面したとき、むしろ近道を探し始めます。山の頂上を越えようとするのではなく、もしかしたら回り道があるのではないでしょうか。そして、しばしばその近道が問題を解決する本当に革新的な方法へと導いてくれます。コンピュータがデジタルの力を発揮しながら突き進む一方で、人間は巧妙な近道を使ってゴールに忍び寄ります。怠け者たち、注目してください。私は怠惰が私たちの救いであり、機械の猛攻から私たちを守るものだと思います。人間の怠惰は、新しい方法を見つける上で非常に重要な要素です。コンピュータが問題に直面したとき、私たちはそれがどう反応するかを知っています。「私はこれらの計算ツールを持っているから、問題を力任せに解決できる」と。しかし、私はしばしば問題を見て、「これはあまりにも複雑すぎる—少し引いて近道を考えてみよう」と思います。コンピュータは疲れを知らず、怠けることもないため、私たちの怠惰が導くものを見逃すかもしれません。コンピュータのように問題を力で押し通すことができない私たちは、巧妙な方法を見つけることを余儀なくされます。革新や進歩が怠惰や困難な作業を避けたいという欲求から生まれたという話は数多くあります。科学的発見は、しばしばアイデアが浮かばない状態から生まれます。化学者オーギュスト・ケクレは、眠りに落ちて自分の尾を飲み込む蛇の夢を見た後、ベンゼン分子の環状構造を思いついたと言われています。偉大なインドの数学者スリニヴァーサ・ラマヌジャンは、夢の中で家族の女神ナマギリが方程式を書いていると語っていました。彼はこう回想しています。「私はすっかり集中しました。その手がいくつかの楕円積分を書きました。それは私の心に残りました。目が覚めるとすぐに、それを書き留めました。」ゼネラル・エレクトリックの会長兼CEOであったジャック・ウェルチは、毎日1時間を「窓の外を見る時間」と呼んで過ごしました。新しい発明は、面倒な方法で物事をする気になれない誰かから生まれることが多いのです。怠惰は何もしないことを意味するわけではありません。そして、これは非常に重要なポイントです。近道を見つけることは、しばしばハードワークを必要とします。これは一種の逆説です。近道を見つける動機は、退屈な作業を避けたいという欲求から来るかもしれませんが、あるいは無為がもたらす退屈に対処するためかもしれませんが、その結果として深い思考の激しい時間が生まれることが多いのです。 怠惰と退屈の間には微妙な境界があり、これがしばしば労力を伴うショートカットを求めるきっかけとなります。オスカー・ワイルドが書いたように、「何もしないことが世界で最も難しいことであり、最も難しく、最も知的なことです。」何もしないことは、しばしば大きな精神的進歩の前触れとなります。2012年に『心理科学の視点』に発表された「休息は怠惰ではない」という論文は、私たちの神経処理のデフォルトモードが認知能力にどれほど重要であるかを示しています。このモードは、私たちの注意が外の世界に過度に集中しているときには抑制されがちです。最近のマインドフルネスへの関心の高まりは、心を静めることが啓発への道であることを示唆しています。しばしば、それは仕事よりも遊びを好むことを意味します。しかし、遊びは創造性や新しいアイデアを育む場でもあります。そのため、スタートアップや数学部のオフィスには、デスクやコンピュータだけでなく、ビリヤード台やボードゲームが置かれていることが多いのです。おそらく、社会が怠惰を非難するのは、従わないことを好む人々を制御し、抑制する方法の一つです。怠惰な人が疑いの目で見られる本当の理由は、怠惰がゲームのルールに従う準備ができていない人の印だからです。ガウスの教師は、生徒が苦労をするためのショートカットを見て、自分の権威への脅威と捉えました。怠惰は常に忌避されてきたわけではありません。サミュエル・ジョンソンは、怠惰を非常に雄弁に擁護しました。「怠け者は、しばしば無駄な労働から逃れるだけでなく、時には手の届く範囲のすべてを軽蔑する人々よりも成功することがあります。」アガサ・クリスティも自伝の中で、「私の意見では、発明は直接的に怠惰から生じ、時には怠惰からも生じます。自分の手間を省くために。」と認めています。ベーブ・ルースは、野球史上最も優れたホームラン打者の一人ですが、彼は塁間を走るのが嫌だったため、ボールをスタジアムの外に打ち出すことに動機づけられたと言われています。ホームランを打つと、彼は塁を回るのに時間をかけることができたのです。 仕事を選ぶことについて、私はすべての仕事が悪いとは言いたくありません。実際、多くの人々は自分の仕事から大きな価値を得ています。それは彼らのアイデンティティを定義し、目的を与えます。しかし、仕事の質は重要です。一般的に、私たちが価値を見出す仕事は、退屈で無意味な作業の連続ではありません。アリストテレスは、自己目的のために行われる行動である「プラクシス」と、何か有用なものを生産することを目的とした活動である「ポイエーシス」の2種類の仕事を区別しました。私たちは後者の仕事においてショートカットを探すことを喜んで行いますが、もしその仕事自体を行うことに喜びがあるなら、ショートカットを追い求める意味はあまりありません。ほとんどの仕事は後者のカテゴリーに分類されるようです。しかし、理想は第一の種類の仕事を目指すことです。ショートカットは、あなたをその方向へ導こうとしています。ショートカットは仕事を排除することではなく、意味のある仕事への道を示そうとしているのです。 新しい政治運動「完全自動化された贅沢共産主義」の背後にある原則は、AIやロボティクスの進歩により、機械が私たちの単純な仕事を引き受けてくれることで、私たちが意味のある仕事に没頭する時間が生まれるというものです。仕事は贅沢なものになります。良いショートカットの育成は、目的のためではなく楽しみのために行われる仕事の未来へと私たちを導く技術のリストに加えるべきです。これはマルクスが共産主義に求めた目標でもありました：レジャーと仕事の違いをなくすことです。「共産主義社会のより高い段階では…労働は単なる生活手段ではなく、生活の最も重要な欲求となる。」私たちが作り出したショートカットは、マルクスが「必要の領域」と呼んだものから私たちを遠ざけ、「自由の領域」へと導くことを約束しています。しかし、ハードワークから逃れられない場所もあります。怠け者が楽器を学ぶにはどうすればいいのでしょうか？小説を書くには？エベレストに登るには？それでも、ここでもショートカットが、デスクやトレーニングで費やす時間の価値を最大化する手助けをする方法を示します。この本は、高い成果を上げている人々との会話を交えながら、彼らの職業においてショートカットが可能かどうか、またはマルコム・グラッドウェルが言うように、プロフェッショナルの頂点に達するために必要な一万時間の練習を避けられないのかを探ります。人々が見出したショートカットが、私が数学で学んだものと共鳴するのか、それとも私が気づいていない新しいタイプのショートカットが存在し、それが私自身の仕事に新たな思考のモードを促すのかに興味を持っています。しかし、ショートカットが不可能な挑戦にも魅了されています。なぜ特定の人間活動の領域ではショートカットの力が制約されるのでしょうか？何度も繰り返されることですが、人間の身体がしばしば制限要因となることがわかります。人間の身体を変えたり、訓練したり、新しいことをさせたりするには、しばしば時間と反復が必要であり、その身体的変化を加速するショートカットは存在しません。ですので、数学者たちが発見したさまざまなショートカットの旅にあなたを連れて行く中で、各章には人間活動の異なる分野におけるショートカット、またはそれがないことを探るためのピットストップが含まれています。ガウスが1から100までの数字を足す際に巧妙なショートカットを使って成功したことは、彼の数学的才能を追求する欲望をかき立てました。彼の教師であるビュットナー氏は、若き数学者を育てるには力不足でしたが、17歳の助手マルティン・バルテスは数学に対して同じように情熱を持っていました。バルテスは学生のために羽ペンを切り、彼らの初めての書き取りを手伝うために雇われていましたが、若きガウスに数学のテキストを喜んで共有しました。二人は数学の領域を共に探求し、代数や解析が提供するショートカットを楽しみながら目的地に到達しました。バルテスはすぐに、ガウスが自分のスキルを試すためにより挑戦的な環境が必要であることに気づきました。 彼はガウスにブラウンシュヴァイク公との面会を取り持つことに成功しました。公は若きガウスに非常に感銘を受け、彼の後援者になることを決め、地元の大学やゲッティンゲン大学での教育資金を提供しました。ここでガウスは、数学者たちが何世紀にもわたって開発してきた素晴らしいショートカットのいくつかを学び始め、これが彼自身の数学への刺激的な貢献の出発点となるのです。この本は、2000年にわたる優れた思考のガイドとして私が厳選したものです。これらの巧妙なトンネルや隠れた通路を通り抜ける方法を学ぶのに数十年を要しましたが、歴史の中の数学者たちがそれらを組み合わせるのに何千年もかかりました。しかし、この本では、私たちが日常生活で直面する複雑な問題に取り組むためのいくつかの巧妙な戦略を抽出しようとしました。これは、ショートカットの技術への近道です。 第1章 パターンのショートカット | パズル: あなたの家には10段の階段があります。一度に1段または2段のステップを踏むことができます。例えば、10回1段ずつ上がるか、5回2段ずつ上がるか、あるいは1段と2段を組み合わせることができます。頂上に到達するための異なる組み合わせは何通りあるでしょうか？ | あなたは長い方法で全ての組み合わせを見つけようと階段を上り下りすることもできますが、若きガウスならどうするでしょうか？同じ仕事をしているのに、15％の給料を増やすためのショートカットを知りたいですか？あるいは、小さな投資を大きな資産に育てるためのショートカットは？今後数ヶ月で株価がどのように動くかを理解するためのショートカットはどうでしょう？何度も同じことを繰り返しているように感じることはありませんか？しかし、あなたが作っているこれらの異なる車輪をつなぐ何かがあると感じていますか？ひどい記憶力を助けるためのショートカットは？私は、私たち人間が発見した最も強力なショートカットの一つを共有します。それはパターンを見つける力です。私たちの周りの混沌の中でパターンを見抜く人間の能力は、私たちの種に未来を知るという驚くべきショートカットを提供してきました。過去と現在を説明するデータの中にパターンを見つけることができれば、そのパターンをさらに拡張することで未来を知るチャンスが得られます。待つ必要はありません。パターンの力は、私にとって数学の核心であり、最も効果的なショートカットです。パターンは、数字が異なっていても、それらが成長するルールは同じであることを見せてくれます。パターンの背後にあるルールを見抜くことで、私は新しいデータセットに出会うたびに同じ作業を繰り返す必要がなくなります。パターンが私の代わりにその作業をしてくれるのです。経済学は、正しく読み取れば私たちを繁栄した未来へと導くパターンを持つデータで満ちていますが、2008年の金融危機で世界が目撃したように、一部のパターンは誤解を招くこともあることを説明します。 ウイルスに感染する人々の数のパターンを分析することで、パンデミックの進行状況を理解し、過度の死者を出す前に介入することが可能になります。また、宇宙のパターンを理解することで、私たちは過去と未来を知ることができます。星々が私たちから遠ざかる様子を示す数値を見つめることで、宇宙がビッグバンから始まり、熱的死という冷たい未来で終わることを示すパターンが明らかになりました。この天文学的データの中にパターンを見つけ出す能力が、若きガウスを世界の舞台に押し上げ、彼を「ショートカットの達人」として知らしめたのです。 **惑星のパターン** 1801年の元日、火星と木星の間で太陽の周りを公転する第8の惑星が発見されました。その名はケレスと名付けられ、19世紀初頭の科学の未来にとって大きな前兆と見なされました。しかし、数週間後にはその小さな惑星（実際には小さな小惑星でした）が太陽の近くで見えなくなり、無数の星の中に埋もれてしまったため、興奮は絶望に変わりました。天文学者たちはその行方を全く見当もつきませんでした。すると、ブラウンシュヴァイク出身の24歳の青年が、行方不明の惑星を見つける方法を知っていると発表したというニュースが届きました。彼は天文学者たちに望遠鏡をどこに向けるべきかを教えました。そして、まるで魔法のように、そこにケレスが現れました。その若者こそ、私の英雄であるカール・フリードリッヒ・ガウスでした。9歳の時に教室で成功を収めたガウスは、その後も数々の魅力的な数学的発見を成し遂げ、直線定規とコンパスだけを使って17角形を描く方法を発見しました。この課題は、古代ギリシャ人が幾何学的形状を描く巧妙な方法を見つけ始めてから2000年もの間、未解決のままでした。彼はこの偉業を誇りに思い、数学の日記を始め、その後の数年間にわたり、数や幾何学に関する驚くべき発見を記録しました。しかし、今ガウスを魅了していたのは、この新しい惑星から得られたデータでした。ケレスが太陽の後ろに消える前に取られたデータの中に、現在の位置を示すパターンを見つける方法はあるのだろうか？最終的に彼はその秘密を解き明かしました。もちろん、彼の偉大な天文学的予測は魔法ではなく、数学でした。天文学者たちは偶然に惑星を発見したのです。ガウスは、惑星の位置を示す数値の背後にある基本的なパターンを数学的分析を用いて解明し、次に何をするかを知ることができました。もちろん、ガウスが宇宙の動的なパターンを見つけたのは彼が初めてではありません。天文学者たちは、未来と過去がつながっていることを理解して以来、変化する夜空をナビゲートするためのこのショートカットを使って予測を立て、未来を計画してきました。季節のパターンは、農民が作物を植える時期を計画するのに役立ちました。各季節は特定の星の配置に対応していました。 動物の移動や交配の行動パターンを理解することで、初期の人類は最も効率的なタイミングで狩りを行い、最小限のエネルギーで最大の利益を得ることができました。日食を予測できる能力は、部族内での予測者の地位を高めました。実際、クリストファー・コロンブスは、1503年にジャマイカに取り残された際、地元の住民に捕らえられたときに、迫る月食の知識を利用して乗組員を救ったことで有名です。月の消失を予測する彼の能力に地元の人々は驚嘆し、彼の自由を求める要求に応じました。 次の数字は何でしょう？私にとって、パターンを探すという挑戦は、学校でよく出された問題に完璧に表現されています。それは、数列が与えられ、その次の数字を求めるというものです。私は、先生が黒板に書いた課題が大好きでした。パターンを見つけるのに時間がかかればかかるほど、そのショートカットを発見する喜びは大きくなりました。これは私が早い段階で学んだ教訓です。最良のショートカットは、しばしば見つけるのに時間がかかります。それを掘り出すには努力が必要ですが、一度明らかになると、それは世界を見るためのレパートリーの一部となり、印刷機や機械織機の発明のように、何度も繰り返し利用できるツールとなります。 さて、あなたのパターンショートカットの神経を刺激するために、いくつかの挑戦を用意しました。この数列の次の数字は何でしょうか？1, 3, 6, 10, 15, 21... それほど難しくはありません。毎回別の数字を足していることに気づいたでしょう。したがって、次の数字は28です。なぜなら、21に7を足すからです。これらは三角数と呼ばれ、三角形を作るために必要な石の数を表しています。毎回新しい行を追加していくのです。しかし、前の99の数字をすべて計算せずに、このリストの100番目の数字を見つけるショートカットはあるのでしょうか？これは実際、ガウスが教師から1から100までの数字を足す課題を与えられたときに直面した挑戦です。ガウスは、数字をペアで足し合わせるという巧妙なショートカットを見つけて答えを得ました。一般的に、n番目の三角数を求める場合、ガウスのトリックは次の式に変換されます：1/2 × n × (n + 1)。 これらの三角数は、ガウスがビュットナー先生の授業で初めて出会った後も彼を魅了し続けました。実際、1796年7月10日の彼の数学日記の一つには、ギリシャ語で「ユリカ！」と興奮して宣言し、その後に式 num = A + tAt + A が続きます。ガウスは、すべての数字は三つの三角数を足し合わせて表すことができるという非常に特異な事実を発見しました。例えば、1796 = 10 + 561 + 1225 です。 このような観察は、強力な近道につながることがあります。なぜなら、すべての数に対して何かが真であることを証明する代わりに、三角数に対してそれを証明するだけで済むかもしれず、さらにガウスの発見を利用することで、すべての数は三角数の和であることがわかります。さて、もう一つの挑戦です。この数列の次の数は何でしょうか？1, 2, 4, 8, 16... あまり難しくありませんね。次の数は32です。この数列は毎回倍になっています。これは指数的成長と呼ばれ、このパターンは多くの物事の成長の仕方を支配しており、このようなパターンがどのように進化するかを理解することが重要です。例えば、この数列は最初は非常に無邪気に見えます。インドの王がチェスのゲームの創造者に要求された価格を支払うことに同意したとき、彼もそう思ったことでしょう。発明者は、チェスボードの最初のマスに1粒の米を置き、その後の各マスにおいて米の粒数を倍にするように求めました。最初の行は非常に無邪気に見え、合計で1+2+4+8+16+32+64+128=255粒の米しかありません。寿司一貫分にも満たない量です。しかし、王の召使いたちがボードに米をどんどん追加していくと、すぐに供給が尽きてしまいました。半分の地点に到達するには約280,000kgの米が必要です。そして、それはボードの簡単な半分に過ぎません。王は発明者に支払うために合計で何粒の米が必要なのでしょうか？一見すると、これはビュットナー先生が可哀想な生徒たちに出すような問題の一つに見えます。これを解くには、64個の異なる数を足し合わせるという難しい方法があります。誰がそんな大変な作業をしたいと思うでしょうか？ガウスはこのような挑戦にどのように取り組むでしょうか？この計算を行うための美しい近道がありますが、一見するとその近道は逆方向に進んでいるように見えます。まず、米の粒の合計に名前を付けましょう：xです。これは数学でお気に入りの名前の一つであり、数学者の武器庫において強力な近道でもあります。私は、計算しようとしている量を倍にすることから始めます： 2x(1+2+4+8+16+...+292+263) これを見ると、生活が難しくなったように見えます。しかし、私についてきてください。これを展開してみましょう： =2+4+8+16+32+...+293+264 ここからが賢い部分です。私はこれからxを引きます。一見すると、元の状態に戻ったように見えます：2x - x = x。これがどう役立つのでしょうか？少し魔法が起こります。2xとxを私が持っている合計に置き換えると： 2x - x = (2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... + 263 + 264) - (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... + 262 + 263) ほとんどの項がキャンセルされます！最初の部分には2^0があり、2番目の部分には1が残ります。したがって、私が残るのは x = 2x - x = 264 - 1 たくさんの計算をする代わりに、この一つの計算をするだけで、王がチェスの発明者に支払うために必要な米の粒の総数は 18,446,744,073,709,551,615 であることがわかります。 それは、過去千年の間に地球上で生産された米の量よりも多いです。このメッセージが示すのは、時には一生懸命働くことと別の一生懸命働くことを対比させることで、分析がずっと簡単になることがあるということです。王が痛い目に遭って学んだように、倍増は最初は無邪気に見えますが、すぐに急激に増加します。これが指数関数的成長の力です。この影響は、借金をカバーするためにローンを取る人々に感じられます。最初に、ある会社からの月利5%で1,000ドルのローンのオファーは、救いの手のように思えるかもしれません。1か月後には、あなたの借金は1,050ドルだけです。しかし、問題は、毎月この金額が1.05倍になることです。2年後には、すでに3,225ドルの借金を抱えています。5年目には、借金は18,679ドルになります。お金を貸す側には良いことですが、借りる側にはあまり良くありません。一般的に人々がこの指数関数的成長のパターンを理解していないという事実は、貧困への近道となる可能性があります。給料日ローン会社は、このパターンを未来に読み取ることができない人々を利用して、最初は魅力的に見える契約に引き込むことに成功しています。倍増の危険性とそれが私たちをどのような道に導くかを知っておくことは、私たちが迷子になり、無力になって安全に戻る手段がなくなる前に重要です。私たちは皆、2020年のパンデミックで指数関数的成長の恐ろしい速度を痛感しました。感染者数は平均して3日ごとに倍増しました。その結果、医療システムは圧倒されました。一方で、指数関数の力は、地球上に（おそらく）吸血鬼が存在しない理由を説明するのにも役立ちます。吸血鬼は生き延びるために、少なくとも月に一度は人間の血を吸う必要があります。しかし、一度人間を食べてしまうと、その犠牲者も吸血鬼になってしまいます。したがって、翌月には人間の血を求める吸血鬼が倍増します。世界の人口は約67億人と推定されています。毎月、吸血鬼の人口は倍増します。倍増の破壊的な影響により、33か月以内に1匹の吸血鬼が世界の人口をすべて吸血鬼に変えてしまうことになります。もし吸血鬼に出会ったときのために、血を吸うモンスターを退けるための数学者の武器からの便利なトリックをご紹介します。定番のニンニク、鏡、十字架に加えて、吸血鬼を退けるための少し珍しい方法は、彼の棺の周りにケシの種を撒くことです。実は、吸血鬼は算数マニアという状態に悩まされています。物を数えたいという強迫的な欲求です。理論的には、ドラキュラが自分の安息の地に散らばったケシの種の数を数え終わる前に、太陽が彼を棺に戻すことになるでしょう。算数マニアは深刻な医学的状態です。電気に関する研究が交流電流を生み出した発明家ニコラ・テスラも、この症状に悩まされていました。 彼は3で割り切れる数字に取り憑かれていました。毎日18枚の清潔なタオルを要求し、自分の歩数が3で割り切れるかどうかを数えていました。算数マニアの最も有名なフィクションの描写の一つは、マペットのカウント・フォン・カウントです。彼は世代を超えた視聴者が数学の道を歩み始める手助けをしてきました。 都市のパターン ここに少し難しい数字の列があります。このパターンを見つけることができますか？179、430、1033、2478、5949... 各数字をその前の数字で割ると、掛け算の係数が2.4であることがわかります。依然として指数的な成長ですが、これらの数字が実際に何を表しているのかが興味深いのです。それは、人口が25万人、50万人、100万人、200万人、400万人の都市で発行された特許の数です。人口を倍にしても、単に特許の数が倍になるわけではないことがわかります。大きな都市はより多くの創造性を生み出すようです。人口が倍になることで、創造性がさらに40パーセント増加するようです！ 特許だけでなく、この成長のパターンは他の資源にも見られます。リオデジャネイロ、ロンドン、広州の間には大きな文化的違いがありますが、中国からブラジルまで、世界中のすべての都市を結ぶ数学的なパターンがあります。私たちは通常、都市を地理や歴史で説明し、ニューヨークや東京のような場所の個性を強調します。しかし、それらの事実は単なる詳細であり、興味深い逸話に過ぎず、あまり多くを説明するものではありません。しかし、数学者の視点で都市を見ると、政治的および地理的な境界を超えた普遍的な特徴が浮かび上がります。この数学的な視点は、都市の魅力を明らかにし、より大きな都市がより良いことを証明します。 数学は、都市の各資源の成長が、その資源に特有の単一の魔法の数字によって理解できることを示しています。都市の人口が倍になるたびに、社会経済的要因は単に倍になるのではなく、倍に加えて少し増加します。驚くべきことに、多くの資源においてその「少し」は約15パーセントです。たとえば、人口100万人の都市と200万人の都市を比較すると、より大きな都市が単に数字を倍にしただけでなく、期待される数にさらに15パーセントの追加があることがわかります。給与もこのスケーリングの影響を受けます。同じ仕事をしている2人の従業員が異なる規模の都市に住んでいるとします。人口200万人の都市に住む従業員は、人口100万人の都市に住む従業員よりも平均して15パーセント高い給与を得ることになります。都市の規模をさらに倍にして400万人にすると、給与はさらに15パーセント増加します。都市が大きくなるほど、同じ仕事をしているのにより多くの報酬を得ることができるのです。このようなパターンを見つけることが、ビジネスが投入したものから最大の成果を引き出す鍵となるかもしれません。 都市はさまざまな形や大きさを持っています。形は重要ではなく、大きさが重要であることを理解することで、企業は単に倍の大きさの都市に移転するだけで、より多くの価値を得ることができます。この奇妙な普遍的スケーリングは、経済学者や社会科学者によって発見されたのではなく、宇宙の根本的な法則を探求する際に通常適用される数学的分析を用いた理論物理学者によって明らかにされました。ジェフリー・ウェストはイギリスで生まれ、ケンブリッジ大学で物理学を学んだ後、スタンフォード大学で基本的な粒子の特性を探求する研究を行いました。しかし、彼がサンタフェ研究所の所長になったことが、都市の成長に関する彼の発見のきっかけとなりました。サンタフェ研究所は、異なる分野の人々が交流し、アイデアを議論する方法を見つけることに特化しています。自分の研究分野の謎を解くための近道は、他の人の一見無関係な領域を経由することだとよく言われます。研究所での数学、物理学、生物学の融合が、ウェストに世界中の都市に共通する特性があるのではないかと考えさせました。電子や光子が宇宙のどこにいても普遍的な特性を持つように、都市にも普遍的な特性があるのではないかと。数学が宇宙の根本的な法則の中心にあると信じることは可能であり、数学が重力や電気を説明できると考えられます。一方で、都市は人々の動機や欲望が入り混じった理解しがたい集団のように見えます。しかし、私たちが周囲の世界を理解しようとする中で、数学が私たちの世界やその中のすべて、さらには私たち自身をも制御するコードであることを発見しました。数百万の個人の混沌さえも制御する力にはパターンがあります。ウェストと彼のチームは、世界中の数千の都市のデータを集めました。フランクフルトの電線の総量からボイジーの大学卒業生の数まで、さまざまなデータを収集しました。ガソリンスタンド、個人所得、インフルエンザの発生、殺人事件、コーヒーショップ、さらには歩行者の歩行速度に関する統計も記録しました。ただし、必要なデータがすべてウェブ上にあるわけではなく、ウェストは中国の地方都市に関する膨大なデータの年鑑を解読するために、マンダリンに取り組まなければなりませんでした。数値の分析を始めると、この隠れたコードが浮かび上がってきました。ある都市の人口が小さな都市の倍であれば、世界のどこにあっても、社会経済的要因はこの魔法の数字である15パーセントの追加でスケールアップします。現在、世界の人口の50パーセント以上が都市に住んでいます。このスケーリング要因によって提供される追加の指数関数的成長が、都市がこれほど魅力的である理由の鍵かもしれません。人々の集団が集まると、投入した以上のものを得られるようです。 この数字が、人々が大都市に移り住む理由の一つかもしれません。つまり、もしある人が2倍の大きさの都市に引っ越すと、突然、すべてのものが15パーセント増えるということです。インフラもこのスケーリングの影響を受けますが、逆の方向にです。都市のサイズを2倍にしても、必要なものは2倍にはならず、むしろインフラのコストが削減されます。銅の配線、舗装、下水管の一人当たりのコストは15パーセント下がります。一般的な考えとは反対に、これはあなたの個人のカーボンフットプリントが、住んでいる都市が大きくなるほど小さくなることを意味します。残念ながら、数学によってスケールされるのは常にポジティブな利益だけではありません。犯罪、病気、交通渋滞は同じ要因によって不均衡にスケールされます。例えば、500万人の都市におけるエイズの症例数がわかっているとします。次に、1000万人の都市におけるエイズの症例数を推定するには、単に最初の数字を2倍にするのではなく、さらに15パーセントを加える必要があります。再びこの「魔法の15パーセント」が登場します。このような普遍的なスケーリングに対する説明はあるのでしょうか？リンゴから惑星、ブラックホールに至るまで適用されるニュートンの重力の法則のようなものがあるのでしょうか？都市が物理的な寸法ではなく、人口の大きさに依存する理由を理解する鍵は、都市は建物や道路ではなく、それを構成する人々から成り立っているということです。都市は、文明の物語を演じる本当の俳優たちが活動する舞台です。都市は人間の相互作用を促進するネットワークとして機能するため、価値があります。したがって、都市をモデル化する際には、島の上に建てられているか、谷に位置しているか、砂漠に広がっているかではなく、その住民間の相互作用のネットワークによって評価すべきです。この都市の相互作用から生じるネットワークの質が、ウェストによって発見されたこの普遍的なスケーリングの特性を持っているようです。これが数学の力です—私たちの複雑な環境の中心にあるシンプルな構造を見ることができるのです。もし極端なケースとして、都市が成長するにつれて全員が他の全員と接触する場合を考えると、大都市が超線形成長をもたらす理由がわかります。住民の接続性の上限を測定してみましょう。もし都市の人口がN人であれば、これらのN人が行うことのできる異なる握手の数はどれくらいでしょうか？彼らを1からNまで番号を付けて並べます。市民番号1は、列の下にいる人々全員と握手をし、合計でN - 1回の握手をします。次に市民番号2が列を進みます。彼はすでに市民1と握手をしているので、N - 2人と握手をします。列を進むにつれて、各市民は1回ずつ握手の数が減ります。握手の総数は1からN - 1までの合計です。こんにちは！これはガウスが計算を求められたもので、彼のショートカットはこの数の公式を生み出します：1/2 x (N-1) x N。Nを2倍にしたとき、この接続性はどうなるのでしょうか？ 手の握手の数は単純に倍になるわけではなく、2の二乗、つまり4倍に増えます。握手の数は住民の数の二乗に比例しています。これは、数学が私たちに常に車輪を再発明する必要から救ってくれる理由の素晴らしい例です。私はネットワーク上の接続に関する全く異なる質問をしていたのですが、三角数の分析から、この数がどのように増加するかを知るための道具をすでに持っていることに気づきました。キャラクターは何度も変わるかもしれませんが、脚本は同じままです。脚本を理解すれば、ドラマに挿入されたどのキャラクターの行動を知るための近道を得ることができます。この場合、市民間の接続の数は住民の数に対して二次的に増加します。もちろん、すべての住民が町の他の市民を知っているわけではありません。より保守的な見積もりとしては、彼らが自分の近所の市民を知っているということです。これは線形にスケールします；全体の規模はあまり重要ではありません。実際の都市は、極端なケースと最も限られたケースの中間にあるようです。市民はすべての地元の接続に加えて、都市全体にわたるある程度の長距離接続を持っています。どうやら、この追加の長距離接続が接続の増加を引き起こしており、人口が倍増する際に15パーセントの増加をもたらしているようです。このようなネットワークは多くの異なるシナリオで発生し、ネットワーク全体にショートカットを作成するための非常に効率的な設定であることを、後で本書で説明します。 誤解を招くパターン パターンは非常に強力ですが、それを使用する際には注意が必要です。道を進み始めて、どこに向かっているのか分かっていると思うことがあります。しかし、時にはその道が奇妙で予期しない方向に逸れることがあります。この章の初めに挑戦した数列を考えてみてください：1, 2, 4, 8, 16... もし次の数が32ではなく31だと言ったらどうでしょう？円を取り、円の周辺に点を追加し、すべての点を線で結ぶと、円が分割される最大の領域数は何でしょうか？円に1つの点しかない場合、線はなく、1つの領域しかありません。点を1つ追加すると、2つの点を結んで2つの領域ができます。次に3つ目の点を追加します。すべての点を結ぶ線を引くと、三角形ができ、その周りに三つの円のセクターができ、4つの領域になります。もしこれを続けると、パターンが現れ始めるようです。円に点を追加するごとに領域の数を示すデータは次の通りです：1, 2, 4, 8, 16... この時点での良い推測は、点を追加することで領域の数が倍になるということです。しかし、問題は、円の周辺に6つ目の点を追加するとパターンが崩れてしまうことです。 どんなに頑張っても、線で切り分けられる最大の領域数は31です。32ではありません！図1.2は、6つの円の分割数を示しています。領域の数を求める公式はありますが、単純に倍にするだけの計算よりも少し複雑です。円上にN点がある場合、点を結ぶことで得られる最大の領域数は次のように表されます。 1/24 (N^4 - 6N^3 + 23N^2 - 18N + 24) ここでのメッセージは、データが何を表しているのかを理解することが依然として重要であり、数字そのものに単純に依存してはいけないということです。データサイエンスは、データの出所を深く理解しないと危険です。ここで別の警告があります。この数列の次の数字は何でしょうか？2, 8, 16, 24, 32… そこには多くの2の累乗があります。しかし、少し変わった24もありますね？もしあなたがこの数列の次の数字を47と特定できたなら、次の土曜日に宝くじのチケットを買うことをお勧めします。これは2007年9月26日のイギリス国立宝くじの当選番号です。私たちはパターンを探すことに夢中になりすぎて、予想できない場所でもそれを見つけてしまうことがよくあります。宝くじの番号はランダムです。パターンはありません。秘密の公式もありません。億万長者になるための近道もありません。しかし、そうは言っても、私は第8章で、ランダムなものにも利用できるパターンがあることを説明します。ランダム性に関しては、後ろに下がって長期的な視点を持つことが近道です。パターンの概念は、何かが本当にランダムであるかどうかを理解するための近道として使え、数字の列がどれだけ記憶に残りやすいかに関連しています。 良い記憶への近道 インターネット上では毎秒膨大なデータが生成されているため、企業はそれを保存するための巧妙な方法を探しています。データの中にパターンを見つけることは、情報を圧縮する方法を提供し、保存に必要なスペースを減らすことができます。これはJPEGやMP3などの圧縮技術の鍵です。白黒のピクセルだけの画像を考えてみてください。どんな画像にも、一つの隅に大きな白いピクセルの塊があるかもしれません。各ピクセルを白として記録し、画像のデータと同じだけのメモリを使う代わりに、潜在的な近道を取ることができます。領域の境界の位置を記録し、その領域を白いピクセルで埋める指示を追加するのです。この方法で書くコードは、一般的にその領域の各ピクセルが白であることを記録するよりもずっと小さくなります。ピクセルの中に見えるパターンを利用して、ピクセルごとにデータを保存するよりもはるかに少ないメモリで画像を記録するコードを書くことができます。例えば、チェスボードを考えてみましょう。この画像には非常に明確なパターンがあり、コードを「白黒を32回繰り返す」と書くだけで済みます。たとえ巨大なチェスボードがあっても、コードは大きくなりません。私は、パターンが人間がデータを保存する方法の鍵でもあると信じています。 私は自分の記憶力が非常に悪いことを認めざるを得ません。それが数学に惹かれた理由の一つだと思います。数学は、名前や日付、そして論理的に理解できないランダムな情報を忘れてしまう私にとって、常に武器でした。エリザベス1世が亡くなった日付が何か全く思い出せませんし、1603年だと言われても、10分後には忘れてしまっているでしょう。フランス語では、不規則動詞「aller」のさまざまな形を思い出すのがいつも難しかったですし、化学では、紫色に燃えるのはカリウムだったかナトリウムだったかも分かりません。しかし、数学では、私がその分野で特定したパターンや論理からすべてを再構築することができました。パターンを見つけることが、良い記憶力の必要性を置き換えました。これは、私たちの脳が記憶を保存する方法の一つではないかと疑っています。記憶は、パターンや構造を特定することに依存しており、それによって脳が記憶を再生するための凝縮されたプログラムを保存するのです。 ここでちょっとした挑戦があります。次の6×6のグリッドに含まれる線の形をじっと見つめてください。それから本を閉じてください。記憶からそのグリッドを再現できますか？重要なのは、36の四角形を個別に覚えようとするのではなく、画像を生成するのに役立つパターンを見つけることです。 この画像には、6×6のチェスボードとほぼ同じ数の線の形がありますが、明確なパターンがないため、記憶するのがはるかに難しくなっています。この画像はコインを投げて生成され、コインが表になった場合に四角形に線の形を付けました。数学的には、コインが表と裏を交互に並べたチェスボードパターンを生成する可能性と、ランダムな線の形を生成する可能性は同じです。しかし、チェスボードのパターンは記憶しやすくなっています。この画像を記憶するために必要なアルゴリズムのサイズのアイデアは、画像に含まれるランダム性の強力な指標です。チェスボードパターンは非常に秩序立っています。その生成アルゴリズムは小さいです。一方、コインを投げて生成された画像は、グリッド内の36の個々の四角形の内容を記録する以上に短いアルゴリズムを必要とすることはないでしょう。明確なストーリーがある写真は、オリジナルよりもはるかに小さいJPEG（圧縮版）を持っていますが、ランダムなピクセルの画像は、JPEGアルゴリズムを使って圧縮しようとしても小さくならないのです。なぜなら、助けとなるパターンがないからです。人間でも機械でも、何かを記憶しているすべての存在は、明確に数学的な戦略を適用しています。記憶には、保存しようとしているデータの中でパターン、つながり、関連性、論理を見つけることが必要です。パターンは良い記憶への近道です。 階段を登る さて、章の最初に提起した質問に戻りましょう。1ステップと2ステップのユニットを組み合わせて、10段の階段を登る方法は何通りあるでしょうか？これにはいくつかの方法があります。 一つの方法は、ランダムにさまざまな可能性を書き出し始めることです。しかし、明らかに無計画なアプローチでは、いくつかの可能性を見逃してしまうことになりますし、すべてを記録するには時間がかかります。もっと良い戦略はないでしょうか？少しだけ体系的なアプローチとして、まずは1ステップから始めることが考えられます。この場合、達成方法はただ一つ、1111111111です。次に、1つの2ステップを1ステップの中に挟むことを許可した場合、合計で9ステップを踏むことになります：8つの1ステップと1つの2ステップです。そして、2ステップをどの位置で行うかを選ぶことができます。2ステップを行うことができる場所は9つあります。これは有望な戦略に見えます。次に、6つの1ステップの中に2つの2ステップを組み込む組み合わせを考えることができます。これで合計8ステップになります。しかし、どの8つのステップの中から2ステップを選ぶかを計算しなければなりません。最初の2ステップを8つの異なる位置に置くことができ、もう1つの2ステップは残りの7つの空いている位置のいずれかに置くことができます。したがって、8 x 7通りの可能性があるように見えます。しかし、注意が必要です。なぜなら、私は物事を二重にカウントしてしまったからです。最初の2ステップを位置1に選び、2番目を位置2に選ぶこともできたし、その逆も可能です。結果は同じになります。したがって、現在の合計は8 x 7 / 2 = 28です。この数には実際に数学的な名前があります。それは「8から2を選ぶ」というもので、記号で表すと8C2となります。一般的に、N個の数から2つの数を選ぶ方法は、1/2(N - 1)Nという式で表されます。これは、ガウスが三角数のために考え出したのと同じ式です。私たちが発明したその輪が再び登場しています！N個の数から2つの数を選ぶ問題を、三角数を計算する課題に変換する方法があります。第3章では、一つの問題を別の問題に変えることで、問題を解決するための大きな近道になることがよくあることを説明します。選択を計算するためのこれらのツールは、二項係数と呼ばれ、実際にはガウスと彼の教室の助手が一緒に学校の代数の教科書でじっくりと考えた公式のいくつかです。しかし、このパズルを解くためには、次に7つの選択肢から3つの位置を選んで、階段に3つの2ステップを配置する方法を計算しなければなりません。これは、可能性を体系的に構築する良い方法のように思えますが、これらの選択関数を一般化する必要があります。この道を進むのは難しい道のりのように思えてきました。あまり近道のようには感じません。そこで、今回の章で示したことを利用したより良い近道を紹介します。このようなパズルでは、少ないステップ数を考慮し、数字がどのように出てくるかのパターンを見つけることが非常に強力な戦略だと感じています。以下は、1、2、3、4、5ステップの階段の可能性で、手作業で素早く計算できます： 1段階: 1 2段階: 11 または 2 3段階: 111 または 12 または 21 4段階: 1111 または 112 または 121 または 211 または 22 5段階: 11111 または 1112 または 1121 または 1211 または 2111 または 122 または 212 または 221 このように、可能性の数は 1, 2, 3, 5, 8... となります。もうお気づきかもしれませんが、ここにはパターンがあります。次の数字は、前の2つの数字を足すことで得られます。これらの数字には名前があります—フィボナッチ数と呼ばれ、12世紀の数学者フィボナッチにちなんで名付けられました。彼は、これらの数が自然界の成長の仕組みの鍵であることを発見しました。花の花弁、松ぼっくり、貝殻、ウサギの個体数—これらの数はすべて同じパターンに従っているようです。フィボナッチは、自然が物を成長させるためにシンプルなアルゴリズムを使用していることを発見しました。前の2つの数字を足すというルールは、貝殻や松ぼっくり、花のような複雑な構造を作るための自然のショートカットです。各生物は、次の動きのための材料として、最後に作った2つのものを使うだけです。 図1.4. フィボナッチ数を使ってスパイラルを成長させる方法 構造を進化させるためにパターンを使用することは、自然にとって重要なショートカットです。たとえば、自然がウイルスを構築する方法を考えてみましょう。ウイルスは非常に対称的な構造を持っています。これは、対称性を実現するためにはシンプルなアルゴリズムが必要だからです。ウイルスが対称的なサイコロの形をしている場合、その分子を複製するDNAは、顔を構成する同じタンパク質のいくつかのコピーを作るだけで済み、ウイルス全体に同じルールが適用されて構造が作られます。パターンはウイルスを迅速かつ効率的に構築することを可能にし、それが致命的な要因の一部となります。しかし、この少量のデータからフィボナッチのルールが階段を上る秘密であると本当に確信できるのでしょうか？実際、このルールは、階段の6段目に到達するための次の可能性を正確に計算する方法を説明しています。4段目までのすべての可能なステップを取り、最後に2段のステップを追加します。または、5段目までのすべての可能なルートを取り、そこに1段のステップを追加します。これにより、6段目までのすべての方法が得られます。これは、数列の前の2つの数字の組み合わせです。このパズルの答えは、数列の10番目の数字を計算することです: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89。異なるルートは89通りあります。このパターンは、階段の頂上に到達する方法の数を知るためのショートカットです。このパターンは、たとえ100段や1000段の階段があったとしても、この難問を解くのに役立ちます。 これらの数字はフィボナッチにちなんで名付けられていますが、彼が最初に発見したわけではありません。実際、最初に発見したのはインドの音楽家たちです。タブラ奏者は、ドラムで作ることができるさまざまなリズムを披露することに興味を持っています。彼らが長いビートと短いビートから作ることができるさまざまなリズムを探求する中で、フィボナッチ数にたどり着きました。もし長いビートが短いビートの2倍の長さであれば、タブラ奏者が作り出せるリズムの数は、階段を上る場合と同じ答えになります。 一歩は短いビートに、二歩は長いビートに対応しています。ドラム奏者が特定の時間内に作ることができるリズムの数は、階段を登る方法の数と同じです。したがって、リズムの数はフィボナッチの法則によって示されます。この法則は、タブラ奏者が以前の短いリズムから新しいリズムを構築するためのアルゴリズムも提供します。異なる事象を説明する同じパターンを見ることには、非常に興奮するものがあります。フィボナッチにとっては、自然が物を成長させる方法でした。インドのタブラ奏者にとっては、そのパターンがリズムを生み出します。このパターンは、1歩または2歩で階段を登る方法の数を説明します。金融業界には、これらの数値を使って、下落している株がいつ底を打ち、再び上昇し始めるかを予測できると信じる人々もいます。異なる外見の背後にある基本的な構造を明らかにする力は、非常に強力なショートカットとなることがあります。一つのパターンが、非常に異なる多くの課題を解決します。新しい問題に直面したとき、それが新しい仮面をかぶった古い問題であり、すでに解決策を見つけているかもしれないことを確認する価値があります。 ショートカットのつながり この話に少し付け加えたいことがあります。なぜなら、以前の努力を活用しているからです。階段の頂上までのルートの数を計算するための最初の戦略は、7つのオブジェクトから3つを選ぶ方法に関する質問へと導いてくれました。数学者たちは、私が試みていたすべての選択を計算するための巧妙なショートカットを見つけました。それはパスカルの三角形と呼ばれるものです（フィボナッチ数と同様に、実際には古代中国人がこの発見を先にしていました）。 この三角形はフィボナッチの法則に似たルールを持っていますが、下の層の数字は、その数字の上にある2つの数字を足すことで構築されます。このルールを使って表を作るのは簡単です。しかし、素晴らしい事実は、私が求めていたすべての選択数が含まれていることです。例えば、私がピザレストランを経営していて、提供するさまざまなピザの数を自慢したいとします。7種類の異なるトッピングから3つを選ぶ方法を知りたい場合、(7 + 1)行の(3 + 1)番目の数字を見ます。それは35です。これが、私が作れる35種類の異なるピザがあることを知るためのショートカットです。一般的に、nの中からmのものを選ぶには、(n + 1)行の(m + 1)番目の数字を見ます。しかし、これらの選択数は私たちの階段問題を解決する一つの方法であったため、フィボナッチ数は実際にはパスカルの三角形の中に隠れていることになります。三角形を斜めに走る数字を足すと、フィボナッチ数が現れます。 フィボナッチ数、三角数、そしてパスカルの三角形の中の2の累乗 このようなつながりが数学の魅力の一つです。フィボナッチ数がパスカルの三角形の中に隠れているなんて、誰が想像したでしょうか？しかし、異なる視点からこのパズルを見てみることで、私はこれら二つの一見異なる数学の世界を結ぶ秘密のトンネル、つまりショートカットを見つけました！さらに、三角数や2の累乗もこの三角形の中に隠れているのです。三角数は三角形の対角線の一つに沿って並んでおり、各行の数字を合計することで2の累乗を得ることができます。数学には、私たちが一つのものを別のものに変えるために利用できる奇妙なトンネルがたくさんあります。データの中にパターンを見つけることは、単に階段を登る方法を見つける可愛らしい問題にとどまりません。それは、ガウスがセレスの軌道を予測したように、宇宙の進化を予測するための鍵となります。また、気候変動を理解するためにも重要です。未来の不確実性を乗り越えようとする企業にとっても、競争優位を提供する中心的な要素です。ひょっとしたら、人類の歴史の進化についての手がかりを与えてくれるかもしれません。このデータが豊富な時代において、インターネット上では毎日1エクサバイト（10の18乗バイト）のデータが生成されています。探求するには膨大な数字です。しかし、パターンを見つければ、この広大なデジタル空間をナビゲートするためのショートカットを手に入れることができます。 パターンのショートカットは、理解したいデータを生成するための根底にあるルールやアルゴリズムを特定することに関するものです。このショートカットは、問題が一見制御不能にスケールしても、あなたのために機能し続けます。階段がどんどん大きくなっても、ショートカットは私に答えをもたらしてくれます。まるで丘を貫通するトンネルを掘るようなものです。たとえその丘が山に成長しても、トンネルは私を素早く反対側に導いてくれます。しかし、パターンは数字にだけ適用されるわけではありません。生活の多くの部分には、理解を一つの領域から別の領域に移すために利用できるパターンがあります。たとえば、音楽のパターンを理解することは、楽器をマスターするための重要な要素です。国際的なチェリストであるナタリー・クラインにとって、音楽のパターンは、楽譜を読む前に曲がどこに向かっているのかを予測する手助けになります。本書の後半では、心理療法におけるショートカットについてスージー・オーバックと話す機会があります。彼女は人間の行動における多くのパターンを利用していることがわかりました。彼女は、以前の患者の歴史から学んだパターンを使って、新しい患者を助けることができるのです。しかし、人間は数字よりも少し複雑で個別的であり、オーバックが見出すパターンは慎重に扱う必要があります。パターンが最も効果を発揮するのは、世界が数字に変換されるときです。私たちのデジタル世界はますますそのようなことを行っています。私たちのデジタル足跡は、私たちの人間行動を数字に変換しつつあります。 数字の中にパターンを見つけることができれば、人間が次に何をするかを予測するための近道になります。パターンを見つけることは、未来を切り開くための素晴らしい手段です。株価のパターンを見つければ、投資において優位に立つことができるでしょう。数字があるところには、隠れたパターンを探ることが重要です。しかし、パターンがあるのは数字だけではありません。人間にもパターンがあります。テニスの対戦相手がどのようなショットを打つ傾向があるかを見極めれば、次に来るパッシングショットに備えることができます。人々の食習慣のパターンを理解すれば、あなたのレストランは無駄な食材を使わずに顧客に応じたサービスを提供できるでしょう。パターンを見抜くことは、人類がサバンナから一歩踏み出した時からの基本的な近道です。 数年前、私はチェロを学ぶことに決めました。しかし、思ったよりも時間がかかっているので、何か巧妙な近道を見つけたいと思っています。数学がパターンの科学であるなら、音楽はパターンの芸術です。これらのパターンを活用することが鍵になるのでしょうか？チェロは私が最初に学んだ楽器ではありません。バイルソン先生が数学の授業で若きガウスの話をした年、音楽の先生がクラスに楽器を学びたい人がいるか尋ねました。私を含む三人が手を挙げました。授業の終わりに、先生は私たちを楽器の保管室に連れて行きました。そこには三つのトランペットが重なっているだけで、ほとんど何もありませんでした。結局、私たちはトランペットを演奏することになりました。この選択を後悔してはいません。トランペットは非常に柔軟な楽器です。地元のバンドで演奏し、郡のオーケストラに参加し、少しジャズにも挑戦しました。しかし、オーケストラで休符を数えながら、前にいるチェリストたちが常に演奏しているのを見て、少し羨ましく思っていました。 大人になってから、私はゴッドマザーが遺したお金でチェロを買うことに決めました。残りのお金でレッスンを受けるつもりです。しかし、新しい楽器を学ぶことができるか少し心配でした。子供の頃は、楽器を学ぶのにかかる時間を気にしませんでした。学校に通っていて、学ぶべき年数がたくさんあったからです。しかし、大人になると、私たちには残された年数が少なくなり、より焦りを感じるようになります。私は今すぐチェロを弾けるようになりたかったのです。楽器を学ぶための近道はあるのでしょうか？ マルコム・グラッドウェルの著書『アウトライアーズ』では、何かの専門家になるためには最低でも1万時間の練習が必要だという理論が広まりました。この理論は、国際的に認められるためにはこれで十分だと提案していますが、元の研究を行ったチームはこれが彼らの研究の誤解であると述べています。 本当に、舞台でバッハのチェロ組曲を演奏する前に、1万時間の練習を短縮する方法はなかったのだろうか？1日1時間の練習では、27年以上もかかってしまう！そこで、私は私のお気に入りのチェリストの一人であるナオミ・クラインにアドバイスを求めることにした。クラインは1994年にエルガーのチェロ協奏曲を演奏し、BBCヤングミュージシャン・オブ・ザ・イヤーの最年少受賞者の一人として国際的に注目を集めた。彼女が国際的な名声を得るまでの道のりはどのようなものだったのだろうか？クラインは6歳でチェロを始めたが、数年後まで本気にならなかった。「14歳か15歳の頃には、1日4〜5時間の練習をしていました」と彼女は語った。「中にはもっと練習する子もいます。16歳の時には、1日8時間練習している子たちもいます。ロシアや東洋の国々では、私たち西洋よりもずっと早い段階から、厳しい練習モードに入れられる同僚たちがいます。」クラインは、このレベルの規律が楽器をマスターするために必要な運動記憶とコントロールを達成するために不可欠だと説明した。「楽器を学ぶ際には、最低限の時間を確保する必要があります。思春期の頃には1日3〜4時間は練習しなければなりません。そうしないと、身体が運動メカニクスを習得できません。」例えば、ジャシャ・ハイフェッツを考えてみてください。ハイフェッツは歴史上最も偉大なバイオリニストの一人であり、彼は生涯のほとんどをスケールの練習に費やし、合計で何千時間もスケールだけを練習しました。このように、チェリストはアスリートに似ています。マラソンを走ったり、100メートルスプリントで勝ったりするためには、身体を物理的に鍛えるために時間をかけなければなりません。速さでパッセージを演奏できるように身体と心を調整するためには、繰り返しの練習が必要です。私自身の練習から知っていることですが、あるパッセージを何度も繰り返し練習して、身体がほとんど脳を使わずに何をすべきかを知るようになったときに、特定の曲を演奏できるようになります。しかし、クラインは努力が単に十分ではないことを強調したいようでした。「重要なのは、正しいことを繰り返すことです。1万時間の練習をするのは素晴らしいことですが、本当に必要なのは正しい種類の1万時間です。ただやればいいというわけではありません。私が生徒たちに言うのは、その1万時間には心、身体、魂が関与していなければならないということです。」熱心に練習することは、ショートカットのようには見えないかもしれませんが、実際にはそうなのです。私たちは、間違った方法で何かをして時間を無駄にすることがどれほど多いでしょうか？努力を最大限に活かせていなかったり、時間をかける理由を見失ったりしているのです。効果的な練習について考えるとき、人々が「フロー」について語るのをよく耳にします。フローという用語は、1990年にハンガリー系アメリカ人心理学者ミハイ・チクセントミハイによって、私たちがタスクに完全に没頭している心理的状態を表すために作られました。彼が書いたように、「私たちの人生の最良の瞬間は、受動的で受け入れられるリラックスした時間ではありません……」 最高の瞬間は、通常、誰かの身体や心が、自発的に困難で価値のある何かを達成しようと限界まで引き伸ばされるときに訪れます。「フロー」は、極度のスキルと大きな挑戦が交わる地点に存在します。もしスキルが不足していて、あまりにも挑戦的なことに挑むと、不安の状態に陥ります。一方、自分のスキルに対してあまりにも簡単なことをしていると、退屈を感じるでしょう。しかし、スキルと挑戦の両方を持っていると、フローの状態、つまり「ゾーンに入る」ことができます。私たちは皆、その状態に達したいと思っており、多くの人々がそれを達成するためのガイドを作成しています：瞑想、フローのサウンドトラック、栄養補助食品、メンタルフローのトリガー、カフェインなど。しかし、クラインは簡単な解決策には懐疑的です。「フローに至るための近道はありません。ルールを学ばなければ、それを破ることを許されません。そして、ルールを破る瞬間にこそ、フローに導く解放感が見つかります。インスピレーションの状態に至るのは、規律です。」楽器演奏者としての身体的トレーニングに近道はないものの、演奏者がスケールやアルペジオを練習するのに多くの時間を費やすのは、演奏時に近道を提供するからだと思います。楽譜上にスケールやアルペジオに対応する音のパターンが見えると、各音を読む必要はありません。代わりに、何時間もかけて学んだスケールやアルペジオの近道を利用できます。高いレベルで演奏するために必要な身体的な微細運動スキルを習得するための近道はないかもしれませんが、新しい曲を学ぶための近道はあるかもしれません。クラインは、音楽分析家ハインリッヒ・シェンカーの研究を私に教えてくれました。実は、私は以前に別の文脈でシェンカーのことに出会ったことがあります。コンピュータ科学者たちは、彼の研究を使ってAIに説得力のある音楽を作曲させようとしています。シェンカー分析の目標は、音楽作品の背後にある深い構造（ウルザッツ）を特定することです。これは、数の列に潜むパターンを見つけるのに似ています。AIによる音楽生成は、このプロセスを逆にしてウルザッツから始め、そこから音楽を肉付けしていこうとしています。しかし、クラインにとって、この分析は彼女が学んでいる音楽作品をより効率的にナビゲートする方法を提供します。「シェンカーは、作品を理解するためにできるだけシンプルな公式に還元し続けるのが好きです。これは、音楽作品の構造を理解するための近道と言えるでしょう。マクロを見て、ミクロを見ないということです。」パターンは、音楽作品の複雑さをナビゲートするための音楽家のツールキットの一部であることがわかりました。これは、音楽作品を暗記するための有用な近道になるのかと考えました。私にとっては、数の列の背後にある構造を特定することで、繰り返しに頼る必要を短縮できます。クラインにとって、協奏曲を暗記することは、何度も練習して運動記憶にするという規律から生まれます。しかし、他の人にとっては、パターンがより大きな役割を果たすかもしれません。 クラインが言ったように、「私にはヴァディム・ホロデンコという友人がいて、彼は一種の天才です。彼が午後に一度か二度聞いた曲を楽譜なしで演奏し、その後のコンサートで演奏したのを見たことがありますが、他の人たちが三ヶ月も練習した後に演奏したものよりもずっと良かったです。彼は大きな形を見抜く力があり、自分ができるという圧倒的な自信を持っています。そして、残りのギャップは埋められていきます。彼は確実にマクロを見ていて、マイクロよりもマクロを信じています。」私の先生が新しい曲を学ぶときに教えてくれたもう一つの興味深い近道があります。チェロのパッセージを演奏する方法は複数あり、同じ音を異なる弦で演奏することが可能です。最初に思いつく最も明白な方法はしばしば非効率的で、楽器の上で手を大きく動かさなければならなくなります。しかし、もっと戦略的に考えると、同じパッセージを演奏するための代替手段が見つかり、手を無駄に動かさずに済むことがわかります。曲を演奏する方法を考えることは、ある種のパズルのようになります。どのように弦の上に指を置くのが最も効率的で、パッセージを簡単に演奏できるかを考えるのです。クラインも同意しています。「それは非常に創造的になり得ます。誰かに教わったわけではありませんが、自分の親指をかなり使うのは良いアイデアだと思いました。それは私にとって本当に役立ちました。偉大なチェリスト、ダニイル・シャフランから始まる数人のチェリストがそうしています。私はそれを自分が考え出したものだと思っていましたが、実際にはそうではありませんでした。すべては問題解決に関することです。問題が切実であればあるほど、解決策はより創造的になります。」しかし、音楽をナビゲートするためのこれらの役立つ方法にもかかわらず、クラインにとっての結論は、彼女が行っていることには近道がないということです。「良いプロのチェリストになるためには、特にソロ作品を演奏し、自分の技術がスポットライトを浴びることになるとき、近道はありません。近道はないのです。それが私がこの仕事を愛している理由です。パブロ・カザルスは生涯練習を続け、彼が95歳のときに誰かが『マエストロ、なぜ練習を続けるのですか？』と尋ねました。彼は『やっと上達していると感じるからです。私は成長しています。』と答えました。それがあなたを続けさせる理由だと思います。多くの努力が必要で、それは続きます。生涯を通じて続けるためには、その仕事に興味を持たなければなりません。決して頂点には達しません。」多くの専門家にとって、これが近道が本当の問題ではない理由です。クラインが言ったように、「近道のアイデアは短期的には魅力的ですが、長期的にはそうではありません。もしたくさんの近道があったら、私たちは挑戦にそれほど惹かれないかもしれません。」私は目標に到達したいという欲望と、それを実現する容易さとの間の緊張を認識しています。目標を達成するのがあまりにも簡単だと、満足感が失われます。それでも、私はただ無心で苦労したいわけではありません。 私にとって最も満足のいくショートカットは、しばらくの間行き詰まり、目的地にどうやって到達するか悩んでいるときに現れるものです。巧妙な方法を見つけた瞬間に伴うアドレナリンの放出は、私が数学的な道具を完璧にする旅の中で、すっかり中毒になってしまった薬のようなものです。しかし、チェロに関しては、パターンを利用することが役立つとはいえ、身体的な課題があるため、努力を回避するショートカットは存在しないことを実感しています。 第2章 | パズル: あなたは食料品店の店主で、1kgから40kgまでのすべての重さを測定できるように、天秤を使いたいと考えています。これを実現するために必要な最小限の重りの数とその値は何ですか？ アイデアを捉えるための適切な略語は、思考を加速させるための強力なツールです。私は、百万という概念を7つの記号で表現できることを当然のこととして受け入れています：1000000。しかし、その7つの記号には、数字を扱う方法や効率的に計算する方法に関する魅力的なショートカットの歴史が詰まっています。歴史を通じて、そして今日でもビジネスや建設、銀行業に関わる場合、競争相手よりも早く、より効率的に答えを計算する方法を知っていれば、優位に立つことができます。この章では、私たちが見つけた数字や計算を扱うための巧妙な方法をいくつか共有したいと思います。興味深いことに、これらのショートカットは、数字が関与していない場合でも強力な戦略となることがあります。 人々は、私が研究数学者であるため、私の仕事は多くの小数点以下の長い割り算を行うことだと思いがちです。確かに、計算機があれば、私の仕事はもう不要になっているはずです。この数学者をスーパー計算機と見なす誤解は一般的です。しかし、それが計算が職務内容に含まれないということを意味するわけではありません。多くの創造的な数学は、算術を巧妙に行う方法を見つけるという課題から始まっています。ガウスの子供時代のショートカットのように、人間が計算をより効果的に行うために発見したショートカットの歴史は長いものです。今日私たちが手にする計算機も、数学者たちが長年にわたって考案した巧妙なショートカットを用いてプログラムされています。 私たちはコンピュータを全能で、何でもできる存在として考えがちですが、コンピュータにも限界があります。例えば、ガウスの課題である1から100までの数字を合計することを考えてみましょう。確かに、コンピュータはそれに問題なく対応できます。しかし、ある時点で、コンピュータにとっても大きすぎる数字が出てきます。その時点までのすべての数字を合計するようにコンピュータに頼むと、コンピュータも動かなくなってしまいます。一般的に、コンピュータは私たち人間が考え出したショートカットに依存しており、それをコンピュータのコードに実装することで、より速く先に進むことができるのです。 この章では、一見難解に思える数学の一部、すなわち「虚数」と呼ばれるものの驚くべき利用法を明らかにします。これは、コンピュータがさまざまな作業を行うための重要なショートカットを提供し、空港での安全な着陸を含む多くのタスクを実現しました。 **数のカウントのショートカット** 私たちが数字を書く方法そのものが、計算が簡単になるか、あるいは複雑でエラーが起こりやすいものになるかを決定します。複雑なアイデアに対して良い記号を用いることが、より良い思考へのショートカットを提供することに気づいたとき、人類の進歩にとって重要な瞬間でした。歴史的に見ても、各文明は、書き言葉を記録することがアイデアを保存し、伝達し、操作するための強力な手段であることを認識していました。そして、言語の新しい文字体系の発展は、一般的に数の概念を記録するための巧妙な新しい方法とともにありました。しかし、数字を書くより良い方法を見つけた文明は、より迅速で効率的な計算とデータの管理へのショートカットを持っていました。 数学者たちが発見した最も初期のショートカットの一つは、位取りシステムの力です。羊や日数のようなものを数える場合、最初に行う方法は、各羊や日ごとに印をつけることかもしれません。これが初期の人類が数えた方法のようです。約四万年前の骨には、刻み目がついており、これは人類の最初の数え方の例と考えられています。これはすでに印象的な瞬間です。抽象的な数の概念が現れ始めています。考古学者たちはこれらの刻み目が何を数えているのか正確にはわかりませんが、刻み目の数と数えられている羊や日数などには共通点があると理解されています。問題は、骨の上の17と18の刻み目を区別するのが非常に難しいことです。再び数え直さなければなりません。ほとんどすべての文化の中で、ある時点でひらめきが生まれ、これらの刻み目のための短縮記法を作るアイデアが浮かび上がります。数年前、グアテマラに住んでいたとき、私は銀行券に奇妙な点とダッシュのシリーズがあるのを見つけて興味を持ちました。近所の人に、これは地元のお金に隠された奇妙なモールス信号なのかと尋ねました。彼女は、それが確かにコードであるが、各銀行券が表す数字のためのコードであると説明してくれました。点とダッシュは、マヤ文化における数字の表現方法の短縮記法でした。マヤ人は、人間の脳が四つ以上の刻み目を区別するのが難しいことを認識していました。したがって、ページにどんどん点を記録する代わりに、五に達したときには四つの点を横に線で引きます。これは、囚人が解放までの日数を数えるのと同じです。このようにして、線は数字の5の短縮記法となります。しかし、さらに数えたい場合はどうでしょうか？古代エジプト人は、異なる10の累乗を示すための印象的なヒエログリフのリストを考案しました。 彼らは数字の10を牛の足かせの画像で表し（これは牛の動きを制限する装置です）、100をロープのコイルで、1,000をスイレンで、10,000を曲がった指で、100,000をカエルで、そして1,000,000を膝をついて両手を上げている男性の絵で表しました。まるで宝くじで百万ドルを当てたかのように見えます。これは巧妙な略記法です。エジプトの書記官は、1,000,000を骨に1,000,000の刻み目で表す代わりに、パピルスに膝をついた男性の図を描くだけで済みました。このように大きな数字を効率的に記録する能力は、エジプトが市民に税金を課し、効果的に都市を建設できる強力な文明としての台頭の一因となりました。しかし、エジプトのシステムにはまだ非効率的な点が残っています。もし書記官が9,999,999という数字を記録したい場合、63の図形が必要になります。さらに1を加えると、10,000,000を表すために別の小さな絵を考え出さなければなりません。私たちの現代の数字システムでは、9,999,999のような大きな数字をわずか7つの記号で記録できることを見てください。10種類の異なる記号（0, 1, 2,..., 9）を使うことで、いくらでも大きな数字を表現できます。鍵となるのは位取り記数法で、これは歴史の異なる時点で3つの異なる文化が考案した驚くべきショートカットです。このショートカットを最初に考え出した文化は、エジプト人のライバル文明であるバビロニア人でした。興味深いことに、彼らはエジプト人や私たちが今日使っているように10の累乗で作業していたわけではありませんでした。代わりに、彼らは60の累乗で作業していました。彼らは59までの数字を持っており、再編成の必要を感じるまでそのままでした。1から59までの数字は、1を表すyと10を表すGの2つの記号だけで表記されました。しかし、これにより59という数字は14の記号の集合を必要としました。一見すると、これは効率的とは言えません。しかし、彼らが60を選んだことには非常に異なるショートカットが埋め込まれていました。これは60の高い割り切れ性の結果です。60は2×30や3×20、4×15、5×12、6×10など、さまざまな方法で割ることができるため、このシステムを使用している商人たちに商品を分ける多くの可能性を提供しました。そして、60の高い割り切れ性が、私たちが時間を数えるためにそれを使用する理由です。1時間60分、1分60秒というシステムは古代バビロンに起源を持っています。しかし、バビロニア人の本当の突破口は59を超えて数えることでした。一つの選択肢は、エジプト人のように新しい記号を作り始めることでした。しかし、バビロニア人は異なるアイデアを持っていました。記号の意味は、他の記号に対する位置によって変わるのです。私たちが使っているシステムでは、数字111は同じ記号が3回繰り返されています。しかし、この略記法の素晴らしさは、右から左に読むと、最初の1は1を表し、2番目の1は10を表し、3番目の1は100を表すことです。左に数字を追加するたびに、その値は10倍になります。 バビロニア人にとって、彼らは60進法で作業していたため、左に移動するたびに値が60の倍数で増加しました。したがって、バビロニア数字の111は、1 × 60² + 1 × 60 + 1 = 3661となります。これは非常に強力なショートカットでした。TとGの2つの記号を使うことで、望むだけ大きな数を表現できるようになりました。しかし、すべての数を表現できるわけではありませんでした。これには新しい記号の導入が必要でした。たとえば、3601という数を記録したい場合、60が存在しないことを示す必要があります。バビロニアの楔形文字では、特定の60の冪が存在しないことを示すために、小さな切り込みが2つ使われました：「。マヤ文明もまた、大きな数を書くためのこのショートカットを発見しました。彼らはすでに5を表す記号を持っており、それは一本の線でした。3本の線は15を示し、3本の線と4つの点は19を示しました。しかし、マヤ人は物事が煩雑になりすぎていると感じました。そこで、次の位置は20の冪を示すことになりました。したがって、マヤの111は、1 × 20² + 20 + 1 = 421を表します。彼らもまた、特定の場所で20の冪が存在しないことを記録する必要性を認識し、貝殻の記号が使われました。マヤ人は優れた天文学者であり、広大な時間を追跡していました。この記号の位置を利用した効率的な数のシステムにより、マヤ人は膨大な数を扱うことができましたが、バビロニアとマヤの両方のシステムにはまだ欠けているものがありました。それは「無」を表す記号です。この革命的なステップを踏んだのが、第三の文化であるインド人でした。私たちが今日使っている数字は、しばしばアラビア数字と呼ばれますが、これは誤解を招く表現です。少なくともそれは完全な物語ではありません。アラブ人はヒンドゥーの書記官が使っていたシステムを学び、それをヨーロッパに持ち込みましたので、これらの数字は本来「ヒンドゥー・アラビア数字」と呼ばれるべきです。ヒンドゥー数字は1から9までの記号を使用し、左に移動するにつれて各位が10の倍数で増加します。また、彼らは「無」を表す記号、すなわちゼロを持っていました。このアイデアをヨーロッパ人に示したとき、彼らは理解できませんでした。何も数えるものがないのに、なぜ記号が必要なのか？しかし、インド人にとって「無」や「空」は非常に重要な哲学的概念であり、彼らはそれに名前を付けたり数を付けたりすることを喜んでいました。ヨーロッパでは、まだローマ数字や算盤を使って計算を行っていましたが、算盤を使うには技術と専門知識が必要でした。つまり、計算は一般市民には手の届かないものでした。計算は権力を維持するための手段でした。算盤で行われた計算の記録はなく、結果だけが残りました。このシステムは権力者による悪用の可能性がありました。だからこそ、権力者たちは東方の数字を禁止しようとしたのです。それは一般市民に計算へのアクセスと、その計算を記録する能力を与えるものでした。この数字を扱うためのショートカットの導入は、印刷機の発明と同じくらい重要な意味を持つでしょう。それは数学を大衆に広めました。 黒い数学の魔法 今日、コンピュータや電卓は計算のための近道となっています。しかし、50歳以上の人々は、複雑な算術を簡略化するための別の助けがあったことを覚えているでしょう。それは対数表の本でした。これは何世紀にもわたって商人や航海士、銀行家、エンジニアにとっての頼りにされる近道でした。直接計算を試みる競争相手に対して優位に立つための道具だったのです。対数の力を解き放ったのは、1550年に生まれたスコットランドの数学者ジョン・ネイピアです。私はネイピアに会ってみたかったのですが、それは彼がこの巧妙な計算の近道を考案したからだけでなく、彼が非常に奇妙なキャラクターのように思えるからです。数学は彼の主な興味ではなく、むしろ神学やオカルトに魅了されていました。彼は自分の土地を歩き回り、小さな檻に入れた黒いクモを連れていました。近所の人々は彼が悪魔と手を組んでいると信じていました。彼が隣人の鳩が自分の穀物を食べることを脅かすと、隣人は彼の bluff を見抜こうとし、鳩を捕まえることは不可能だと信じていました。翌朝、彼は鳩が静かに野原に座っているのを見て驚き、ネイピアがそれらを袋に入れているのを目撃しました。彼らは魔法にかけられたのでしょうか？実際には、ネイピアはエンドウ豆にブランデーを混ぜて鳩を酔わせていたのです。ネイピアは、彼が魔法使いであるという地元の信念を利用しました。彼はスタッフの中に泥棒がいるかどうかを確かめるため、黒い雄鶏が犯人を見分けられると伝えました。スタッフは一人ずつ部屋に入り、雄鶏を撫でる必要がありました。ネイピアは、その鳥が泥棒に触れられたときに鳴くと主張しました。全員が雄鶏を訪れた後、ネイピアは彼らに手を見せるように頼みました。全員の手には黒いすすがついていましたが、一人だけは例外でした。ネイピアは、泥棒だけがその鳥を撫でるのを恐れていることを知って、雄鶏にすすを塗りつけていたのです。ネイピアは数学に魅了されていましたが、数字への興味は単なる趣味に過ぎず、神学の勉強に多くの時間を取られて計算を行う十分な時間がないことを嘆いていました。しかし、彼は長い計算を回避するための巧妙な戦略を考案しました。彼がその近道について出版した本に書いたように、「数学の愛する学生たちよ、数学の実践において最も厄介で、計算者を最も悩ませ、妨げるものは、大きな数の掛け算、割り算、平方根や立方根の計算であり、これは時間を無駄にするだけでなく、多くの滑りやすい誤りにさらされることが多いことを考え、私はその障害を取り除くための確実で迅速な技術を考えることにしました。」ネイピアが発見したのは、二つの大きな数を掛け算する複雑な作業を、二つの数を足すというはるかに簡単な作業に変える方法でした。さて、どちらの計算を手で行う方が早いでしょうか？ 379,472 x 565,331 それとも 5.579179 + 5.752303 この魔法のような変換の鍵は対数関数です。関数とは、ある数を入力として受け取り、その内部のルールに従ってその数を操作し、新しい数を出力する小さな数学的な機械のようなものです。対数関数は、ある数を受け取り、その数を得るために10を何乗すればよいかを出力します。例えば、100を入力すると、対数関数は2を出力します。なぜなら、10の2乗は100だからです。もし1,000,000を対数関数に入力すると、出力は6になります。なぜなら、10の6乗は1,000,000だからです。 対数関数は、明らかに10の累乗でない数を入力する場合、少し厄介になります。例えば、379,472を得るためには10を5.579179乗しなければなりません。565,331を得るためには10を5.752303乗します。多くのショートカットと同様に、このショートカットを実装するためには事前に多くの作業が必要でした。ネイピアは、数の対数を調べるための表を作成するのに多くの時間を費やしましたが、一度表が準備されると、そのショートカットは本領を発揮しました。 もし10の累乗が2つある場合—例えば、10のa乗と10のb乗—それらを掛け合わせたいとき、答えは非常にシンプルです。それは10の(a + b)乗です。つまり、379,472と565,331を掛け算するという難しい作業をする代わりに、対数を足し算することができます。具体的には、5.579179 + 5.752303 = 11.331482と計算し、ネイピアが準備した表を使って答えを計算します：10の11.331482乗です。この計算を早めるために表を使うというアイデアは新しいものではありません。実際、古代バビロニアの楔形文字の粘土板のいくつかも同様の方法で使用されていたようです。彼らは大きな掛け算を解くために別の公式を利用しました。もし大きな数AとBがあれば、代数的な関係式A × B = 1/4 × {(A + B)² - (A - B)²}によって問題を平方数の引き算に変えることができました。平方を計算する代わりに、以前に書記によって計算された平方の表を参照するだけで済みました。 ネイピアは、彼が考案したショートカットを『対数の素晴らしい表の説明』という本で説明しました。この本が広まるにつれて、確かに読者に驚きを与えました。オックスフォードの私の大学で初代サビリアン幾何学教授を務めた数学者ヘンリー・ブリッグスは、ネイピアの対数の力に感銘を受け、そのショートカットの背後にいる人物に会いたいと熱望し、スコットランドのネイピアを訪れるために4日間の旅をしました。「私はこれほど私を喜ばせ、驚かせる本を見たことがありません」と彼は書きました。何世紀にもわたり、これらの表は科学者や数学者に複雑な計算のためのショートカットを提供し続けました。 偉大なフランスの数学者で天文学者であるピエール＝シモン・ラプラスは、200年後に対数について「労力を短縮することで、天文学者の人生を二倍にし、長い計算に伴う誤りや嫌悪感から彼を救う」と宣言しました。ラプラスはここで、良いショートカットの本質的な特質を捉えています。それは、心を解放し、より興味深い追求にエネルギーを注ぐことを可能にするのです。しかし、真に科学者を計算の退屈から解放したのは、機械の登場でした。 機械式計算機の先駆者の一人は、17世紀の偉大な数学者ゴットフリート・ライプニッツでした。「優れた人々が、計算の労働に奴隷のように何時間も費やすのはふさわしくない」と彼は書いています。「機械を使えば、誰にでも安全に任せられるものです。」ライプニッツは、最終的に自らが作ることになる機械のアイデアを、歩数計に出会ったことで得ました。「思考せずに歩数を数えることができる器具を見たとき、すべての算術が同様の装置で達成できるというアイデアがすぐに浮かびました。」歩数計は、10の歯を持つ歯車が1回転するごとに、別の歯車に接続されて10歩を記録するというシンプルなアイデアを利用していました。これは歯車における位取りシステムです。ライプニッツの計算機は「段階的計算機」と呼ばれ、加算、乗算、さらには除算も可能でした。しかし、彼のアイデアを物理的に実現することは難題でした。「もし職人が私が考えたモデルのようにその器具を作ることができればよかったのに。」彼はロンドンに木製のプロトタイプを持参し、ロイヤル・ソサエティのメンバーにデモを行いました。すでに気難しい人物として知られていたロバート・フックは、深く感銘を受けることはなく、機械を分解した後、もっとシンプルで効率的な装置を作れると宣言しました。しかし、ライプニッツは挫けず、最終的には熟練の時計職人を雇って、彼が約束した計算のショートカットを実現する機械を作らせることに成功しました。 ライプニッツはさらに壮大なビジョンを持っていました。彼は算術だけでなく、すべての思考を機械化したいと考えていました。彼は哲学的な議論を、機械で実装できる数学的な言語に還元することを望んでいました。彼は、もし二人の哲学者があるアイデアについて意見が対立した場合、彼らが単に機械に頼ってその違いを解決し、誰が正しいかを見つけることができる時代を思い描いていました。故郷のハノーファーを訪れた際、私は幸運にもライプニッツの機械の一つを見ることができました。それは美しいもので、私たちはそれを持っていることに感謝しています。数年間、このオリジナルの機械はゲッティンゲンの大学の建物の屋根裏に保管されており（ガウスの大学）、1879年に作業員が建物の屋根の漏れを修理しようとして隅に隠れていたそれを発見するまで再発見されることはありませんでした。ライプニッツの機械は、最終的に今日の計算機やコンピュータにつながるものの始まりです。 しかし、コンピュータの力には限界があることも忘れてはいけません。最近では、コンピュータが計算を迅速に行う能力が非常に高いため、彼らにできることに限界はないと考えがちです。1984年に『タイム』誌が報じたように、「適切なソフトウェアをコンピュータに入れれば、あなたが望むことは何でも実行してくれる」と言われています。しかし、コンピュータには限界があります。時には、人間のプログラマーが計算を回避するための巧妙なショートカットを考え出す必要があることもあります。コンピュータが利用する最も興味深いショートカットの一つは、実際の計算の世界とは無関係に思える新しい種類の数、すなわち「虚数」を利用することです。 数学の鏡を通して 方程式 x² = 4 を解けますか？おそらく、x = 2 という答えをすぐに思いついたでしょう。なぜなら、2を二乗すると4になるからです。もし賢い方なら、もう一つの答え、x = -2 も思いついたかもしれません。なぜなら、負の数を二乗すると答えは正になるからです。したがって、-2を二乗しても4になります。この方程式は非常に簡単でした。しかし、次の方程式を解くように言ったらどうでしょうか：x² - 5x + 6 = 0 これは多くの読者にとって身震いするような挑戦だったかもしれません。なぜなら、これは学生が学校で解くことを学ばなければならない二次方程式の一つだからです。実際、古代バビロニア人はすでに答えを導き出すための一般的なアルゴリズム手順を考案していました。彼らはまだ自分たちの考えを表現するための代数的な言語を持っていませんでしたが、現代の言葉で言えば、一般的な方程式 ax² + bx + c = 0 の解を見つけたい場合、答えを見つけるための公式があります：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a) したがって、方程式 x² - 5x + 6 = 0 の場合、a = 1、b = -5、c = 6 を公式に代入すると、答えは x = 2 または x = 3 になります。バビロニア時代において、数学が困難な作業を短縮する力を持ち始めた瞬間がありました。この公式が発見される前は、各二次方程式は手作業で解かれていました。書記たちは毎回同じことを繰り返し、数字は異なっていても、やっていることは同じであることに気づいていませんでした。しかし、ある時、書記の一人が、数字に関係なく機能する一般的なアルゴリズム手順があることを認識しました。これが数学が始まる瞬間です。無限に多くの方程式の背後にあるパターンを見抜く技術です。無限の量の作業をする代わりに、そのパターンは本質的に必要な労働は一つだけであることを明らかにします。これらの方程式を解くためのアルゴリズムや公式を学べば、無限に異なる方程式を解くためのショートカットを手に入れることができます。バビロニア時代における数学の誕生は、数学が本当にショートカットの技術である理由を目の当たりにさせてくれます。しかし、このショートカットはすべての二次方程式を解決できるのでしょうか？方程式 x² = -4 を解くという挑戦はどうでしょうか？ 何世紀もの間、この方程式は解けないものと考えられていました。結局、私たちが数を数えるために使う数字は、平方にすると常に正の値になるという特性を持っています。バビロニアのアルゴリズムや公式も役に立たず、V-4の意味を理解する必要がありました。しかし、16世紀の中頃に奇妙な出来事が起こりました。1551年、イタリアの数学者ラファエル・ボンベッリは、教皇領に属するヴァル・ディ・キアーナの湿地を排水するプロジェクトに取り組んでいました。すべてが順調に進んでいたのですが、突然の中断が作業を止めてしまいました。やることがなくなったボンベッリは、代わりに代数に関する本を書くことに決めました。彼は、同じイタリア人のジェロラモ・カルダーノが書いた本で見つけた、方程式を解くための新しい興味深い公式に興味を持っていました。バビロニア人は二次方程式を解くための公式を考案しましたが、x³ - 15x - 4 = 0のような三次方程式についてはどうでしょうか？数十年前、多くの数学者がこれらの三次方程式を解くための公式を見つけたと発表していました。当時の数学者たちは学術雑誌に発表するのではなく、公共の場で互いに競い合うことを楽しんでいました。私は、土曜日の午後に地元の広場に出かけて、最新の専門家の戦いで地元の数学者を応援するという素晴らしい光景を思い描きます。その中で、他の数学者たちよりも明らかに優れた公式を持っていた数学者がいました。その数学のチャンピオンの名前はニッコロ・フォンタナ、通称「タルタリア」でした。彼は自分の成功の秘密を明かすことに気が進まなかったのですが、最終的にはカルダーノに公式を説明するよう説得されました。ただし、カルダーノがそれを公表しないという条件付きで。カルダーノは数年間抵抗しましたが、ついには我慢できなくなりました。その公式は、1545年に出版された彼の有名な本『アルス・マグナ』に華々しく登場しました。ボンベッリがカルダーノの本を読み、x³ - 15x - 4 = 0の方程式にその公式を適用したとき、奇妙なことが起こりました。ある時点で、その公式は-121の平方根を取るよう要求しました。ボンベッリは121の平方根を取る方法を知っていました。それは簡単で、答えは11でした。しかし、-121の平方根は何でしょうか？数学者たちが負の数の平方根を取る必要に直面するのはこれが初めてではありませんが、通常はこの時点で諦めてしまいました。カルダーノも同じ問題に直面し、計算を放棄しました。そんな数は存在しないと。しかし、ボンベッリは冷静さを保ちました。彼はカルダーノの本にある公式を使い続け、この奇妙な虚数をそのまま残しました。そして、まるで魔法のように、数が相殺され、彼はx = 4という答えを得ました。実際、彼がその値を方程式に戻すと、うまくいきました。x = 4という最終的な結果に到達するために、ボンベッリは虚数の世界を旅する必要があったのです。 まるで魔法の鏡を通り抜けて、不思議な新しい土地に足を踏み入れたかのようだった。そしてその場所の先には、通常の数の世界や求めていた目的地へ戻るための別のポータルへと続く道があった。しかし、この想像の世界に足を踏み入れなければ、解決策への道は存在しなかった。彼は、これは単なるトリックではなく、鏡の向こう側にあるこれらの数が本当に存在するのではないかと考え始めた。数学者たちは、これらの数を自分たちの世界に受け入れる勇気を持つ必要があるのだ。ボンベリの著作は、虚数の発見につながった。最も基本的な数、すなわち-1の平方根は、最終的に「i」という名前が付けられた。この「i」は「虚数」を意味し、数年後にルネ・デカルトによって作られた軽蔑的な用語であったが、彼はこれらの奇妙で捉えどころのない数に魅了されてはいなかった。それでもボンベリは、その力を明らかにした。彼の著書では、虚数を操作する方法についての完全な分析が示されている。もし立方方程式を解きたいのであれば、虚数の世界に足を踏み入れる準備ができていれば、答えへの近道を取ることができた。数学者たちは最終的に、これらの虚数を実数と対比して複素数と呼ぶようになった。ライプニッツはボンベリの粘り強さに感銘を受け、彼を分析的な技術の優れた達人と称賛した。「こうして、ボンベリというエンジニアが複素数を実用的に利用している。おそらく彼はそれが有用な結果をもたらすからだ。一方、カルダーノは負の数の平方根を無用だと考えた。ボンベリは複素数についての最初の取り扱いを行った……彼が複素数の計算法則を提示する際の徹底ぶりは驚くべきものである。」何世紀にもわたり、数学者たちはこれらの数に対して非常に懐疑的であった。もし2の平方根が欲しいのであれば、それは小数展開が無限である数でありながら、定規の上でその数を見えるように感じることができた。それは1.4と1.5の間にあった。しかし、-1の平方根はどこにあったのか？それは定規では見ることができなかった。最終的に虚数を視覚化する方法を考案したのは、私の英雄カール・フリードリッヒ・ガウスだった。ガウス以前、数学者たちが使っていた数は、横の線上に描かれ、負の数は左に、正の数は右に配置されていた。ガウスは新しい方向に進むというインスパイアされた動きをした。これらの新しい数は、ページの上に垂直に走っていた。ガウスの図では、数はもはや1次元ではなく2次元になった。この新しい数の地図は非常に強力であり、その幾何学はこれらの数がどのように振る舞うかを代数的に反映していた。第5章で説明するように、良い図は複雑なアイデアを説明するための驚くべき近道である。ガウスは、これらの数についての驚くべき事実を証明する際に、彼の図を発見した。 どんなに複雑な方程式でも、xの冪から成り立っている限り、虚数を使って解を見つけることができます。新しい数を考え出す必要はありません。虚数はすでにすべての方程式を解くのに十分な力を持っていました。このガウスの偉大な発見は、現在「代数の基本定理」と呼ばれています。ガウスの地図は、この奇妙な虚数の世界をナビゲートするための素晴らしい近道となりましたが、奇妙なことにガウスはその2次元の図を秘密にしていました。その後、デンマークのカスパー・ヴェッセルとスイスのジャン＝ロベール・アルガンという2人のアマチュア数学者によって独立して再発見されました。今日、この図はアルガン図と呼ばれています。功績は公平に評価されることは稀です。フランスの数学者ポール・ペンレヴェは、彼の著書『科学的業績の分析』の中で次のように書いています。「この研究の自然な発展は、幾何学者たちが研究の中で虚数と実数の両方の値を受け入れることにつながりました。実数の領域の2つの真実の間では、最も簡単で短い道がしばしば複素数の領域を通ることが明らかになりました。」ペンレヴェは数学者であるだけでなく、フランスの首相も務めました。彼がその職に就いた最初の期間は1917年で、わずか9週間しか続きませんでしたが、ロシア革命の影響やアメリカの第一次世界大戦への参戦、フランス軍の反乱鎮圧に対処する必要がありました。私の仕事で複素数を明示的に使っていなくても、私はしばしばその哲学に触れています。このような近道は、サイエンスフィクション作家がキャラクターを宇宙の片側からもう一方へ移動させるために作り出すワームホールのようなものです。どんな状況でも、目標に到達するための隠れた鏡がどこかにあるかどうかを探る価値があります。私の数学的研究では、構築可能なすべての対称性を理解しようとしています。しかし奇妙なことに、この課題に取り組むために見つけた方法は、全く異なる数学の分野に起源を持つ「ゼータ関数」と呼ばれる新しい対象を作り出すことです。それでも、このアプローチは、対称性の世界に留まっていたなら決して得られなかった視点を私に与えてくれました。次のピットストップで起業家のブレント・ホバーマンとともに説明するように、インターネットの登場は、多くの異なる商取引において仲介者を排除できる素晴らしい鏡の世界を提供しました。時には、解決策への道を見つけるためのワームホールは、私が歩んでいる地形を単に変えることに関するものかもしれません。数学の問題に行き詰まったとき、私はしばしば音楽を聴いたり、チェロを練習したりして、心を自由にさせる方法としています。デスクに戻ると、問題に対する見方が変わっていることがよくあります。音楽は、虚数の世界に入ることを許され、ペンレヴェが示唆するように、望む目的地への道がここでは短いかどうかを探るようなものです。 新しい考え方への隠れた扉にアクセスするための代替の道を探ることは、試してみる価値があります。今日、虚数の世界は、鏡の向こう側を通るこのショートカットなしではほぼ不可能なさまざまな概念を理解するための鍵となっています。量子物理学は、これらの虚数に符号化されて初めて意味を成します。電子工学における交流は、-1の平方根を使って説明することで最も簡単に操作できます。これらの数が提供するショートカットのもう一つの顕著な例は、世界中の空港で飛行機を着陸させるのを助けるコンピュータの内部に見られます。 BA 107、着陸許可が下りました。数年前、私はイギリスの主要な空港の一つの航空交通管制塔にアクセスする機会を得ました。飛行機のミニアイコンが画面上で踊っている様子は、まるでワイルドなコンピュータゲームのようでした。しかし、オペレーターたちが何千人もの命を預かっていることを私は理解していました。見学中はとても静かにするように言われました！しかし、シフトが終わった後に一人の管制官と話す機会を得たとき、彼らが飛行機を着陸させるために使用しているシステムが、着陸中の飛行機を追跡するレーダーの計算を速めるために虚数を利用していることに驚かされました。 無線波が金属物体に反射されることを最初に発見したのは、ドイツの物理学者ハインリッヒ・ヘルツです。彼は1877年に電磁波の存在を証明する実験中にこの発見をしました。彼の名前は、波の振動速度を測定する単位に使われていることで称えられています。しかし、ヘルツの同国人であるクリスチャン・ヒルスマイヤーは、この科学的発見が提供する実用的な可能性に気づきました。彼は、霧によって視界が悪化した場合に船が他の船の存在を検知できる電磁デバイスの特許をドイツとイギリスで取得しました。彼がこのデバイスを作る動機となったのは、海での二隻の船の衝突で息子を失った母親の悲しみを目の当たりにしたことだと言われています。彼は1904年5月18日にライン川の橋から行った実験でこのデバイスを実演しました。この装置は、ライン川を下ってくる船の存在を3キロメートル以内で感知することができました。しかし、彼の装置は時代を先取りした発明であり、船がどれくらい遠くにいるのか、どの方向にいるのかを検知するための数学が実装されていなかったため、実用化には至りませんでした。数年間、このアイデアはジュール・ヴェルヌのようなサイエンスフィクションの世界に留まることになります。このアイデアの現実世界での実装には、さらに数十年と世界大戦が必要でした。「レーダー」という言葉は「無線探知と距離測定」の略語として生まれたため、正確に誰がレーダーを発明したのかは難しい問題です。 戦争の準備が進む中、各国の開発は秘密にされていました。なぜなら、運用に成功した国は、敵の飛行機を検知する上で優位に立つことが明らかだったからです。しかし、スコットランドの物理学者ロバート・ワトソン＝ワットは、この技術の先駆者の一人でした。彼は、ドイツの「死の光線」が電波に基づいているという噂についてコメントを求められましたが、そのアイデアをすぐに否定しました。しかし、このことが彼を技術の可能性を探るきっかけとなりました。彼は、数学を電波信号と組み合わせて飛行機を追跡する方法を実演し、北海からロンドンに接近する飛行機を検知するためのレーダー基地の設立につながりました。彼のレーダーネットワークは、イギリスのバトル・オブ・ブリテンにおいて、ロイヤル・エア・フォースに重要な優位性をもたらしたと一般的に評価されています。 戦争時も平時も、接近する飛行機を追跡する際にはスピードが重要です。飛行機から反射される電波を基に、航空機の位置を計算するためのショートカットを見つけることが重要でした。基本的な計算は実際には三角法に関するもので、これは第4章で説明します。送信され、検知される波形の形状は、正弦と余弦の数学で表されます。しかし、実際にはその計算は非常に複雑で時間がかかることが判明しました。そこで、虚数の発見が救いの手を差し伸べました。18世紀の偉大なスイスの数学者レオンハルト・オイラーは、虚数を指数関数に入力すると、波動関数の奇妙な組み合わせが得られることを発見しました。150年後、この出力がレーダーに使われる波に非常に似ていることが認識されました。この関連性は、多くの数学者が歴史上最も美しい方程式と評価するものの鍵となります。この関連性は、波と指数関数の間の一つの例が、数学史上最も重要な5つの数を結びつける方程式を生み出すからです： e^iπ + 1 = 0 波動関数の複雑な数学を使う代わりに、数学者たちは虚数を用いてすべてを結びつけることで計算を簡素化し、迅速化できることに気づきました。これらの奇妙な数を使うことで、計算は単純な指数関数に関するものとなり、迅速かつ効率的に実行できるようになりました。現代のコンピュータの驚異的な力を駆使しても、航空交通管制官は、世界中の空港で飛行機を着陸させるために虚数を利用したこのショートカットを活用しています。このショートカットがなければ、計算が完了する前に飛行機が不時着してしまう可能性があったのです。 これは、ペインレヴの定理「現実の領域における二つの真実の間では、最も簡単で短い道がしばしば複素数の領域を通る」ということを非常に明確に示しています。 **二進法とその先** コンピュータが効率的な計算を行うために利用している他のショートカットの一つは、数字を非常に経済的に表現する方法です。私たちが見てきたように、十進法の10の記号だけが数字を表す方法ではありません。実際には、数字を表すために任意の数の累乗を選ぶことができ、十進法のように10だけではありません。バビロニア人は0から59までの記号を持ち、60進法を使用していました。一方、マヤ文明は0から19までの記号を持ち、20の累乗を使った数体系を作り出しました。十進法で10を選んだのは、私たちが10本の指を持っているという解剖学的な偶然に過ぎません。（『ザ・シンプソンズ』のキャラクターは8本の指を持っているので、彼らは8の累乗で計算しているのかもしれません。）バビロニアの60進法も私たちの解剖学に関連しているようです。各指には3つの関節があります。したがって、右手の親指を使って、同じ手の他の4本の指の12の関節のいずれかを指し示すことができます。12の関節を数えたら、今度は左手で数え、右手で新たに12を数え始めます。左手には5本の指があるため、5セットの12の関節を数えることができ、合計で60になります！29を表すには、左手の指を2本立て、右手の親指で5番目の関節（2本目の指の中間の関節）を指し示します。しかし、コンピュータは「指」を1本しか持っていません。基本的に、コンピュータはスイッチがオンまたはオフであるという原則で動作します。彼らは、オフを表す0とオンを表す1の2つの記号だけを使用するシステムを必要とします。この2つの記号だけを使って、コンピュータはすべての数字を表現することができます。10の累乗の代わりに、位置価値システムの各桁は2の累乗を表し、これを二進法と呼びます。したがって、11011という数字は1×2^4 + 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1 = 27を表します。 私たちは会話、画像、音楽、書籍をデジタル形式に変換する方法を見つけてきたので、この二進法を使ったショートカットは、私たちの周りの世界を0と1の文字列に変換しました。この二進法のアイデアは、章の冒頭で提示されたパズルを解く鍵でもあります。「八百屋は1kgから40kgまでの重さを測るために、いくつの重りを使えばいいのか？」という問題です。ここでのポイントは、二進法ではなく三進法、つまり3の累乗で考えることです。天秤は3つの設定を許可します：右側に重りを置く（+1）、左側に重りを置く（-1）、または重りを置かない（0）です。三進法で考えることで、八百屋は1kg、3kg、9kg、27kgの4つの重りだけで、1kgから40kgまでのすべての重さを測ることができることが示せます。例えば、16kgの袋を測るには、その袋を一方の皿に置き、3kgと9kgの重りを加えます。これにより、もう一方の皿に1kgと27kgの重りを置くことで、ちょうどバランスが取れます。 数字を表すのに0、1、2を使う代わりに、実際には-1、0、1という記号を使っています。例えば、16は1(-1)(-1)1で表され、これは1単位、マイナス1の3の単位、マイナス1の9の単位、プラス1の27の単位を表し、27 - 9 - 3 + 1 = 16となります。数字であれ他の複雑なアイデアであれ、概念を表現するための最適な表記法を見つけることが、解決策への近道になることがあります。三進法を考えられる八百屋は、必要な仕事をするためにたった4つの重りを購入するだけで済みます。この近道を理解していない競争相手は、不要な重りに資源を無駄にすることになるでしょう。複雑な概念を表現するための良い略語を見つけることは、歴史を通じて重要な近道であり、数字の記録だけに限りません。講義や会議中にメモを取っているなら、繰り返し出てくる重要なアイデアのためにすでに略語を作り始めていることでしょう。しかし、アイデアをより扱いやすくするためのより良い表記法があるかもしれません。ある形のデータは明瞭でないことがありますが、記録の方法を変えると新たな洞察が生まれます。対数グラフは、元の数字よりもデータについて多くのことを教えてくれることが多く、例えば地震は対数リヒタースケールを使って測定される理由です。また、あなたを今いる世界から抜け出させ、目的地への近道を提供する代替の世界を与えてくれるような、想像上の数のようなレンズにも目を向けてみてください。 ピットストップ2 スタートアップ 「マーケティングディレクターたちに、逮捕されることが本当に成功の証だと言っていましたが、誰もそれを達成できませんでした。」これは、スタートアップインキュベーターのFounders Factoryを創設したブレント・ホバーマンが最近の訪問時に私に語った言葉です。ホバーマン（まだ逮捕されていないことを付け加えておきます）は、法律の限界を押し広げることが、彼の最も有名なベンチャーであるLastMinute.comの成功の要因だと考えています。この会社は1998年にマーサ・レイン・フォックスと共同で設立されました。ホバーマンが考える「起業家精神」の一部は、ゲームのルールを破ることであり、それが成功するビジネスベンチャーへの近道だと信じています。Founders Factoryのオフィスには、遊び心あふれる素晴らしい雰囲気があります。壁には狂った落書きで覆われたホワイトボードが飾られており、世界中の数学部門に見られるホワイトボードとあまり変わりません。このスペースのオープンプランな性質は、異なるスタートアップ同士が肩を寄せ合い、アイデアを共有することを可能にしています。アイデアを刺激するために食べ物や飲み物、ゲームも用意されています。しかし、ホバーマンが信じる成功への最良の近道は、ゲームのルールを破ることです。「多くの起業家は歴史的にルールを破り、その後に許しを求めました。それがUberの旅路であり、Airbnbの旅路です。彼らはどちらも法律を破っています。なぜ人々が自分の家を貸し出すことができないのでしょうか？そして社会はそれを見て、『実際、そうだね、なぜダメなの？』と言うでしょう。それが彼らの近道でした。」 法律を破ることは、多くの数学者にとって有効な戦略となってきました。数学の法則では、数を二乗すると必ず正の数になるとされています。しかし、ラファエル・ボンベリは、二乗すると-1になる数を扱う勇気を持っていました。ルールの枠を超えることで、興味深い新しい数学の世界にアクセスできるのです。ユークリッドは、三角形の内角の和は180度であると述べていますが、後に数学者たちはユークリッドの法則を破る新しい幾何学を考案しました。法律を破る鍵は、その利益がその破壊に見合うものであるということです。ホバーマンは私にこう説明しました。「これはほとんど、この物事の定義を再定義することに関わっています。規制は時代遅れかもしれませんし、規制が非常に遅い場合もあります。時には、人々が自分自身の道徳的コンパスを危険にさらしながら、社会にとってそのトレードオフが価値があると言っていることもあります。」 LastMinute.comの成功の鍵は、航空会社、レンタカー会社、ホテルの未使用の在庫を活用し、アラカルトで購入するよりも安いバンドルを作り出したことです。このアイデアは、ホバーマンが学生時代に彼女を楽しい週末旅行に連れて行こうと考えたときに最初に思いつきました。彼は、翌晩のために残っているスイートルームの数を尋ねるために、最後の瞬間にホテルに電話をかけました。もし彼らが5部屋か6部屋残っていると言ったら、彼はそれらをすべて売り切ることはないだろうと知り、70％の割引で1部屋を引き取る提案をしました。「3回に1回は成功しました。」彼は、なぜ誰もこれをやらないのか不思議に思い始めました。「みんなあまりにもイギリス的でした。イギリス人はそんなことをしません」と彼は冗談を言います。彼は学生時代のその経験を蓄積し、これを産業規模で行うべきだと気づいたことを覚えています。それがLastMinute.comの発端でした。しかし、産業規模で未使用の在庫を発見するには、法律のギリギリを攻める必要がありました。easyJetやRyanairのウェブサイトから在庫をスクリーンスクレイピングすることが含まれていました。ホバーマンが認めるように、LastMinute.comは技術的にはコンピュータ不正使用法を破っており、これは潜在的に犯罪でした。しかし、法的限界を押し広げることは、多くのスタートアップが競争相手に対して優位に立つために利用してきたショートカットです。Facebookは「迅速に動き、物事を壊せ」というモットーで有名になりました。マーク・ザッカーバーグはかつて、「物を壊さない限り、十分に速く動いていない」と言いました。リチャード・ブランソンは、1970年代に法律と接触した経験が彼のビジネス成功のきっかけになったと語っていますが、ブランソンの場合、それは彼がレコード販売の初期に犯した税金詐欺のために60,000ポンドを返済する必要があったからです。この罰金が、ブランソンのより体系的な金儲けのアプローチを促しました。「インセンティブはさまざまな形やサイズで存在しますが、私が今まで持った中で最も説得力のあるインセンティブは、刑務所を避けることでした」とブランソンは書いています。しかし、スタートアップが医療などの厳しく規制された業界を破壊しようとする際には、迅速に動き、物事を壊すことを正当化するのが難しくなります。医療業界は、明らかな理由から厳格な規制条件の下で運営されています。 アイデアに対する信頼を築くには、これらの条件の中で働く必要があります。「害を及ぼさない」という倫理観は、混乱を引き起こしたいという欲望よりも重要です。成功を収める過程で患者を傷つけたくはありません。ホバーマンの成功の理由の一つは、ドットコムブームの初期にインターネットが提供した素晴らしいショートカットを利用したことです。何度も、仲介者を排除することが可能でした。LastMinute.comの場合、仲介者は旅行代理店でした。彼の別の事業であるMADE.COMも同様のショートカットを活用しました。MADE.COMのアイデアは、消費者がデザイナーファニチャーにアクセスできるようにし、デザイナー価格を支払う必要がないようにすることでした。ホバーマンの共同創設者であるニン・リーは、£3,000のソファに目をつけていましたが、偶然にも学校の友人がそのソファを製造している工場を任されていることを発見しました。その工場では、£250で製造していたのです。これが、消費者と製造業者をつなぎ、高額な仲介者を排除するというアイデアを生み出しました。ニンは言います。「家具業界には、£3,000を支払える顧客だけがトレンディでよく作られたソファを持つ権利があるというエリート的な考え方があります。しかし、それには理由がないはずです。」インターネットのおかげで、会社はサプライチェーンを短縮することができました。ホバーマンは、LastMinute.comやMADE.COMのような会社を設立する際のもう一つの重要なショートカットを認識しています。「無知です。もし私がどれほど大変になるかを知っていたら、LastMinute.comを始めることはなかったでしょう。あまり多くのことを知りたくはありません。無知はあなたに異なる考え方をさせてくれます。」ホバーマンの哲学は、私のお気に入りのオペラのキャラクターを思い起こさせます。ワーグナーの「ニーベルングの指環」では、恐れを知らない若きジークフリートがドラゴン・ファフニールを倒し、彼が守る指環を手に入れます。彼は初めて女性に出会ったときに恐れを学びます！恐れを知らないことは、若者が大きな数学的課題を解決するのに成功する理由の一つだと私は信じています。私たちの多くは、リーマン予想のような数学の難題に対する恐れを学びます。これは素数に関する未解決の大問題であり、私たちはそのような難しい問題に挑むことが狂気だと思ってしまいます。「何世代もの数学者が失敗しているのだから、私に何ができるだろう？」ドラゴンは未だに倒されていません。必要なのは、少しの無知と少しの傲慢さです。問題の歴史に怯えず、「この大きな未解決の謎を解くのは私かもしれない」と自信を持って考えることが大切です。ホバーマンはまた、完璧主義が成功の妨げになることもあると信じています。もしあなたの製品が70％完成しているなら、すぐに発売し、途中で修正すれば良いのです。99％完成するのを待っていると、手遅れになります。この哲学には限界もあります。例えば、他の企業がFacebookのプラットフォームに依存し始めると、物事が崩れるのをただ見ているわけにはいかなくなります。プラットフォームが信頼できなさすぎると、企業はあなたのプラットフォームの使用をやめてしまうかもしれません。 2014年、ザッカーバーグは新しい哲学を提唱しました。「安定したインフラで素早く動く」というものです。「『素早く動いて物を壊せ』ほどキャッチーではないかもしれませんが、今はこうやって運営しています」とザッカーバーグはほくそ笑みながら言いました。数学においては完璧主義が重要視されています。多くの数学者は、99％完成した証明を発表する意味はないと考えています。その最後の1％が致命的な場合があるからです。しかし、私たち数学者は完璧主義にこだわりすぎているのかもしれません。未完成のアイデアを共有することは、考えを抱え込んでしまうよりも価値があるかもしれません。ニュートンやある程度のガウスは、不完全で潜在的に異端的なアイデアを共有することに不安を感じたため、進歩を妨げてしまいました。この科学研究コミュニティの倫理を変えることが、ザッカーバーグが妻のプリシラ・チャン博士と共に設立した新しいイニシアティブ、CZIの核心です。CZIの目的は、異なる研究グループ間のネットワークを強化し、医療の課題に対する解決策を生み出すことです。現在、進行中の研究を共有することへの恐れが、これらの解決策を妨げています。ホバーマンは新しいスタートアップへの大きな投資家となりましたが、どの企業を支援するかを知る上で完璧主義が危険だと考えています。「直感は、もう一つのショートカットだと思います。私たちは企業に投資する際にショートカットを使います。私たちの最良の決定は、おそらく5分か10分の会議の後に下されます。ヨハネス・レックはGetYourGuideを始めましたが、今やそのビジネスは10億ドル以上の価値があります。彼に会った後、10分で同僚に『今夜彼に会いに行くべきだ』と言いました。この人には特別な何かがあります。同様に、フランスの成功した健康企業Alan.euでも、背後にいる人が天才だとすぐにわかりました。それ以上は必要ありません。私がその会社に引き入れようとした多くの親友たちは、過剰に分析してしまいました。」私たちの会話から、ホバーマンが成功した出口を得るためのショートカットを利用することに熱心であることが明らかです。「ショートカットは素晴らしいと思いますし、子供たちがショートカットを考えないと叱ります。よく人々が列に並んでいるのを見かけます。3つの列があって、みんな最初の列に並んでいます。もし3メートル離れた3番目の列に移動すれば、10分節約できるのに、人々はそれをしません。人々は『どうやって列の前に行くか、別の列を見つけるか、別の列を立ち上げるか』を考えていないのです。人生はそのような決断の連続であり、常にショートカットを探すべきです。」 第3章 言語のショートカット パズル：クリスマスの時期に私が楽しんで歌う曲の一つは「クリスマスの12日」です。「クリスマスの初日、私の愛する人が送ってくれたのは…」 「洋ナシの木にいるウズラ」という歌の中で、クリスマスの各日には前の日のプレゼントに加えて新たなプレゼントが贈られます。 1日目：ウズラ1羽 2日目：ウズラ1羽 + ハト2羽 3日目：ウズラ1羽 + ハト2羽 + フランス鶏3羽 このように続いていきます。では、クリスマスの12日目には、私の愛する人が合計で何個のプレゼントを送ってくれたのでしょうか？ 私が数学者としての経験の中で発見した最も強力なショートカットの一つは、問題を語るための適切な言語を見つけることです。しばしば、問題はその本質を隠すような言語で表現されています。代わりの言語を見つけて問題を新しい言い回しに翻訳することで、解決策が突然明確になります。言語を変えることで、数字が隠している企業の売上データの奇妙な相関関係を見つける手助けになります。人生の多くはゲームですが、そのゲームを勝つ方法を知っているものに翻訳することで、驚くべき優位性を得ることができます。 私が数学者としての見習い期間に発見した最も刺激的な啓示の一つは、幾何学を数値に変換する辞書が、ハイパースペースへのショートカットを提供することです。これは、私がプロの数学者として探求し続けている多次元宇宙です。科学やその先に存在する概念の中には、適切な言語を見つけない限り存在しないように思えるものが増えています。構成要素から特性が現れるという「創発現象」の考え方はその一例です。水の湿り気をH₂Oの個々の分子について話すと捉えにくくなります。科学はすべてを基本的な粒子の振る舞いやそれを決定する方程式に還元できると示唆しているようですが、この言語はほとんどの現象を説明するには不十分です。鳥の群れの移動は、鳥を構成する原子の動きの方程式では捉えられません。マクロ経済学は、ミクロ経済学の言語に固執していると理解しにくいものです。金利の上昇がインフレに与える影響を、個々の商品の言語で理解することはできません。たとえミクロ経済の変化がマクロ現象の原因であってもです。自由意志や意識についての私たちの考えも、ニューロンやシナプスについて話すことで本当に捉えることはできません。 感情状態について話すための異なる言語を見つけることで、感じ方が根本的に変わることがあります。「私は悲しい」と言う代わりに、「悲しみが私と共にある」と言うことで、悲しみが移り変わる可能性が生まれます。19世紀のアメリカの心理学者ウィリアム・ジェームズが書いたように、「私の世代の最大の発見は、人間が心の態度を変えることで自分の人生を変えることができるということです。」しかし、言語の力は個人的なものだけにとどまりません。言語は現実の社会的構築において重要な役割を果たします。社会は物事に名前を付けることで、それらを現実のものとして見せることができます。 国家という概念は、地理や人々の集まりによって生まれるだけでなく、言語によっても形作られています。言語が変わることで、一つの言語では捉えにくいアイデアを、別の言語では表現できることがあります。ドイツ語の名詞には性別があるため、英語ではうまくいかない言葉遊びが可能になります。ハインリッヒ・ハイネは、雪をかぶった松の木が日焼けした東洋のヤシの木に恋をする様子を描写しています。ドイツ語では松の木は男性名詞、ヤシの木は女性名詞ですが、この微妙なニュアンスは英語に翻訳すると失われてしまいます。逆に、英語では「彼の車と彼女の車」と言えますが、Google翻訳ではフランス語にすると「sa voiture et sa voiture」となり、車の性別が所有者の性別を上回ってしまいます。ロシア語には、想像できるあらゆる種類の雪や雨の嵐に対する異なる言葉があります。一部の言語には色を表す言葉がわずか5つしかありませんが、英語には多くの言葉があります。私が強調してきたように、パターンは私にとって重要な概念ですが、この言葉をフランス語に翻訳しようとすると、英語の持つ多くの側面を捉える言葉が存在しないことが分かりました。言語間の違いの重要性は、私の英雄であるガウスも魅了していました。学校では、彼のラテン語の習得や古典の迅速な習得に教師たちは非常に感心していました。実際、ガウスはブランズウィック公の資金で学び始める際、数学ではなく文献学を学ぶことをほぼ選びました。私自身の数学者になる旅も、あまり異なるものではありませんでした。若い頃、私はスパイになりたいと思い、世界中の仲間のエージェントとコミュニケーションを取るために言語が重要なスキルだと考えていました。学校では、フランス語、ドイツ語、ラテン語など、学校で教えられているすべての言語に申し込みました。BBCで教えられていたロシア語のコースにも参加し始めました。しかし、私はガウスのように新しい言語を習得するのがうまくいかず、不規則動詞や奇妙な綴りに苦しみました。そのため、スパイとしてのキャリアの夢が遠のくにつれて、非常に落胆しました。そんな時、私の先生であるベイルソン氏が「数学の言語」という本をくれたことで、数学もまた一つの言語であることを理解し始めました。彼は、私が不規則動詞のない言語を渇望していることに気づき、すべてが完璧に理解できる言語を求めていることを察したのでしょうが、この言語が周囲の世界を描写する力強さに抗えないことも理解していたのです。この本の中で、数学的な方程式が夜空を横切る惑星の物語を語ることができること、対称性の概念が泡、蜂の巣、花の形を説明できること、数が音楽の調和の鍵であることを発見しました。宇宙を描写したいのであれば、必要なのはドイツ語やロシア語、英語ではなく、数学なのです。 数学の言語は、数学が一つの言語ではなく多くの言語で構成されていること、そしてそれが他の言語に翻訳する辞書を作るのが得意であることを教えてくれました。その結果、新しい言語ではショートカットが現れることがあります。数学の歴史は、このような素晴らしい瞬間によって彩られています。 数学の文法についてですが、これまでにお見せした多くのパターンの説明には、驚くべき数学的ショートカット、すなわち代数が含まれています。代数のトリックは、特定の事例から一般的なものへと移行することです。これにより、新しいケースを考えるたびに新しい道を切り開く必要がなくなります。特定の数字を一つずつ考える代わりに、文字xを使って任意の数字を表すことができます。 少しトリックをやってみましょう。数字を一つ考えてください。その数字を2倍にします。14を足します。得られた数字を2で割ります。最初に考えた数字を引いてみてください。今考えている数字が7であることを保証します。この小さなトリックは、私がアドバイザーを務めた舞台「消えた数字」の冒頭で使われました。この舞台は、インドの数学者シリニヴァーサ・ラマヌジャンとケンブリッジの数学者G.H.ハーディのコラボレーションについてのものです。このトリックが毎晩観客から驚きの声を引き出すのを見て、まるで彼らの心を魔法のように読んでいるかのように思えました。しかし、実際に起こったことは魔法ではなく、数学です。あなたがどのように数学的に操作されたかを理解する鍵は、代数の概念にあります。代数は、数字がどのように機能するかの背後にある文法です。プログラムを実行するためのコードのように、代数はどんな数字をプログラムに入力しても機能します。 代数は、バグダッドの知恵の館の館長であるムハンマド・イブン・ムーサ・アル＝フワーリズミによって発展しました。810年に設立された知恵の館は、その時代の最も重要な知的中心であり、世界中から学者を集めて天文学、医学、化学、動物学、地理、錬金術、占星術、数学を学びました。イスラムの学者たちは多くの古代の文献を収集し翻訳し、実質的にそれらを後世に残しました。彼らの介入がなければ、私たちは古代ギリシャ、エジプト、バビロニア、インドの文化について知ることができなかったかもしれません。しかし、知恵の館の学者たちは他人の数学を翻訳することに満足せず、自らの数学を創造したいと考えました。この新しい知識への欲求が、代数の言語の創造につながったのです。 おそらく、あなた自身でも代数的なパターンを見つけることができるでしょう。たとえ代数を学んでいなくても。私が掛け算の表を学んでいた子供の頃、これらの計算の下に隠れている興味深いパターンに気づき始めました。たとえば、5 x 5は何か自問してみてください。次に4と6を見てください。この二つの答えの間にはどんな関係がありますか？次に6 x 6と5 x 7を考えます。その後、7 x 7と6 x 8を考えてみてください。おそらく、二つ目の答えが常に一つ目の答えより1少ないことに気づいたことでしょう。 私にとって、こうしたパターンを見つけることが、単調な暗記の時間割り算を少しだけ興味深いものに変えてくれました。しかし、このパターンは常に存在するのでしょうか？ある数を平方すると、その数の両側の数を掛け合わせたものに1を足したものと常に等しいのでしょうか？私はこのパターンを言葉で説明しようとしましたが、9世紀のイラクでは、新たに創造された代数の数学的言語がこのパターンを説明することができました。任意の数をxとしましょう。すると、xを平方すると、それは(x - 1)と(x + 1)を掛け合わせたものに1を足したものになります。代数式で表すと、x² = (x - 1)(x + 1) + 1 となります。この代数の言語は、数学者が選んだどんな数でもこのパターンが常に成り立つ理由を示すことを可能にしました。(x - 1)(x + 1)を展開すると、x² - x + x - 1 = x² - 1 になります。これに1を足すと、ちょうどx²になります。このように、xを任意の数として扱うアプローチが、あなたを7という数字に導くシンプルなマジックトリックの鍵となります。このトリックは、指示を代数に翻訳することです。まず、ある数を考えます：x それを2倍にします：2x 14を足します：2x + 14 2で割ります：x + 7 最初に考えた数を引きます：x + 7 - x = 7 そして、あなたは今7を考えています。このトリックは、最初に考えた数が何であれ、たとえあなたが巧妙に虚数を考えていたとしても、常に成り立つという点が重要です！ここで、私の数学のマジシャンの友人アーサー・ベンジャミンから学んだ別のトリックがあります。代数は、このトリックがなぜ機能するのかを理解するための鍵です。サイコロを2つ振ります。出た2つの数を掛けます。各サイコロの底の数を掛けます。次に、サイコロ1の上の数をサイコロ2の底の数で掛けます。最後に、サイコロ1の底の数をサイコロ2の上の数で掛けます。そして、得られた4つの数を合計します。答えは常に49です。ベンジャミンがここで利用したのは、サイコロの上と下の数が常に7になるという素晴らしい事実です。これを代数と組み合わせることで、常に49、つまり7の平方が得られます。 xxyt(7-x)x(7-y)t + xx(7-y) + (7-x)xy = 7%*7 = 49 しかし、代数が許したのはマジックトリックだけではありません。代数の追加は、数学者の武器庫に新たな発見の大波を解き放ちました。それは、単に言葉を持つのではなく、数学者がこれらの言葉を組み合わせるための文法を理解する瞬間でした。それは、宇宙がどのように機能するかを説明するための言語を私たちに与えてくれました。ライプニッツが代数の力について言ったように、「この方法は、私たちが特に節約しなければならない心と想像力の作業を省きます。物の代わりに文字を使うことで、想像力の負担を軽くし、少ない労力で推論することを可能にします。」 暗い迷宮を照らす この言語の力を使って自然を解読することに気づいた一人がガリレオです。彼はかつて次のように書きました： 「宇宙は、その言語を理解し、それが書かれている文字を知ることなしには理解できない。」 それは数学的な言語で書かれており、その文字は三角形、円、その他の幾何学的な図形で構成されています。これらなしでは、言葉の意味を理解することは不可能であり、まるで暗い迷路をさまよっているかのようです。彼が読み解きたかった宇宙の物語の一つは、物体が地球に落下する仕組みを理解するという挑戦でした。物体が地面に落ちる方法や空中を飛ぶ方法には、何らかの法則が存在するのでしょうか？高い建物から落とした物体のデータを集めるのは難しく、物体は一般的にあまりにも速く落下するため、誰もその速度を正確に測定することができませんでした。ガリレオは、必要なデータを集めるために実験を遅くするという巧妙なアイデアを思いつきました。物体を落とす代わりに、彼はボールが丘を転がる様子を観察することにしました。これなら、ボールが毎秒どれだけ転がったかを記録するのに十分な速度でした。傾斜は、ボールが摩擦で遅くならないように、滑らかでなければなりませんでした。ガリレオは、できるだけ宇宙を自由に落下するボールに近づけたいと考えました。滑らかな表面を整え、ボールが毎秒どれだけの距離を移動したかを記録し始めると、非常にシンプルなパターンが現れました。もし1秒後にボールが1単位の距離を移動していたら、次の1秒で3単位の距離を移動しました。さらに次の1秒では5単位の距離を移動しました。以降の各秒でボールは加速し、より多くの距離をカバーしていきましたが、移動した距離は単に奇数に従っていました。ガリレオが一定の時間内に移動した総距離を考えたとき、物が地球に落下する仕組みの秘密が明らかになりました。1秒後の総移動距離 = 1単位 2秒後の総移動距離 = 1 + 3単位 = 4単位 3秒後の総移動距離 = 1 + 3 + 5単位 = 9単位 4秒後の総移動距離 = 1 + 3 + 5 + 7単位 = 16単位 このパターンに気づきましたか？総移動距離は常に平方数です。しかし、なぜ奇数が平方数と関係があるのでしょうか？数を幾何学に変換することで、その理由を見つけることができます。1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 図3.1. 平方数と奇数の関連性 大きな平方を作るためには、次の奇数を前の平方の周りに包み込む必要があります。突然、平方と奇数の関係が明らかになります。算術的に見るのではなく、幾何学的に見ることは強力な近道です。ガリレオは、ボールが地球に落下する総距離を表す公式を考案することができました。t秒後の総移動距離はtの平方に比例します。重力の基本的な平方法則が明らかになったのです。この方程式の発見は、最終的に大砲から発射されたボールがどこに着地するかを計算し、惑星が太陽の周りを公転する軌道を予測する能力につながりました。クリスマスの第N日目に 奇妙な幾何学的手法を使って、奇数と平方数の関係を示すことができるのは、この章のパズルを解くための近道にもなります。クリスマスに真実の愛からもらうプレゼントの数を計算するために、たくさんの鳩や飛び跳ねる貴族を足し算する長い方法を使うこともできますが、近道は算数から幾何学に問題を変えることです。まず、幾何学的な視点が、私が毎日受け取るプレゼントの数を把握するのにどのように役立つかを示しましょう。毎日のプレゼントの数は、第一章で出会った三角数に他なりません。ガウスがこれらの数をペアにして解決した方法はすでに説明しましたが、もう一つの近道は、課題を幾何学的に見ることです。プレゼントを三角形に配置し、上にウズラを置きます。三角形を構成するプレゼントを数えるのは少し難しいですが、もし二つの三角形をくっつけたらどうなるでしょう？すると、長方形の形ができます。長方形の中のものを数えるのは簡単です：底辺×高さです。三角形はその半分です。この幾何学的な解法は、実質的にはガウスの数をペアにするトリックであり、少し異なる形で表現されています。しかし、幾何学的な視点を持つことで、この数列の任意の数を計算するための簡単な公式を考え出すことができます。n番目の三角数を求めるには、プレゼントの三角形を二つ合わせて、n×(n + 1)の寸法を持つ長方形を作ります。あとは2で割るだけで、三角形の中のプレゼントの数が求まります：1/2 × n × (n + 1)です。しかし、毎日受け取るプレゼントの合計数はどうなるのでしょうか？ここに、初日からの累計があります：1, 4, 10, 20, 35, 56... この数列の次の数は、三角数を順番に足し合わせることで得られます。次の数、つまりこの数列の7番目の数を得るには、7番目の三角数を前の数に足します。7番目の三角数は28なので、この数列の7番目の数は56 + 28 = 84です。しかし、三角数を順番に足さずに、12番目の数、つまりクリスマスの12日間の合計プレゼント数を求めるための賢い近道はあるのでしょうか？再び、数を幾何学に変えることがトリックです。すべてのプレゼントを同じサイズの箱に入っていると考えてみましょう。すると、三角形の代わりに、受け取った箱を三角形の底を持つピラミッドに積み上げることができます。頂上には、梨の木の中にウズラが一羽入った箱があります。次の層には、ウズラが入った箱が一つ、他の二つには鳩が入っています。毎日新しいプレゼントが届くたびに、それらをピラミッドの底に追加します。では、数を形に変えた今、ピラミッドの中にいくつの箱があるのかを理解する方法はあるのでしょうか？驚くべきことに、あります。二つの三角形を合わせて長方形を作ったように、同じサイズの六つのピラミッドを合わせて箱の長方形のスタックを作ることが可能です。 （これをうまく機能させるためには、各ピラミッドに積まれたプレゼントの配置を少し変える必要があります。）もしピラミッドがn層で構成されているなら、その直方体の寸法はn x (n + 1) x (n + 2)です。しかし、私の構造は6つのピラミッドで成り立っています。各ピラミッドに含まれるプレゼントの数を求める公式は、1/6 x n x (n + 1) x (n + 2)です。では、クリスマスの12日目に私の愛する人からもらったプレゼントの数はいくつでしょうか？この公式にn = 12を代入すると、1/6 x 12 x 13 x 14 = 364となります。これは、1年のうちの1日を除いて毎日1つずつのプレゼントがもらえる計算です！ 図3.2. 六つのピラミッドが立方体を形成しています。 デカルトの辞書 私は、数字が隠しているものを絵が見せてくれる様子が大好きです。しかし、注意が必要です。目が騙されることもあります。次の絵を見てください。= |_| | | | {| | | | |_| |_| どうやら、私は正方形を構成するピースをきれいな長方形に並べ替えたようです。しかし、待ってください。正方形の面積は64ですが、長方形の面積は65です。余分な部分はどこから来たのでしょうか？重要なのは、この絵が実際には2つ目の形の対角線が真っ直ぐではないことを見えにくくしている点です。ピースの端が正確に揃っておらず、その隙間にはもう1つの単位正方形が収まるだけの余裕があります。デカルトが有名な言葉で言ったように、「感覚の知覚は感覚の欺瞞である。」このトリックを見た後、私は目をあまり信じなくなりました。私は、代数の言葉を通じてパターンやつながりを本当に説明できるときだけ、本当に幸せです。もし、私が正方形の周りに巻いた奇妙な数字にも同じような巧妙なトリックが隠されているとしたらどうでしょうか？このような視覚的トリックを明らかにするためには、ショートカットを逆にして、幾何学を数字に変換することがしばしば有効です。デカルトは、数字と幾何学の間を翻訳する辞書のアイデアを考案した数学者の一人でした。この辞書は、代数に加えて、宇宙をナビゲートするためのショートカットを見つけることを可能にした他の偉大な言語的発見の一つです。私たちは実際、地図やGPSを使うときにこの辞書を使うことに非常に慣れています。アイデアは、都市や国に重ねられたグリッドを使用することで、景観の中の任意の点を2つの数字で特定できるということです。GPSは、水平軸が赤道で、垂直軸がイギリスのグリニッジを通る経度の線で構成されたグリッドを使用しています。 例えば、デカルトが生まれた家を訪れたい場合、その家はデカルトという町にあります（この町の名前は彼の死後に付けられたもので、特別な偶然ではありません）。その場所に行くためのGPS座標は、緯度46.9726497、経度0.7000201です。地球上のすべての位置は、2つの数字に変換できます。この変換の力は、何かが空間を移動する様子を説明したいときに明らかになります。ボールを投げると、ボールが投げた人から一定の距離にあるときの地面からの高さを2つの数字で表現できます。重要なのは、これら2つの数字を結びつける数学的な方程式が存在することです。仮にxがボールが水平に移動した距離だとしましょう。vをボールを投げたときの垂直方向の速度、uを水平速度とします。すると、yが地面からの高さであれば、次のような式が成り立ちます：y = (v/u)x - (g/2u²)x²。ここでgは重力定数を表す数字で、各惑星でボールが重力によってどれだけ強く地面に引き寄せられるかを決定します。この方程式は、ボールをどれだけ速く、または高く投げても同じ形をしています。uとvの値を変えるだけで、方程式の形を変えることができます。これらは、軌道の形を変えるために調整できるダイヤルのようなものです。すべてのボールが空中を飛ぶ際のパターンを見つけることで、ボールがどこに着地するかを予測することが可能になります。この方程式はxに関する2次方程式です。もしあなたがサッカー選手で、ボールが頭の上に落ちてきて相手のゴールに入れられるように立つ場所を知りたいなら、この方程式をxについて解く必要があります。第2章で説明したように、2000年前の古代バビロニア人はすでにこの解法を見つけていました。しかし、この2次方程式が描写するのはボールの軌道だけではありません。商品の価格が需要と供給によって変動する様子も、同様の方程式で表現できることがよくあります。供給が需要に等しい点で商品が価格付けされる均衡点を見つけることができるのは、数値が方程式で表現されるようになったときです。方程式の言語を使って会社のデータをマッピングしない企業は、ガリレオが言ったように、暗い迷路の中を彷徨い、競合他社が利益を上げている間に取り残されることになります。データポイントのセットがある場合、しばしばそれらを結びつける方程式を探しています。それを見つければ、次に何が起こるかを予測するための素晴らしい近道を得ることができます。これらのパターンがどれほど普遍的であるかは驚くべきことです。ボールを投げる場合、誰がボールを投げるか、どのように投げるか、どこで投げるか、またはどの種類のボールを投げるかは関係なく、方程式は常に同じ一般的な形を持っています。 データに方程式を当てはめる際には注意が必要です。アメリカ合衆国の人口数は、過去100年間にわたって二次方程式でうまく近似することができます。これは、ボールの軌道を追うために使われる方程式のようなものです。しかし、もしより複雑な方程式を使ってxの9乗の項を含めると、データに対して正確にフィットすることができます。これにより、より複雑な式の方が優れた予測を行うと信じることを促されるように思えます。しかし、この方程式は、2028年10月中旬にアメリカの人口がゼロに急落すると予測しています。（あるいは、この方程式が私たちが知らない何かを本当に知っているのかもしれません。）この話は、ビッグデータの力を利用するだけで科学ができると考える人々への警告です。データはパターンを示唆することができますが、そのパターンがデータが示唆する方程式によってどのように決定されるべきかを理解するためには、分析的思考と組み合わせる必要があります。ガリレオが重力の背後にある二次法則を発見したことは、ニュートンの理論的分析によって説明され、なぜ二次方程式が適切な方程式であるかが明らかになりました。 ハイパースペースへのショートカット 幾何学を数値に変換するというアイデアは、私たちが3次元の宇宙をより効率的にナビゲートするだけでなく、決して見ることのできない世界へのポータルも提供します。私の数学的旅の中で、ショートカットの技術を学ぶ中で最も興奮した瞬間の一つは、超次元空間を研究できることを発見したときです。4次元の立方体を作るためのこの言語の力について初めて読んだ日が今でも記憶に刻まれています。これにより、宇宙の一端から他端へ、4次元を通るショートカットを使って宇宙船が移動できる理由が説明されました。これは、宇宙が有限でありながら壁がないという課題を解決します。さらに、3次元ではほどけない結び目を解くことも可能にします。しかし、この辞書が許すのは空間を移動することだけではありません。データを高次元の世界にマッピングすることで、隠れた構造が現れます。データの挙動をグラフに描くとき、実際にはハイパースペースでプロットされるべきものの2次元の影を見ているのです。このショートカットは、2次元の影が隠している微妙な点を明らかにするかもしれません。さあ、ハイパースペースへの旅に出かけましょう。 4次元に到達する方法は、2次元から始めることです。デカルトの座標辞書を用いて正方形を説明したい場合、4つの頂点が(0,0)、(1,0)、(0,1)、(1,1)に位置する形状であると言えます。平面の2次元世界では、各位置を特定するために2つの座標だけが必要ですが、海面上の高さも含めたい場合は、3つ目の座標を追加することができます。3次元の立方体を座標で説明するためには、この3つ目の座標も必要です。その8つの頂点は、(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)、(1,1,0)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,1,1)という座標で表現できます。 | a (0,10), (0,0) (1,0) (0,0,0) (1,0,0) 2D 3D 4D 図3.4. 座標を使ってハイパーキューブを作る デカルトの辞書には、形状と幾何学が一方にあり、数字と座標がもう一方にあります。しかし、3次元の形状を超えようとすると、視覚的な側面は行き詰まってしまいます。なぜなら、4次元の物理的な次元は存在しないからです。19世紀の偉大なドイツの数学者ベルンハルト・リーマンは、ゴッティンゲンでガウスに学んだ学生であり、デカルトの辞書の美しさは、辞書のもう一方の側が続いていることを認識しました。4次元の物体を説明するためには、単に4つ目の座標を追加すればよく、それがこの新しい方向にどれだけ移動しているかを追跡します。4次元の立方体を物理的に構築することは決してできませんが、数字を使うことでそれを正確に説明することができます。それは16の頂点を持ち、(0,0,0,0)から始まり、(1,0,0,0)や(0,1,0,0)の点に広がり、最も遠い点(1,1,1,1)にまで伸びています。数字は形状を説明するためのコードです。このコードを使うことで、物理的に見ることなく形状を探求することができます。そして、そこから止まることはありません。5次元、6次元、さらにはそれ以上の次元に移動し、これらの世界でハイパーキューブを構築することができます。例えば、N次元のハイパーキューブは2のN乗の頂点を持ちます。これらの各頂点からはN本の辺が出ており、それぞれを2回数えています。したがって、N次元の立方体はN × 2^(N-1)本の辺を持つことになります。その4次元の立方体を少し体験したことで、この奇妙な多次元宇宙でさらに多くの形を発見したいという欲求が湧きました。この奇妙な世界で新しい対称的な物体を切り開くことが私の情熱となりました。例えば、グラナダの美しいアルハンブラ宮殿を訪れたことがあるなら、宮殿の壁に描かれた素晴らしい対称的な模様を楽しんだことでしょう。しかし、これらの対称性を理解する方法はあるのでしょうか？私が一見視覚的に見えるものを理解するための近道は、対称性を言語に変えることです。対称性を理解するための新しい言語、すなわち群論が19世紀の初めに生まれました。それは、フランスの革命家エヴァリスト・ガロワという並外れた若者の発案でした。彼の人生は悲劇的に短く、彼の発見の可能性を完全に実現する前に終わってしまいました。彼は愛と政治を巡る決闘で20歳の若さで命を落としました。アルハンブラの2つの壁が非常に異なる絵で飾られているかもしれませんが、対称性の数学はこれら2つの壁が同じ対称性を持っていることを明確に表現することができます。これがガロワの新しい言語の力です。対称性は、物体に対して行う動作であり、それによって物体が移動する前と同じように見えるようにすることができます。ガロワが理解していたのは、対称性の本質的な特徴は、個々の対称性がどのように相互作用するかであり、もし対称性に名前を付けるなら、それらの対称性を織り交ぜるような基礎的な文法が存在するということでした。 この文法こそが、対称性の世界を解き明かすための近道でした。絵は消え、その代わりに対称性がどのように相互作用するかを表現する一種の代数が現れました。19世紀末の数学者たちは群論を用いて、アルハンブラの壁に描くことができる対称的なデザインは17種類しかないことを証明しました。私自身の研究は、このハイパースペースへの旅を続けています。私は、多次元空間でアルハンブラをタイルする方法の数を理解しようとしています。それは幾何学ではなく、言語から作られた建物です。私たちの日常の3次元世界の中でも、これらの超現実的な形を垣間見る方法があります。パリのラ・デファンスにあるラ・グランデ・アルシュは、デンマークの建築家ヨハン・オットー・フォン・シュプレッケルセンによって建てられたもので、実際には4次元の立方体の影、立方体の中の立方体です。サルバドール・ダリは、彼の絵画「十字架上のキリスト（コーパス・ハイパキューブ）」で、4次元の立方体の3次元のネットに十字架にかけられたキリストを描いています。さらに、私は長年待ち望んでいるコンピュータゲームがあり、それはプレイヤーに4次元の宇宙に生きる体験を提供することを約束しています。そのゲームは「ミエガクレ」と呼ばれ、デザイナーのマーク・テン・ボッシュが10年以上にわたって制作してきたハイパーゲームです。プレイヤーは、画面上の3次元環境で前進を妨げる壁に直面したとき、4次元の方向に向きを変え、この新しい方向に動くことで、壁の横を回り込むショートカットを持つ平行世界を見つけることができるというアイデアです。このゲームは驚異的に聞こえ、リリースを待ちきれませんが、長い遅延の一因は、開発者の3次元の思考の複雑さが、これらの4次元の世界を織り合わせるのに苦労しているからではないかと疑っています。 ゲームに勝つこと 私はゲームの大ファンで、4次元のクレイジーなゲームだけでなく、世界中を旅しながらゲームを集めるのが大好きです。しかし、異なる地域からのゲームが非常に異なって見えるにもかかわらず、しばしば同じゲームが異なるコスチュームを着ていることに驚かされます。これにより、多くのゲームは、別の一見異なるゲームに変えることができれば、ずっと簡単にプレイできることに気づきました。人生の多くの課題は、基本的に変装したゲームです。二つの競合企業間の潜在的な協力は、しばしば「囚人のジレンマ」と呼ばれるゲームの例になることがあります。三者間の競争は、じゃんけんのゲームを隠しているかもしれません。「ビューティフル・マインド」という映画を観たことがあるなら、ゲーム理論の発明者の一人であるジョン・ナッシュ（ラッセル・クロウが演じる）が、バーで美しい女性を手に入れる挑戦をゲームに変える瞬間を思い出すかもしれません。しかし、ゲームには数学が非常に得意とするルールがあります。数学がゲームに勝つために発見した大きな近道の一つは、ゲームを全く異なるものに変えることで、勝つための戦略がはるかに明確になることです。私のお気に入りの例の一つは、「15」というゲームです。 プレイヤーは1から9までの数字を交互に選び、合計が15になる3つの数字を揃えることを目指します。一度選ばれた数字は、相手が選ぶことはできません。合計15を作るには、必ず3つの数字を使わなければなりません。例えば、1 + 9 + 5を選ぶことはできますが、6 + 9を選ぶことはできません。このゲームは、15を作るためのさまざまな方法を把握しつつ、相手が先に15を作るのを阻止しなければならないため、非常に難しいです。友達と一緒にラウンドをプレイしてみると、さまざまな可能性を把握するのがどれほど難しいかを実感できるでしょう。しかし、このゲームを簡単にプレイするための近道は、全く異なるゲームに変えることです。それは、三目並べ（ティックタックトー）です。ただし、魔法陣の上でプレイします。 魔法陣は、すべての行、列、または対角線の数字の合計が15になる特性を持っています。この魔法陣で三目並べをプレイすると、実際には15のゲームをプレイしていることになります。しかし、三目並べの幾何学は、15になるための数字の加算の算術よりもはるかに把握しやすいです。 次に、正しい視点を見つけると簡単にプレイできる別のゲームを考えてみましょう。以下の地図を見てください。都市が道路でつながっています。道路は地図上のすべての直線から成り立っており、1本の道路には2つ、3つ、または4つの都市が含まれることがあります。プレイヤーは交互に道路を主張します。1つの都市を通る3本の道路を最初に主張した人が勝ちです。これも、可能な戦略を感じるためにプレイする価値があります。しかし、実際にはこれもまた三目並べの変形です。道路に次の数字を付けると、再び魔法陣の上で三目並べをプレイしていることになります。 もう一つ、別の言語に翻訳するとプレイが明確になる古典的なゲームは、ニムというゲームです。豆の山が3つあります。プレイヤーは交互に1つの山から任意の数の豆を取り除きます。勝者は最後に豆を取った人です。3つの山には任意の数の豆を置くことができます。例えば、3つの山がそれぞれ4、5、6の豆から成るとしましょう。このゲームに勝つための戦略はあるのでしょうか？コツは、各山の豆の数を2進数に変換することです。4は100、5は101、6は110です。これらの数字を足すための奇妙なルールがあり、これによって勝っているかどうかを判断できます。列ごとに数字を足しますが、1 + 1 = 0というルールを使います。 あなたの戦略は、1つの山から豆を取り除いて、この合計を000に変えることです。実際、これは常に可能です。例えば、5の山から3つの豆を取り除くと、2つの豆が残ります。2は2進数で010です。再度合計を計算すると、000になります。どんなに相手が次に何をしても、彼らはこの合計を1が含まれる何かに変えなければなりません。もし1があれば、彼らはまだゲームに勝っていないことが確実です。 そして、常に合計を000にリセットするための戦略を持っています。そのうち、テーブルからすべての豆を取り除き、ゲームに勝つことができるようになります。バイナリ数の言語は、このゲームを常に勝てるものに変換します。豆の数や山の数が変わっても同様です。最初から合計がすでに0の文字列である場合は、必ず2番手を申し出てください。合計に1が含まれている場合は、1番手として先に行動し、合計を0にする手を打ちます。このバイナリ数の言語を使ってゲームの状態を把握する戦略は、同様のゲームを解決するのに役立つことがわかります。次に紹介するゲーム「ターンイングタートル」を試してみてください。ランダムに並べられた亀の列があり、亀の中には立っているものとひっくり返っているものがいます。（もし家に亀がいない場合は、コインを使っても構いません。表は立っている亀、裏はひっくり返っている亀です。）交互にプレイし、プレイヤーは亀をひっくり返す（またはコインを表から裏にする）ことができます。さらに、希望する場合は、ひっくり返した亀の左側にある亀（またはコイン）をひっくり返すこともできます。この亀やコインは、立っている状態でもひっくり返っている状態でも構いません。例えば、N = 13のコインの列を考えてみましょう：THTTHTTTHHTHT。この位置での可能な手の一つは、位置9のコインを表から裏にひっくり返し、次に位置4のコインを裏から表にひっくり返すことです。最後の亀をひっくり返すか、コインを表から裏にするプレイヤーが勝ちます。一見すると、これはニムのゲームとは全く異なるように見えますが、実際には亀の姿をした同じゲームです。山の数は、まだ立っている亀の数に対応し、各山のアイテム数は左から番号付けされた亀の位置です。13枚のコインの設定の場合、2、5、9、10、12の石がそれぞれの山にあります。位置9の亀をひっくり返す（または裏にする）ことと、位置4の亀を立たせることは、実際には9個の石がある山から5個の石を取ることと同じです。ニムで勝つためのバイナリ数の言語を使うことは、初めは無関係に見えるターンイングタートルの戦略に変換されます。ターンイングタートルのゲームに直面することはないかもしれませんが、このゲームに勝つための哲学は覚えておく価値があります。どんな課題に直面しても、それをすでに知っている何かに変える方法はありますか？解決策がより明白になる言語に課題を翻訳する辞書はありますか？あなたは壁に阻まれている言語に閉じ込められているかもしれません。しかし、言語を変えることで並行世界にシフトすれば、壁の向こう側を回り込むためのショートカットが現れるかもしれません。問題が手に負えないように見える場合は、説明を別の言語に翻訳し、解決策がより簡単に明らかになる辞書を見つけてみてください。 もしあなたの新しいDIYへの熱意が、期待した結果に結びついていないのなら、描いている絵を数字に変えてみる必要があるかもしれません。測定値が、なぜ物事が思ったようにうまくいかないのかを明らかにしてくれるかもしれません。また、数字で満たされた表が詰まったビジネスプランがその影響を伝えられないのなら、絵やグラフを使うことで人々があなたのビジョンを理解しやすくなるかもしれません。巧妙な代数のテクニックが、会社の財務を別のスプレッドシートに入力する際に何時間も節約してくれるかもしれません。競争相手との戦いが、実はあなたが勝つための戦略をすでに知っているゲームの仮面をかぶったものかもしれません。この章のメッセージは、あなたがより良く考える手助けをする正しい言語を探すことです。 PIT STOP 3 記憶 数学の言語をうまく習得した私ですが、フランス語やロシア語のような予測不可能な言語をマスターできなかったことには常にフラストレーションを感じていました。スパイになるために学ぼうとしたのですが、ガウスもまた数学のキャリアを追求するために言語への愛を捨てましたが、後の人生でサンスクリット語やロシア語など新しい言語を学ぶ挑戦に戻ったことがあります。64歳の時、2年間の学習の後、彼はプーシキンを原文で読むのに十分なロシア語を習得しました。ガウスの例に触発されて、私はロシア語学習への挑戦を再開することに決めました。私が抱える問題の一つは、奇妙な新しい単語を覚えることです。パターンを見つけることが私の記憶の近道ですが、もしパターンがなかったらどうなるのでしょうか？代替の近道が試せるか知りたくなりました。記憶のグランドマスターであり、言語学習の新しいベンチャー「Memrise」の創設者であるエド・クックに聞くのが最適です。グランドマスターの称号を得るためには、1時間で1000桁の数字を暗記できなければなりません。次の1時間では、10パックのカードの順序を暗記することが求められます。そして最後に、1パックを暗記するのに2分与えられます。実際、これは習得するにはあまり役に立たないスキルのように思えましたが、もしそれができれば、ロシア語の単語リストを覚えるのは簡単なことだと気づきました。1000桁の数字はランダムに選ばれるため、パターンを探すという私の戦略はあまり役に立たないでしょう。では、クックの1000桁のランダムな数字に対する近道は何だったのでしょうか？それは「記憶の宮殿」と呼ばれるものだとわかりました。「近道は、覚えにくいものを覚えやすい代理に変換することです。私たちは感覚的なもの、視覚的なもの、触覚的なもの、感情を呼び起こすものを覚えます。だから、あなたがやりたいのは、最初の脳の力を引き出すようなものに変換することです」とクックは私に教えてくれました。「1000桁の数字を覚えるために、私はたくさんのイメージを空間に配置し、各イメージが数字を表します。もし7831809720のような数字を思い出そうとしているなら、それは通常非常に覚えにくいものです。なぜなら、それはただの数字で、ほとんど同じように聞こえ、意味を持たないからです。」 私の中で、78は学校で私をいじめていた男の子で、階段の上で私を片足で逆さまに吊るしたことがある、非常に印象的な瞬間を思い出させる存在です。それは78という数字よりもずっと記憶に残っています。」各2桁の数字はキャラクターに変換されます。クックの独自の言語では、31は「シトロエンの広告で印象的な黄色の下着を身に着けたクラウディア・シファー」です。このイメージに色を加えることは重要だとクックは言います。「イメージが鮮やかで奇妙であればあるほど、記憶が良くなります。」彼にとって、80は非常に面白い顔をした友人であり、97はクリケット選手のアンドリュー・フリントフ。20はクックの父親です。「私は18歳の頃にこの数字の辞書を作ったので、それは私の十代の想像力やユーモア、雑誌で読んだ美しい人々、家族、親友の化石化した形になっています。」クックが言うように、ほとんどの人にとっては一つの数字は他の数字とあまり変わりがないように見えますが、私は数学者なので、数字の世界をさまよっているうちに、各数字の特別な特徴を知るようになります。それぞれの数字には独自の個性があるのです。偉大なインドの数学者ラマヌジャンは、すべての数字を自分の親友のように知っていたと言われています。彼の共同研究者ハーディが一度、病院で彼を訪れた際、病気の友人に慰めの言葉をかけることができず、タクシーの番号があまりにも面白くない1729だったことを思い出しました。ラマヌジャンはすぐに「そうではない、ハーディ、それは非常に興味深い数字だ。2つの異なる方法で2つの立方体の和として表せる最小の数字なんだ」と答えました（1729 = 125 + 13 = 93 + 103）。しかし、ほとんどの人は数字に対してこのような親密な感情的関係を持っていません。黄色の下着を身に着けたクラウディア・シファーの方が、立方体の和よりも記憶に残るでしょう。しかし、クックはどのようにしてこのキャラクターたちを使って1000桁の数字を記憶するのでしょうか？鍵は、そのキャラクターたちを空間に配置することです。「非常に長い情報の連鎖を作りたいなら、イメージを投影するための背骨が必要です。そして、私たちは空間に対する記憶の驚異的な力を持っています。哺乳類は、驚くべき空間をナビゲートし、記憶する能力を発展させました。たとえそう思わなくても、私たちは皆この能力に優れています。複雑な建物を数分間さまよった後、そのレイアウトを記憶することができます。だから、この強力なスキルを使って、数字を表すイメージを背負わせるショートカットとして利用できます。これを「記憶の宮殿を作る」と呼びます。」記憶の宮殿は単なる物語ではなく、空間を移動する物語です。この最後の部分が重要です。「記憶の宮殿の利点は、単純な物語に比べて、物語は連鎖の中で途切れやすいということです」とクックは説明しました。「物語を作ることで、純粋な空間の位置を利用するのではなく、物語の論理を作るという余分な負担を自分にかけているため、想像力にとっては少し負担が大きくなります。」 数年前、クックがそのような宮殿を建設する様子を見たことがあります。私たちは共に、サーペンタイン・ギャラリーの「メモリーマラソン」に参加しました。この週末イベントでは、記憶の概念を探求し、クックは観客をギャラリーの敷地内を素晴らしい散策に連れて行きました。彼は見たものを使って、観客がアメリカ合衆国の全大統領を記憶するための「記憶の宮殿」を作り上げました。各大統領の名前は、非常に鮮やかなイメージに変換されました。例えば、ジョン・アダムズ大統領は、トイレの上でバランスを取るアダムとイブのイメージになりました。「ジョン」はトイレを指すスラングだからです。これらのイメージは公園内の特定の場所に配置されました。大統領を思い出すために、観客はただその散策を心の中で再現すればよく、私たちの脳はそれを非常に得意にこなすようです。そして、散策のさまざまなポイントにある奇妙なイメージを使って大統領を思い出します。空間記憶を利用することは、非常に長い列を記憶するための素晴らしい近道のようです。数字でも、大統領でも、記憶しようとしているリストでも同様です。これは素晴らしいハックです。なぜなら、暗記することは難易度が指数関数的に増すように思えるからです。最初の10個は簡単でも、次の10個は難しくなり、100を超えるとほぼ不可能になります。しかし、クックが私に説明したように、「空間記憶の絶対的に素晴らしい点は、難易度が線形にスケールすることです。私は約1分で1組のカードを記憶できます。もし確認したいだけなら、2分かかるかもしれません。この方法は線形にスケールするので、1時間あれば30組のカードを記憶できるでしょう。」私が読者にとって、カードを記憶することが本当に欲しいスキルではないかもしれないと提案したところ、クックはカードは関係ないと強調しました。この戦略は、何を記憶しようとしても機能します。彼は、ノートなしで講演を行う際にも、まったく同じ戦略を使っていると説明しました。講演を自宅のような馴染みのある場所の旅に変え、伝えたいポイントを各部屋に配置します。そして、プレゼンテーションを行う際には、心の中に構築した記憶の宮殿を巡ることで、スピーチをより簡単に思い出せることに気づくでしょう。「記憶の宮殿では、旅を始めると行動の場面が常に前に進んでいくため、記憶が互いに干渉する危険性が減少します。新しい記憶を刺激する新しい文脈があるからです。」数字を視覚的なイメージに変換する技術は、私のマジシャンの友人アーサー・ベンジャミンができる驚くべき計算の技に実際に重要です。ベンジャミンは、頭の中で2つの6桁の数字を掛け算できるように訓練しました。彼が使ったトリックの一つは、代数を利用して6桁の数字を分割し、それを別々に掛け算することでした。 しかし、彼はある時点で計算を続けるために、これらの数字を記憶に蓄える必要があります。そして、後でその蓄えた数字を思い出して使う必要があります。ベンジャミンが見つけたのは、単に数字を覚えようとすると計算に干渉してしまうということでした。数字の記憶が計算と同じ場所で行われているかのようです。そこで彼は、数字を言葉に変換する特別なコードを使うことにしました。言葉を覚えることは、さらなる数値計算によって妨げられない脳の一部で行われるようで、必要なときにその言葉を思い出し、再び数字に変換することができました。私とクックの会話は、COVID-19危機によるイギリスのロックダウン中に行われ、クックは、彼が十代の頃に別の医療ロックダウンの際に、何もすることがなく3ヶ月間入院していたときに、記憶の達人になるための使命を始めたことを思い出しました。「部分的には、技術を論理的な結論まで発展させる楽しみが動機でした。学生の頃、私のパーティートリックは、バーで長い数字やトランプの束を覚えてシャンパンのボトルを勝ち取ることでした。そして、私はルームメイトに、世界で最も速いカード記憶者の一人かもしれないと自慢し始めました。すると彼らは『黙れ、エド！証明してみろ』と返してきました。それが私を記憶選手権に導いたのです。」記憶の宮殿は、数字の列を覚えたり、ノートなしでスピーチをするのには良いかもしれませんが、私のロシア語を学ぶ夢にはどうでしょうか？クックが彼の会社Memriseで使っている記憶の宮殿技術は、言語を学ぶための彼の取り組みなのでしょうか？私はついに新しい言語を学ぶための秘密の近道を見つけることができるのでしょうか？「繰り返しとテストです」とクックは言いました。「繰り返すことで、私たちは脳にそれが覚える価値があることを証明します。重要なことは繰り返される傾向があります。テストは重要です。なぜなら、記憶は心の動きであり、その動きは練習すればするほどより確固たるものになるからです。」正直に言うと、それは近道のようには聞こえませんでした。しかし、クックはさらに続けました。「三つ目は、記憶術です。例えば、難しいロシア語の単語、ostanovka（バス停の意味）をどうやって理解すればいいでしょうか？自分の言語で知っている言葉に関連付けてみるのはどうでしょう？私たちが心の中で何かを記憶したいなら、それを既存の連想のネットワークに織り込む必要があります。だから、ostaは英語の自動車メーカー、オースティンのように聞こえます。彼らは十分な車を作ってくれたので、novkaを得て、バスに乗ることになります。これが「バス停」です。」それはより有望に聞こえます。繰り返しとテストの部分は、私が1時間でロシア語を学ぶことはできないことを意味しているようです。しかし、記憶術は、以前は覚えられなかったロシア語の単語のリストを記憶するための近道になるかもしれません。クックは、言語を学ぶための最後の近道のヒントも持っています。それは彼の祖母から学んだことです。「言語を学ぶ最良の方法は、シーツの間です。」 「もしあなたが魅了され、高いモチベーションを持ち、注意深く没頭しているなら、非常に速く学ぶことができるでしょう。」 第4章 | パズル：エディンバラには10人、ロンドンには5人がいます。2つの都市の距離は400マイルです。全員が移動する距離の合計を最小にするためには、どこで会うべきでしょうか？ 私のこの本のほとんどの部分における「ショートカット」の概念は、目的地への旅を抽象的に短縮することです。しかし、この章では、実際の物理的なショートカットについて考えてみたいと思います。物理的な風景の中でAからBに移動したい場合、その風景の基礎となる幾何学を理解することで、最初は間違った方向に向かっているように見えても、目的地により早く到達するための道筋を描く手助けになります。実際に物理的な旅を計画していなくても、時には取り組んでいる課題を幾何学的なものに置き換えることができ、幾何学のトンネルやバイパスが元の問題のショートカットに戻ることがあります。例えば、FacebookやGoogleのようなデジタル企業は、大きな群れの人々が田舎を通ってショートカットを見つける方法を取り入れ、この哲学を私たちが日常的に踏み込むデジタル空間でのショートカットを見つける方法に変換しました。物理的なショートカットのマッピングは、後の年にガウスの情熱にもなりました。彼は学生時代に数字で遊ぶことで数学に恋をしましたが、幾何学の挑戦も楽しんでいました。しかし、彼が愛したのはユークリッドの抽象的な円や三角形だけではありません。興味深いことに、40代のガウスは、抽象的な数学のアイデアを愛する男として、地元政府のためにハノーファー王国の土地測量という非常に実用的な仕事に登録しました。ガウスがかつて書いたように、「世界中のすべての測定は、永遠の真理の科学が真に進展するための定理には及ばない。」彼が従事した仕事は、学校で惹かれた美しい数理の理論ではなく、誤った機器や人間の誤りによる多くの不正確な測定でした。彼が最終的に作成したハノーファーの地図は、特に正確なものではなかったと言われています。しかし、ハノーファーの状態を測定するために費やした時間は、革命的な新しい幾何学の発見につながりました。 AからBへ 1492年、クリストファー・コロンブスは東インドへのショートカットを見つけるために出航しました。従来の貿易ルートは、陸を越える長く危険な旅を必要とし、商人が一度の旅で持ち込める商品の量を制限していました。商人たちは船でのルートを見つけることに熱心でした。アフリカを回るルートがあると信じる者もいれば、インド洋は陸に囲まれていてこの方法では到達できないと考える者もいました。たとえアフリカを回る方法があったとしても、多くの人々はそれに時間がかかりすぎると思っていました。 コロンブスは、西に向かえば反対側から中国とインドに到達できると信じており、そのためにヨーロッパが東方から求めていた香辛料や絹を持ち帰るためのよりスムーズなルートを確立できると考えていました。彼は座って計算をし、カナリア諸島から東インドに到達するには西に68度進むだけで済むと信じていました。彼はこの距離が3000海里を少し超える程度であると考えており、ロンドンからアフリカを回ってアラビア湾に至る11,300海里に比べれば、確かに近道だと思っていました。しかし、コロンブスは数学においていくつかの重要な誤りを犯し、その結果、実際に必要な距離を大幅に過小評価してしまいました。地球の周囲の推定は古代から行われており、紀元前240年にはギリシャの数学者エラトステネスが約250,000スタディアと計算しました。スタディアとはどれくらいの長さなのでしょうか？これは距離を計算する際の問題の一つで、どの単位を基準としているのかということです。エラトステネスの時代にはスタディアが基準で、これは運動場の長さでした。しかし、ギリシャのスタジアムは185メートルの長さであるのに対し、エラトステネスが住んでいたエジプトのスタジアムは157.5メートルと短かったのです。エラトステネスに好意的に解釈し、エジプトの長さを用いると、地球の周囲の測定値は実際の40,075キロメートルからわずか2パーセントの誤差となります。しかし、コロンブスは中世のペルシャの地理学者アブ・アル・アッバース・アフマド・イブン・ムハンマド・イブン・カティール・アル・ファルガーニ（西洋ではアルフラガヌスとして知られる）のより最近の推定値を採用しました。コロンブスは、アルフラガヌスが計算に使用したマイルがローマのマイル（長さ4856フィート）であると仮定しましたが、実際にはアルフラガヌスはアラビアのマイル（7091フィート）を使用していたのです。幸運なことに、コロンブスは目的地の半分の地点で海の真ん中に取り残され、食料や物資が尽きることなく、バハマの小さな島にたどり着き、その島をサン・サルバドルと名付けました。彼はしばらくの間、自分の誤りに気づかず、その島の住民をインディアンと呼び、東インドに到達したと考えていました。実際の東方への近道は、最終的には人間によって物理的に切り開かれたものでした。ナポレオンはエジプトにいる間に地中海と紅海の間に運河を掘るアイデアを考えていましたが、別の一連の誤った計算により、紅海は実際には地中海よりも10メートル高いと考えられていました。地中海に接する国々が洪水に見舞われないようにするためには、複雑なロックシステムを構築する必要がありましたが、これはフランス国家にとってあまりにも高額な提案となりました。海の水位が実際には同じであることが認識されると、運河のアイデアはすぐに勢いを増しました。そして、その近道は1869年11月17日にようやく開通しました。 運河はフランスの管理下にありましたが、最初に通過したのはイギリスの船でした。開通の前夜、暗闇に紛れて灯りを消したまま、HMSニューポートの船長は待機していた艦隊をすり抜け、運河の端に船を停泊させることに成功しました。皆が開通を祝うために目を覚ますと、ニューポートが紅海への出口を塞いでいるのを発見しました。船を通過させる唯一の方法は、まずイギリスの船を通すことでした。公式にはロイヤル・ネイビーから叱責を受けましたが、ニューポートの船長は、広報効果を評価されて海軍本部から私的に祝福されました。スエズ運河はロンドンからアラビア湾までの距離を8900キロ短縮し、旅の時間を43パーセントも削減しました。このショートカットの重要性は、1956年にエジプトの大統領ガマール・アブドゥル・ナセルが運河をイギリスの管理から奪取し、スエズ危機を引き起こした際の争いの回数からも判断できます。現在、世界の7.5パーセントの貨物がこの運河を通過しており、その交通はエジプト政府が所有するスエズ運河庁に年間50億ドルの収入をもたらしています。同様に重要なショートカットとして、南アメリカのホーン岬を回避するための運河が1914年に開通しました。パナマ運河は大西洋と太平洋を結び、実際には船が通過しなければならないいくつかのロックがあります。これは、両側の海面が異なるからではなく、あまりにも深く掘るのが高額になることが判明したためで、船はパナマを横断する人工湖に引き上げられます。 地球の初めての周回が16世紀初頭まで行われなかったことを考えると、エラトステネスは紀元前240年にどのようにして地球の円周をこれほど正確に測定したのでしょうか。彼は当然、地球をメジャーで巻くことはできませんでした。彼が行ったのは、地球の表面の小さな距離を測定し、その後、巧妙な数学を使って全体を測る手間を省くことでした。エラトステネスはアレクサンドリアの大図書館の司書であり、数学や天文学、地理、音楽などさまざまな分野で魅力的な科学的貢献をしました。しかし、彼の革新的な業績にもかかわらず、同時代の人々は彼の能力を軽視し、彼に「ベータ」というあだ名を付けて、彼が思考者のトップランクに入っていないことを示しました。彼が考案した巧妙なアイデアの一つは、素数のリストを作成するための体系的な方法でした。1から100までの数字の中から素数を見つけるために、エラトステネスは次のアルゴリズムを提案しました：まず2を取り、その後の2の倍数であるすべての数字を消去します。これは、2のステップで表を進みながら出会った数字を消去することで簡単に行えます。次に、2の後でまだ消去されていない次の数字に移ります。これは明らかに3です。 まず、3の倍数をすべて消していきます。テーブルを3のステップで進みながら、出会った数字を体系的に消していきます。ここからこの方法の本領が発揮されます。次に、まだリストから消していない数字に移ります。4は消されているので、次の数字は5です。これまでの数字に適用した方法を繰り返します：テーブルを5のステップで進み、出会った数字をすべて消します。これがアルゴリズムの鍵です：以前に消していない次の数字に移り、その新しい数字の倍数を消すためにテーブルを進みます。新しい数字から始めて、対応するステップで数字を消していきます。この方法をテーブルに体系的に適用すると、7の倍数を消す頃には、100までの素数のリストが完成します。これは巧妙なアルゴリズムです。あまり考えずに済むショートカットです。コンピュータに実装するには最適です。しかし、素数を生成するには非常に遅い方法になってしまいます。リストを作成するために機械のように振る舞えるショートカットですが、この本で称賛したいショートカットではありません。私が求めているのは、素数を見つけ出すための巧妙な戦略です。しかし、エラトステネスの地球の周囲の計算には高い評価を与えたいと思います。彼は、スエネトという街にある井戸について聞いたことがありました。この井戸は、毎年1日だけ太陽が真上に来る特性を持っていました。夏至の正午には、井戸の側面に影ができず、この瞬間に太陽が真上にあることが証明されました。スエネトは現在アスワンとして知られ、北緯23.4度のがん緯線の近くに位置しています。これは太陽が真上に来ることができる最北の地点です。エラトステネスは、太陽の位置に関するこの情報を使って、この特定の日に実験を行い、いくつかの数学と組み合わせることで地球の周囲を求めることができると気づきました。彼はアレクサンドリアに棒を立てました。彼はそれがスエネトの真北にあると信じていました。（実際には2度の経度の誤差がありますが、私が称賛しているのは彼の実験の精神であり、正確さではありません。）夏至の日、スエネトでは太陽が真上にあり、井戸に影ができていない一方で、アレクサンドリアの棒には影ができました。影の長さと棒の長さを測定することで、同じ比率の長さの三角形を構成し、その三角形の角度を測ることができました。この角度は、アレクサンドリアがスエネトから地球の周囲のどれだけの距離にあるかを示します。結果として、その角度は7.2度、つまり完全な円の1/50でした。今、彼はアレクサンドリアからスエネトまでの距離を知る必要がありました。自分でその距離を歩くのではなく、彼は「ベマティスト」と呼ばれる専門の測量士を雇いました。 ベマティストは、2つの都市の間を真っ直ぐに歩くことが求められました。なぜなら、逸脱すると計算が狂ってしまうからです。記録された計算はスタディオンという単位で行われました。アレクサンドリアはスウェネットの北に5000スタディアの位置にありました。スウェネットからアレクサンドリアまでの距離が地球を一周する全行程の1/50であることから、地球の周囲は250,000スタディアであることがわかります。今日では、このベマティストがスタディアを測るためにどのくらいの歩幅を使っていたのか正確にはわかりませんが、先に述べたように、非常に優れた測定法でした。エラトステネスは、数学的な幾何学を用いることで、地球全体を歩く人を雇う必要を省きました。「幾何学」という言葉はこの実験に由来しており、名前を分解すると「地球を測る」という意味のギリシャ語になります：geo =「地球」、metry =「測定」です。 三角法：天への近道 古代ギリシャ人は、地球を測るためだけに数学を使っていたわけではありませんでした。彼らは、天体を測るためにも使えることに気づきました。そして、その可能性を実現したのは、望遠鏡や高度なメジャーではなく、三角法の数学でした。エラトステネスの計算には、すでにこの道具のヒントが見られます。三角法は三角形の数学であり、三角形の角度と辺の長さの関係を説明する数学です。この数学は、古代の数学者たちに、地球の表面を離れることなく宇宙を測るための驚くべき近道を提供しました。 例えば、紀元前3世紀には、サモスのアリスタルコスが三角法を使って、地球から太陽までの相対的な距離を地球から月までの距離に基づいて計算しました。これを達成するために、彼は月が半月の時に、月から地球、そして太陽への角度を測定するだけで済みました。この時、地球から月、そして太陽への角度はちょうど90度になります。次に、彼が測定した角度を使って三角形を構築することで、地球から月までの距離と地球から太陽までの距離の比を計算することができました。なぜなら、彼がページ上に描いたこの小さな三角形の比は同じだからです。この巧妙な発見は、三角形の大きさに関係なく、比は同じであるということです。この比は、アリスタルコスが測定した角度のコサインと呼ばれます。 実際の距離を計算するためには、比率ではなく角度と1つの長さが必要です。三角法の創始者として伝統的に知られるヒッパルコスは、地球から月と太陽までの実際の距離を引き出す巧妙な方法を発見しました。彼は、特に紀元前190年の3月14日の皆既日食を利用して、一連の太陽と月の食を利用しました。 エラトステネスのように、彼も地球上の二つの異なる地点で観測を行いました。ヘレスポントでは日食が完全に観測されましたが、アレクサンドリアでは部分日食で、月が太陽の五分の四を隠していました。彼は二つの都市間の距離と日食の角度を組み合わせることで、三角法を用いて月が地球からどれだけ離れているかを計算することができました。この三角法のショートカットの力は驚異的でした。それはヒッパルコスに、三角関数表の最初の例を作成するきっかけを与えました。この表では、角度を取ると、その角度を一つの角に持つ直角三角形を形成することで、その角に隣接する辺の長さと三角形の最長辺の比率を知ることができました。これが今日、角のコサインとして知られています。ここでも数学者たちは、たくさんの三角形を描いて長さや角度を測る必要がないショートカットを発見しました。例えば、すべての辺が等しく、すべての角が60度の正三角形を考えてみましょう。今、一つの角から線を下ろし、その角を30度に分けます。底辺の角は90度です。この新しい三角形のコサイン60度は簡単に1/2と読み取れます。なぜなら、この新しい三角形の隣接辺の長さは元の正三角形の辺の長さの半分だからです。 しかし、その後数学者たちは、ある三角形のコサインとその角度の半分の角を持つ三角形のコサインを関連付ける巧妙な公式を発見しました。これにより、追加の計算のためのツールが得られました：Cos(x) = 1/2 + 1/2Cos(2x)。これらのショートカットを使うことで、多くの角度のコサインの表を作成することができました。そして、この表が夜空を探るための最も効果的な測定ツールとなりました。同じ表は地球上の測定のショートカットにも重要でした。ガウスもハノーファーの測量を行う際にこれを使用したことでしょう。今日の測量士もこの数学的ショートカットを測定に利用しています。例えば、木の高さを測りたい場合、木の根元から頂上まで測定棒を置くのは非常に難しいです。代わりに、測量士は木から一定の距離を歩き、地面から木の頂上までの角度を測ります。この距離と、測量士から木の根元までの距離という、はるかに簡単な測定を組み合わせ、タンジェントを調べることで（これは三角形の二つの短い辺の比率を表し、この場合は木の高さと根元から測量士までの距離です）、測量士は梯子を登ることなく木の高さを得ることができます。三角法のショートカットの力を美しく示す例がメートルの測定です。メートルは測定の単位であるため、メートルを測るというのは少し奇妙な作業だと思うかもしれません。しかし、物語はメートルの最初の定義から始まります。 古代の文明が最初の都市を築き始めた頃から、建設を調整するための測定単位が必要でした。最も古い測定の形は古代エジプトに遡り、体の一部が単位として使われていました。キュビットは、肘から中指の先までの長さを指します。同様に、メートル法以前の測定でも体の部位が使われていました。フィート（足）はそのまま明らかですし、インチや親指を指す言葉は多くのヨーロッパの言語で同じです。ヤードは人間の歩幅に密接に関連しています。興味深いことに、サクソン時代に土地を測るために使われた「ロッド」という単位は、日曜日の朝に教会を出た最初の16人の男性の左足の合計の長さとして定義されていました。しかし、私たちがそれぞれ異なる形やサイズを持っていることを考えると、こうした測定は人によって異なることになります。ヘンリー1世は、この問題を解決しようとし、自身の体を基準にすることを主張しました。彼は、ヤードは自分の鼻の先から伸ばした親指の先までの距離であるべきだと命じました。しかし、ロンドンに住む男性と長さを比較し続けることには明らかに問題があります。フランス革命の指導者たちは、すべての人がアクセスできるより平等な測定システムを導入すべきだと考えました。ガリレオは、振り子の振れ幅はその長さに依存し、重さや振幅には依存しないことを証明しました。最初は、メートルを振り子が前後に振れるのに2秒かかる長さとすることが提案されました。しかし、振れ幅は重力の強さにも依存し、これは世界の異なる場所で変わることが分かりました。そこで、メートルは極から赤道までの距離の一千万分の一として定義されることになりました。この距離を測定することは原則的には誰にでも可能ですが、この定義を使うことの非実用性はすぐに明らかになりました。ピエール・メシャンとジャン＝バティスト・ドランブルという二人の科学者が、極から赤道までの距離を測る任務を負いました。しかし、エラトステネスがスエネトとアレクサンドリアの距離から地球の周囲の距離を計算できることに気づいたように、二人の科学者はダンケルクからバルセロナまでの距離を基に赤道から極までの距離を計算することに決めました。ドランブルは北のダンケルクから出発し、メシャンは南のバルセロナから出発しました。彼らはフランス南部のロデーズで中間地点で会うことに合意しました。しかし、彼らはどのように計算を行ったのでしょうか？まず、二人が測定に使う標準の長さが必要でした。しかし、それでもダンケルクからバルセロナまでの全ルートにわたってこれらの長さを配置することはできませんでした。ここで三角法と三角形の力が活躍します。 ダランブルは、ダンケルクの教会の塔の頂上から出発し、教会の塔と三角形を形成するための他の2つの高い地点を探して田園風景を見渡しました。計算を始めるには、教会の塔からそのうちの1つの地点までの距離を測る必要がありました。この作業は避けられませんでしたが、その後は三角形の2つの角度を測定することで、残りの2辺の長さを計算することができました。角度を測るために、彼はボルダ反復円環と呼ばれる器具を使用しました。これは、2つの望遠鏡が共通の軸に取り付けられ、2つの望遠鏡の間の角度を測定するためのスケールが付いているものでした。この器具の使い方は、ダランブルが教会の塔の頂上から特定した2つの高い地点に望遠鏡を向け、その間の角度を読み取るというものでした。三角形の他の高い地点の1つに移動することで、2つ目の角度を得ることができました。その後は三角法を使って、欠けている2辺の長さを求めることができます。しかし、ここで本当に巧妙な点がありました。彼が今知っている長さの1つの辺は、ダンケルクの教会から特定した2つの高い地点から見える別の高い地点を選ぶことで新しい三角形の一辺となるのです。この新しい三角形では、すでに1つの距離を持っていました。したがって、ボルダ反復円環を使って2つの角度を測定することで、新しい三角形の欠けている距離を計算することができました。図4.3。AとBの間の距離と角度aとbがわかれば、三角法を使ってCからAおよびBまでの距離を計算できます。これは素晴らしい近道でした。ダンケルクからバルセロナまで三角形を組み立てることで、科学者たちは単一の三角形の中で1つの長さを測定するだけで済み、その後は角度がすべてを解決してくれるのです。三角測量の科学は、土地を測量するための驚くべき近道です。角度の測定は、三角形の角を示す高い地点から快適に行うことができます。距離を歩いて測る必要も、定規を置く必要もありません。しかし、高い地点に登り、望遠鏡を覗くことには危険が伴いました。この時期は、望遠鏡や奇妙な器具を使って土地を測量するには理想的な時期ではありませんでした。国中で革命が起こっていたのです。2人の科学者は、塔や木の上から測量している彼らを疑う地元住民から多くの攻撃を受けなければなりませんでした。パリの北にあるベル・アシーズでは、ダランブルはスパイの疑いで逮捕されました。彼がそんな奇妙な器具を持って塔を登っているのは、他に理由があるはずがありません。彼は、科学アカデミーのために地球の大きさを測っていると説明しようとしましたが、酔っ払った民兵が割って入ってきて、「アカデミーなんてもうない。今はみんな平等だ。君は私たちと一緒に来るんだ」と言いました。結局、7年後、彼らはメートルを持って凱旋してパリに戻りました。彼らの計算に対応する長さのプラチナの棒が鋳造され、1799年からその成果が実を結びました。 標準メートルはフランスのアーカイブに保管されていました。しかし、ある意味でそれはヘンリー1世のヤードと同じ問題を抱えていました。普遍的な定義があったにもかかわらず、科学者たちは自分たちで極から赤道までの距離を測るよりも、フランスに行ってメートルのコピーを手に入れる方が簡単でした。 ロンドンからエディンバラへ デランブルとメシャンがどこで会うかを決める際、ダンケルクとバルセロナの中間地点が理にかなっていることは明らかでした。しかし、章の冒頭で紹介した15人の人々はどうでしょうか？ロンドンに5人、エディンバラに10人いる場合、彼ら全員が移動する距離を最小限に抑えるためには、どこで会うべきでしょうか？奇妙なことに、答えは全員がエディンバラで会うべきだということです。一見すると、グループが2対1に分かれていることから、ロンドンからエディンバラまでの2/3の地点で会うべきだと思うかもしれません。しかし、エディンバラから1マイル離れるごとに、スコットランドのグループは合計で10マイル余分に歩くことになりますが、イギリスのグループは5マイルしか節約できません。一般的に言えば、もし15人がロンドンからエディンバラまでの線上にランダムに散らばっている場合、最適な方法は、ロンドン（またはエディンバラ）から向かう途中で出会う8番目の人の位置に全員が向かうことです。8番目の人から1マイル離れるごとに、一方のグループは7マイルを節約し、もう一方のグループはさらに7マイル歩くことになります（これで均衡が取れます）が、8番目の人は合計に1マイルを追加します。 マンハッタンのような、通りと街路が格子状に配置された都市で15人が散らばっている場合はどうでしょうか？東から西にスキャンすると、出会った8番目の人が立っている通りで会うべきです。しかし、今度は北から南にスキャンして、8番目の人が立っている通りを選びます。これは通常、東から西にスキャンしたときの8番目の人とは異なる人になります。会う場所は、東西のスキャンからの通りと、南北のスキャンからの通りの交差点であるべきです。このような分析は、インターネットケーブルのネットワーク交換の最適な場所を見つけ、使用するケーブルの量を最小限に抑えたい場合には不可欠です。しかし、物理的およびデジタル空間を通じてショートカットを見つけるための別の興味深い戦略があり、これは歴史を通じて、さらには今日の技術的な環境でも利用されています。 欲望の道 15世紀の探検家たちは、世界の片側からもう片側へ効率的に移動できる幾何学的なショートカットを求めていました。私たちの日常生活でも、目的地に早く到達するための賢いショートカットを探していることがよくあります。ロンドンの私の地元の公園では、都市計画者たちが舗装された道を交差させて、地元の住民が公園の一方からもう一方へと移動できるようにしました。 書面上では完璧なレイアウトに見えたかもしれませんが、私たちの公園の証拠はそれとは異なります。舗装された道に加えて、人々が公園の一方から他方へより早く移動するために選んだ草を踏み固めた道が見られます。都市計画者は、互いに直角を成す舗装された道を好むことが多いですが、直角を回り込む必要を省く斜めの道を設ける方が歩行者にとってはずっと理にかなっています。人間はA地点からB地点への道として、斜辺を好むのです。人々が目標に向かってショートカットを取る場所には、平らになった草や裸の土の道が何度も見られます。興味深い例として、マンハッタンにおけるこれらの斜めのショートカットがあります。街路や大通りが平行および直交して走っているレイアウトは、明らかに人間の計画の証です。しかし、奇妙なことに、ある通りはこの道路のグリッドを斜めに横切っています。ブロードウェイは、マンハッタンの直角を横切り、左上から右下（北西から南東）へと走っています。実は、これはヨーロッパの入植者が現れる前に先住民の旅行者によって使われていた古代のショートカットなのです。ブロードウェイは、当時存在したネイティブアメリカンの集落間の最短ルート（湿地や丘を避ける）であったウィクワスゲックの道に沿っています。ヨーロッパの入植者が到着した際、このショートカットをマンハッタンを横断する道として保持しました。島の一方から他方へと移動する旅行者の足によって踏み固められたこの道は、今では市内の車や歩行者が利用するために舗装されています。こうした人々によって作られたショートカットには「デザイアパス」という名前があります。牛道や象道と呼ばれることもありますが、これはしばしば家畜が通ることで土地に刻まれるからです。『ピーター・パン』の創作者であるJ.M.バリーは、これらの道を「自ら作られる道」と表現しています。なぜなら、誰かが道を敷く瞬間は決して見られないからです。誰も意識的に草を踏み固めて道を開ける決断をすることはありません。このような道は徐々に現れ、まるで自らを形成しているかのようです。中には、なぜか道が本来の距離よりも長くなっているように見えるデザイアパスもあります。ショートカットには見えません。しかし、そのような道をよく見ると、何かを避けるために作られた道であることに気づきます。しばしば、それが何であるかは明確ではありません。しかし、地域の文化を少し掘り下げてみると、いくつかの迷信が鍵であることがわかるでしょう。例えば、多くの人々ははしごの下を歩くことを避けます。これは不運と考えられているからです。彼らははしごの周りを回ることを好みます。はしごはしばしば十分な時間その場に留まらないため、恒久的なデザイアパスが形成されることはありませんが、ロシアには互いに寄りかかる二本の柱に対する似たような迷信があります。 ロシアの古い街灯は、しばしばそのようなポストの上に設置されており、これらのポストの間を歩かないようにするための恒常的な「欲望の道」が自然に形成されることがよくあります。一部の都市計画者は、これらの物理的なショートカットを計画のショートカットとして利用できることに気づきました。舗装された道を事前に計画し、人々がそれを利用しないことが分かるのではなく、地元の住民に自分たちが行きたい場所への道を示させ、その後に現れた道を舗装するという巧妙なアイデアを思いついたのです。ミシガン州立大学は、2011年に新しい大学の建物が建てられた際に、学生たちの足跡を使って周囲の道を決定しました。空から見ると、その道は絡み合ったスパゲッティのように見え、デザイナーが事前に選ぶことはなかったであろう形状です。しかし、学生たちの足が語る（あるいは歩く）ことを許した結果、最終的な道のレイアウトは、キャンパス内で講義に向かう全ての学生にとって機能するネットワークを生み出しました。著名な建築家レム・コールハースも、シカゴのイリノイ工科大学のキャンパス設計において同様の戦略を用いました。 雪が降ると、歩行者やドライバーが都市をどのように利用しているかを理解するための効果的な方法が提供されます。住民が行きたい場所に向かうと、大きな雪の塊が手つかずのまま残ると、そのパターンは市がその部分の道路や公園が都市を横断するために利用されていないことを理解する機会を与えます。これにより、都市計画者はその土地を他の目的、例えば道路の交通島や都市アートの設置場所として利用する機会を得ることができます。 これは実際、商業セクターで繰り返し見られる非常に一般的なショートカットの一種です。つまり、公共の力を利用して、そこから価値を抽出する素材を生成するのです。私たちのデジタルデータがFacebook、Amazon、Googleのような企業によって収集され、利用されている様子は、これらの企業が私たちが使うデジタルな欲望の道を観察し、それを活用していることを示しています。例えば、Twitterはハッシュタグのアイデアをトップダウンで導入したわけではありません。これは、ユーザーが自分のツイートを分類するために使っているのを会社が見始めたものでした。実際、ハッシュタグはクリス・メッシーナによって2007年8月に発案されたようです。彼は、自分がツイートしているテーマに興味を持つ他のユーザーを見つけるためのショートカットを求めていました。ハッシュタグは、興味のある会話を盗み聞きするための巧妙な方法を提供しました。メッシーナのデジタルな欲望の道に従う人が増えるにつれて、Twitterはユーザーが切り開いたショートカットに気づき、2009年には公式なTwitterの道として認められました。 もし世界地図を見て、マダガスカルからラスベガスまでの最短飛行ルートを示す線を引こうとしたら、最初の直感としては、地図上で二点を結ぶ直線を描くかもしれません。確かに、これは人や鳥が飛ぶだろうと思われる自然な道のように見えます。しかし、地球の曲率を考慮に入れると、状況は変わります。地球は地図のように平面ではなく、球体なのです。この二地点間の真の最短経路、つまり最短距離を移動する道は、実際にはイギリスとグリーンランドを経由します。 球体上の二点を取ると、その二点間の最短経路は大円と呼ばれる線になります。これは、二つの極点を通る経度線のようなものです。実際、経度線を地球上で動かして、結びたい二点を通るようにすると、これがその二点を結ぶ大円になります。地球上のこれらのショートカットの影響を探求し始めると、いくつかの興味深い特徴が浮かび上がります。例えば、北極、エクアドルのキト、ケニアのナイロビという三つの点を考えてみましょう。後の二つの都市はほぼ赤道上にあります。すると、これら三点間の最短経路は、地球の表面に三角形の例を描き出します。古典的に、ユークリッド幾何学の三角形の角度の合計は180度ですが、地球の表面におけるこの三角形の角度の合計は180度を大きく超えます。実際、キトとナイロビでの二つの角度はそれぞれ90度であり、極から赤道に至る経度線が90度で交わるからです。北極での二つの経度線の間の角度は115度です。したがって、この三角形の角度の合計は90 + 90 + 115 = 295度になります。 また、三角形の角度の合計が180度未満になる幾何学も存在します。例えば、アンチスフィアと呼ばれる、曲がった側面を持つ円錐のような形状では、この表面上の二点間の最短経路が、角度の合計が180度未満の奇妙な三角形を描き出します。これらの表面は負の曲率を持ち、地球のような球体は正の曲率を持っています。私が最初に示した地図のような平面幾何学は、曲率がゼロです。 曲がった幾何学の発見は、19世紀初頭における数学の興味深い発展の一つでした。しかし、その発見は、各々が最初に幾何学を発見したと主張する三人の数学者の間で争いを引き起こしました。 これらの新しい幾何学のアイデアは、1830年代にロシアの数学者ニコライ・イワノビッチ・ロバチェフスキーとハンガリーのヤーノシュ・ボルヤイによって同時に公に提唱されました。ボルヤイの父は息子の発見に特に感銘を受け、親友のカール・フリードリッヒ・ガウスに自慢しました。しかし、ガウスはボルヤイの父に対して、かなり辛辣な返事を書きました。「もし私がこの作品を称賛できないと言い始めたら、あなたは一瞬驚くことでしょう。しかし、他に言いようがありません。称賛することは自分を称賛することになるのです。実際、この作品の内容やあなたの息子がたどった道、彼が導かれた結果は、私が過去30年から35年の間に考えてきたこととほぼ完全に一致しています。」実際、ガウスは何年も前にハノーファーの測量を行っている際に、奇妙なショートカットを持つ曲がった幾何学を発見していたのです。これは、メシャンとドランブルがメートルを測るために行ったように、土地を三角測量することを含んでいました。この作業は、偉大な数学者にとっては一見退屈な作業に思えましたが、深い理論的洞察の触媒となりました。ガウスは、地球の表面だけでなく、空間そのものの幾何学も曲がっているのではないかと推測しました。彼は、ゴッティンゲンの自宅周辺の三つの丘の頂上の間を移動する光線が、180度とは異なる角度の三角形を作るかどうかを測定するために、三角形の測定を利用することに決めました。光はショートカットを好み、二点間の最短経路を見つける性質があります。したがって、もし角度の合計が180度とは異なっていた場合、それは光が空間を通って曲がった経路をたどっていることを意味します。ガウスは、3次元空間が実際には地球の2次元表面のように曲がっていることを証明したいと考えていました。しかし、彼が不一致を見つけられなかったため、数学は私たちが周囲に見る宇宙を記述するためのものであるという彼の信念に反するこれらの新しい曲がった幾何学のアイデアを放棄しました。彼は、自身の研究について話した数少ない友人に秘密を守るよう誓いました。もちろん、今ではガウスが空間の曲率を検出するにはあまりにも小さなスケールで作業していたことがわかっています。アルバート・アインシュタインの新しい重力理論と時空の幾何学が、ガウスのアイデアを再検証する興味を呼び起こしました。アインシュタインは、空間内の二つの物体の間の距離が観察者によって異なることを発見しました。もしあなたが光速に近い速度で移動しているなら、距離は短く見えるでしょう。時間もまた、観察者によって異なるように思えました。出来事の順序は、観察者の動きによって変わる可能性がありました。アインシュタインの大きな突破口は、時間と空間を一緒に考慮し、三つの空間次元と一つの時間次元からなる4次元の幾何学を構成する必要があることを理解したことでした。 新しい時空の幾何学における距離の測定は、曲がった形状を導きました。アインシュタインの洞察は、重力をニュートンが考えたような力としてではなく、時空の幾何学の歪みとして再定義しました。大きな質量を持つ物体は、空間の布を歪めます。重力の力が物体を引き寄せる力のようなものであるという考え方を見直し、重力を物体がこの幾何学を通る際のショートカットとして捉えることができるのです。物体が自由落下するのは、実際にはその物体がある点から別の点へ向かう最短経路を見つけているに過ぎません。したがって、太陽の周りを公転する惑星は、まるで糸で引っ張られているかのように力によって引き寄せられているのではなく、この4次元の時空幾何学の側面を転がるボールのように考えるべきです。この考えは一見狂気の沙汰のように思えましたが、アインシュタインはそれを検証する方法を考え出しました。光も惑星と同様に、空間を通る最短経路を見つけるはずです。もし光が大きな質量の物体の近くを通過する場合、理論は光の最短経路がその物体に向かって曲がる迂回路を取ることを示唆しました。イギリスの天文学者アーサー・エディントンは、1919年に地球に影響を与える予定の皆既日食を利用して、アインシュタインが正しいかどうかを示すことができると気づきました。この理論は、遠くの星からの光が太陽の重力効果によって曲がるべきだと予測していました。エディントンは、星を空に実際に見るために、太陽のまぶしさを遮るために日食が必要でした。実際に光が大きな質量の物体の周りで曲がるように見えたことは、最短経路が直線ではなく、アインシュタインの理論が予測したように曲がった道であることを確認しました。空間の曲がりや歪みは、宇宙を横断するショートカットを提供し、アインシュタインの相対性理論が示唆するいくつかの限界を回避する方法を提供するかもしれません。アインシュタインは、宇宙には速度制限があることを理解していました。それは真空中の光の速度です。何もこれより速く移動することはできません。これが、銀河の一方から他方へ移動したい場合に問題を引き起こします。時間がかかるのです。これは、すべてのSF作家が直面する大きな問題です：キャラクターたちを移動させるのに、何年もかけずにどうやって別の場所に連れて行くのか？その秘密はしばしばワームホールを利用することです。これはアインシュタインの場の方程式に対する特別な解で、時空の幾何学の異なる部分間に推測的なショートカットを提供します。ワームホールは、山を貫通するトンネルのようなもので、通常は数百万年かかる距離を結ぶトンネルです。 ガウスの光が曲がった道を通ってゴッティンゲンの一つの丘から別の丘へ移動する際にショートカットを取るという考えは正しかったことが分かりました。ただし、その効果を観察するためには、ハノーファーではなく我々の銀河を調査するような、はるかに大規模なスケールで作業する必要があったでしょう。アインシュタインはその点で評価されるべきです。 19世紀の数学者たちが、相対性理論を発見するための幾何学を創造したことは常に認められてきました。「現代物理理論の発展、特に相対性理論の数学的基盤におけるC. F. ガウスの重要性は、実に圧倒的です……純粋な幾何学の問題に没頭することで、ある程度の喜びを見出すことができることを、私はためらわずに告白します。」もしAからBへの旅行を計画しているなら、光が最も早い道を見つける方法を考慮する価値があります。時には、道が長くても、迂回する方が早いこともあります。家の周りの測定は、2つの場所の間にメジャーを通すことができないため、時には難しいことがあります。しかし、もしかしたら角度は測定できるかもしれません。サインとコサインは、夜空や地表だけでなく、最初は手が届かないように思えるものを測るための素晴らしい近道であることを常に意図されていました。都市計画者が群衆に近道を探させる戦略は、公園の片側からもう片側へ移動するだけでなく、他の場面にも応用できる戦術かもしれません。公共の意見に導かれて最適な解決策を見つけることは、自分一人で全ての作業をする手間を省く潜在的な近道です。 私は歩くことが大好きです。ゆっくりとしたペースは、私に風景や自然界を体験させてくれ、私たちの速い生活の中でしばしば見落とされがちなものです。歩くことはAからBに到達することではなく、しばしばAからAへの長い道のりを楽しむことです。息子がまだ小さかった頃、彼はこれを馬鹿げていると思っていました。ある日、私たちは田舎で借りた家から散歩に出かけました。半マイルほど進んだところで、息子が突然、私たちが歩いている道から分かれた小道に気づきました。その小道は畑を横切り、畑の向こう側には私たちの家が見えました。「パパ！近道を見つけたよ！ほら、この道を行けば家に帰れるよ。」しかし、私にとって歩くことは一種の近道でもあります。時速3マイルは、考えるのに最適な速度のようです。ジャン＝ジャック・ルソーが『告白』の中で書いたように、「私は歩いているときだけ瞑想でき、止まると考えるのをやめてしまう。私の心は足と共にしか働かない。」歩くことは、数学的な啓示への近道であり、私の潜在意識が新しい方法で問題を探求するために必要な迂回路です。ロバート・マクファーレンは、彼の著書『古い道：徒歩の旅』の中で、歩くことと思考の関係について語っています。彼は、ノルウェーの田舎を歩いているときに哲学的な仕事での大きな突破口を得たウィトゲンシュタインの言葉を引用しています。「私の中に新しい思考が生まれたように思います。」しかし、マクファーレンが指摘するのは、ウィトゲンシュタインがその思考を表現するために使ったドイツ語の言葉です。その言葉は「Denkbewegungen」で、文字通り「思考の道」を意味します。マクファーレンはそれを「道（Weg）に沿った動きによって生まれたアイデア」と説明しています。 マクファーレンは旅をすることが大好きです。自然の中を歩き、トレッキングや旅行を楽しむことに情熱を注いでいます。彼の著作は、徒歩での旅への美しい賛歌です。そこで、私はマクファーレンとショートカットの考え方について話をすることにとても興味を持ちました。ショートカットを常に探していることで、何かを見逃してしまう可能性はあるのでしょうか？「私はスコットランド北東部の最も愛する山脈、カーン・ゴームの頂上までケーブルカーで行くことができます」とマクファーレンは言いました。「それが頂上への最短の道だと感じるかもしれませんが、ほとんど満足感や喜びは得られません。しかし、同じ山を二日間かけて歩いて登ると、私が今まで訪れた中で最も素晴らしい場所の一つになるでしょう。」彼はまた、スコットランドの神秘家で登山家のW.H.マレーについても教えてくれました。マレーの著作は、こうした場所にいることの力を捉えています。「彼の心が重くなったり軽くなったりするとき、人の心の自然な動きは上へと持ち上がるものだ」と、マレーは第二次世界大戦中に捕虜収容所で集めたトイレットペーパーに書きました。身体で旅をすることができない彼は、心の中でスコットランドのハイランドを歩いていました。マクファーレンのもう一人の英雄は、モダニストの作家で詩人のナン・シェパードです。「シェパードは1940年代に『生きている山』の最後で、彼女が『存在の瞬間』と呼ぶものが、ウォルフやワーズワースなどの影響を受けて、どのように生まれるかについて書いています。『こうして、何時間も歩き続けると、感覚が研ぎ澄まされ、肉体が透明になる』というのがその表現です。これは本当に素晴らしいフレーズです。『これらの丘は急ぐこととは無関係だ』というのが彼女の言い回しです。ですから、ショートカットはそのモデルにおいて啓示とは全く対極にあります。」しかし、マクファーレンは、今日私たちが楽しむために歩く多くの道は、最初は新石器時代にショートカットとして踏まれたものであることを思い出させてくれました。資源が限られた状況下で、人々はエネルギーの消費や資源のバランスを取らなければなりませんでした。彼らは、たとえそれが長い道と同じような瞑想的な機会を提供しなくても、短い道を見つけたらそれを利用する可能性が高かったのです。しかし、必ずしもそうではありません。マクファーレンが指摘するように、新石器時代の文化は、単に生存のための効用だけではないプロジェクトに多くの資源を費やすこともありました。この点について、彼はカンブリアのレイクディストリクトにあるリトル・ラングデールで新石器時代の人々が採掘した手斧についての美しい話を教えてくれました。「その谷の低い場所には、手斧に適した岩の露頭がありましたので、彼らはそれを利用して欲しい道具を作ることができたはずです。しかし、彼らは明らかに、ギマー・クラックという険しい場所に登ることを選びました。」私は、なぜ彼らが簡単な場所から得られる同じ岩を得るために、わざわざ難しい場所に行ったのか疑問に思いました。「物がある場所から切り離された後も、その物には場所のオーラが残るのです」とマクファーレンは指摘しました。「ですから、ショートカットだけでなく『長い道』が先史時代に選ばれた理由もあるのです。」 しかし、マクファーレンは私に逆襲し、「数学における『長い道のり』が異常に生産的な例はあるか？」と尋ねてきました。私は、推測がその一例だと思います。推測は山の頂上のようなものです。私は答えを本の後ろで調べたくありません。それは、ケルン・ゴームの頂上までケーブルカーで行くようなものです。到達の満足感は、その頂上に到達するまでにかかった日々、いや、何年もかけたことに依存しています。しかし一方で、ただ退屈な風景を苦労して進むだけでは意味がありません。中には、ただの苦労に感じる散歩もあります。数学には、あまりにも簡単すぎて退屈になってしまうことと、あまりにも複雑で何が起こっているのか理解できなくなることとの間に、奇妙で微妙な緊張感があります。ジョン・カウェルティは彼の著書『冒険、ミステリー、ロマンス』の中で、この緊張感の質を文学において特徴づけていますが、数学にも同様に当てはまります。「もし私たちが秩序と安定を求めるなら、その結果は退屈と単調さになる可能性が高い。しかし、変化と新しさのために秩序を拒否することは、危険と不確実性をもたらす……文化の歴史は、秩序の探求と退屈からの逃避との間の動的な緊張として解釈できる。」時には、頂上に到達するために長い道を選ばなければならないこと自体が喜びの一部です。フェルマーの最終定理は350年間証明されませんでした。私たちがその定理の証明という目的地に到達する方法を見つけるまでには、世代を超えた数学者たちが奇妙で難解な土地を旅する必要がありました。しかし、その迂回や「長い道」は証明の喜びの一部です。私たちは、山をトンネルで貫通するのではなく、周りを旅することを強いられたことで、触れられなかったかもしれない魅力的な新しい数学の領域を発見しました。もし証明が短く、あるいはかなり trivial だったなら、フェルマーの最終定理に私たちが与えた価値はずっと低かったのではないかと考えるのは興味深いことです。リーマン予想のような偉大な未解決の推測は、それが提供する挑戦と、それを解決するために必要な努力からそのオーラを得ています。私たちは偉大な推測をエベレスト登頂に例えます。もし頂上に到達するのがそれほど難しくなければ、その達成をそれほど評価しなかったかもしれません。私はマクファーレンに、私が数学で楽しんでいるのは、ただの湿地を苦労して進むことではなく、山の前で立ち往生し、道を探しているときに、隙間やトンネル、私を通してくれるショートカットを発見したときの特別な高揚感だと説明しようとしました。しかし、その時マクファーレンは私を遮りました。「あなたの手が何をする必要があるのかを描写しているのを見ていると、あなたは登山者のように見えます。あなたはハイカーではなく、ロッククライマーのようです。私はここで、登山とは異なる体操的なクライミングについて話しています。」ロッククライミングの挑戦は、マクファーレンが楽しんでいるものでしょうか？ 私はかつて非常に悪かったのですが、人生のある時期にロッククライミングに非常に夢中になっていました。クライマーたちは登攀の「クラックス」について話します。どんな素晴らしい登攀にもクラックスの動きがあります。それは、あなたが問題に取り組む過程と非常に似ているように思えます。ボルダリングの問題と呼ばれるものです。まずは簡単な部分から始め、何度も繰り返し挑戦します。そしてクラックスに達すると、落ちてしまいます。あなたを弾き飛ばし、ダイナミックなジャンプをうまく決められないのです。しかし、数回成功したときの感覚は本当にスリリングです。それは問題解決の活動です。 数学のボルダリング問題を克服することによって生まれる、あのフラストレーションとその後の高揚感は確かに理解できます。私たちの会議の前に、私は「フリーソロ」という映画を観ていました。この映画は、アレックス・ホノルドがヨセミテ国立公園のエルキャピタンをロープなしで登るという驚異的な挑戦を記録しています。この登攀には約8つのクラックスがあり、登攀の中で最も難しい部分は「ボルダー問題」と呼ばれています。それは、鉛筆ほどの幅しかない薄い手がかりを渡る難しい連続動作です。壁はほぼ垂直で、そこを越えるためには奇妙な空手のキックが必要です。もし彼が失敗すれば、命を落とします。何度も弾き飛ばされる余裕はありません。 この登攀で私が印象に残ったのは、頂上への最短ルートが必ずしも直線ではないということです。ホノルドは山のピークに向かう途中で、時には最終目的地から離れて降りることが必要です。登れるルートを見つけるためにです。クライミングにおける測地線は、山の斜面をねじれながら登る奇妙な線です。私は、クライマーが山の頂上に向かう際にどのルートを選ぶのかを決定する要因は何かを考えました。それは最も速いルートですか？最も景色が良いルートですか？それとも最も難しいルートですか？エベレストの頂上には18の名前の付いたルートがあり、そのうちいくつかは未踏のままです。大多数のクライマーは、サウスコルとノースコルと呼ばれる2つのルートのいずれかを使用します。イギリスの登山家ジョージ・マロリーは、ノースコルを登ろうとして命を落としました。彼は「美しいライン」について語っていました。この美しいラインは必ずしも最も難しいルートではなく、その美しさで称賛されるルートです。これは、数学者が美しい証明について語る方法を考えると興味深いです。ルートを美しくする要素は何でしょうか？マクファーレンが言ったように、「美しさは通常、動きやライン自体の連続性の一種の関数です。ですから、必ずしも左に移動して次の尾根を拾う必要はありません。また、岩の性質にも関係があります。岩が非常に壊れにくく、しっかりしている場合です。それは、あなたがそれを説明するために空中に描くラインの優雅さそのものです。そして、危険もあります。美しいラインはそれらすべてを結びつけています。そして、最も難しいライン、いわゆる「タイガーライン」も存在します。 「そして、ダイレティッシマと呼ばれるものがあります。これは最も直接的なルートを指します。」この用語は、イタリアのクライマー、エミリオ・コミチから来ており、彼はこう言いました。「いつの日か、ルートを作り、頂上から水滴を落とし、その水滴が進んだ場所が私のルートになることを願っています。」このルートは、フォールラインとも呼ばれ、斜面における最も完璧な下りの傾斜を表しています。水が自由に流れた場合に取るであろうラインです。これは、マクファーレンが危険な天候や夜が迫っているときに、山を早く下りるために取ったショートカットの鍵となっています。「悪天候が迫っているときや、特に夜になりそうなときに急いで山を下りなければならないときは、フォールラインを探し始めます。理論的には、それが最も短いルートで、最も低い場所、つまり安全と避難所がある場所に向かうからです。」しかし、フォールラインには危険も考慮しなければなりません。「フォールラインは岩場を越えることもありますし、それは避けたいところです。急いで下りなければならない場面で、フォールラインと他の危険評価を天秤にかけることが多々あります。それが良い決断や悪い決断につながることもあります。ショートカットは素晴らしいこともあれば、危険でもあります。」特にこのショートカットが救いになった場面があったか尋ねました。「私が経験した中で最も良いフォールラインの一つは、小さな雪崩を利用したときでした。」とマクファーレンは言いました。「スコットランドの山から下っているとき、時間が迫っていて、急な雪の斜面に差し掛かりました。雪がなければ進めない場所でしたが、雪があることで地面が平らになり、足元の問題が解決されました。雪は大きな砂糖の粒のように柔らかく、問題のある大きな雪崩にはならないだろうと思いました。」正直言って、それは恐ろしい響きでした。雪崩は一般的に山の斜面で遭遇したくないものです。「私たちは、約200フィート安全に下れることが分かりました。そこで、斜面に顔を伏せて横たわり、そのまま流されることにしました。私たちは、出発地点から200フィート下に、安全ではあるが濡れた状態で着地しました。それは素晴らしかったです。良いリスク評価ができたと思います。これまでで最もスリリングなショートカットの一つでした。」 第5章 図解ショートカット パズル：クエンティン・タランティーノの『レザボア・ドッグス』で使用された曲は、次の図で表されています。 左側のもの 右側のもの くっついているもの あなたと一緒のもの 図5.1 Venn That Tuneの著者、アンドリュー・バイナーの提供によるベン図。 「絵は千の言葉に値する」と言われるように、もしかしたらそれは本当に究極のショートカットかもしれません。 レオナルド・ダ・ヴィンチもそう考えていたようです。「詩人は、画家が一瞬で描写できるものを言葉で表現する前に、眠気と空腹に圧倒されるだろう。」書かれた言葉は比較的新しい発明ですが、人間は種として進化して以来、視覚的なイメージの意味を解釈する能力を発展させてきました。例えば、Twitterでは、画像や動画を含むツイートは、テキストだけのツイートよりも三倍もエンゲージメントされる可能性が高いことが明らかになっています。これが、Instagramのような視覚的に重視されたソーシャルメディアアプリが、迅速かつ効果的にコンテンツを提供しようとする企業にとって選ばれるプラットフォームになっている理由かもしれません。よくデザインされた画像は、あなたのメッセージを、使うかもしれない言葉よりもはるかに効果的に伝える素晴らしいショートカットとなります。数学においても、時には絵が方程式では伝えられないアイデアを伝えることがあります。-1の平方根は、何世紀にもわたり数学者たちによって奇妙な異常と見なされていました。最終的に、ガウスが描いた虚数の2次元マップが、これらの数を主流に引き入れることになりました。しかし、1855年にガウスが亡くなる直前に、数を表現するための画像の政治的な力が真に明らかになりました。 ローズダイアグラム 1854年11月、フローレンス・ナイチンゲールがトルコのスカタリにある病院に到着したとき、彼女はその状況に愕然としました。クリミア戦争が1年間続いており、その病院は戦闘で負傷したイギリス軍の兵士たちの治療を担当していました。病院は不衛生で、陰惨で、過密状態でした。ナイチンゲールはすぐに状況を改善しようとしました。彼女は洗濯所を設置し、物資を持ち込み、栄養価の高い食事を提供しました。しかし、彼女の努力にもかかわらず、死亡率は上昇し続けました。病気や負傷をした人々は、ナイチンゲールやメアリー・シーコールなどの看護師から熱心なケアを受けましたが、看護だけでは不十分でした。数ヶ月間この敗北の戦いを続けた後、2人の男性が現れました。コレラ専門医のジョン・サザーランド博士と、衛生工学者のロバート・ローリンソンです。彼らは調査の結果、根本的な問題を発見しました。それは水道システムでした。水道は死んだ動物で詰まっており、トイレからの人間の排泄物が水槽に漏れ出していました。ローリンソンとサザーランドは、全てを洗い流しました。そして、彼らは変化を見始めました。彼らが呼ばれた衛生委員会の結果、すべての軍病院は急速に改善されました。1ヶ月以内に、感染症による死亡者数は半減しました。1年以内には、1855年1月の2,500人以上から1856年1月には42人にまで98％減少しました。戦争が終わった後、ナイチンゲールは過去18ヶ月間の経験を振り返りました。彼女は、戦争では戦闘中に命が失われることを受け入れました。しかし、彼女が受け入れられなかったのは、病気によるはるかに多くの死亡者数でした。 彼女は、18,000人もの兵士が命を落とし、その多くが救われる可能性があったことに絶望を感じていた。彼女の前に立ちはだかる課題は、同じ悲劇が二度と起こらないように、軍の病院に持続的な改善をもたらす方法だった。しかし、急進的な改革の必要性を説得するのは容易ではないことを彼女は理解していた。ナイチンゲールは、女王ビクトリアとその顧問たちとの面会を取り付けた。彼女は、なぜこれほど多くの兵士が野戦病院で亡くなったのかを調査する必要性を彼らに強調した。女王と政府は戦争に関するさらなる調査を進めたがらなかったが、ナイチンゲールの評判はすでに伝説的なものとなっていた。そのため、政府は彼女に新たな王立委員会に提出するための機密報告書を作成するよう依頼することにした。彼女は協力したいと思っていたが、何を書けばよいのか、そして、彼女がスカタリで目撃した恐怖と悲劇をどのように伝えればよいのかが重要だった。ナイチンゲールは、政府が彼女の数字を無視するのではないかと恐れていたので、彼女の行動を促す重要な事実は、彼らの目に飛び込むようにしなければならなかった。彼女は「バラの図」と呼ばれる図を作成し、数字の背後にあるメッセージを凝縮した。この図は二つのバラから成り立っていた。右側のバラには、1854年から1855年の戦闘年における兵士の死亡数が、死因ごとに各月に示されていた。左側の小さな図は、1855年から1856年のデータを示している。重要なのは各色の面積であり、中央の赤い部分（私たちのバージョンでは濃い灰色で表現されている）は、負傷による死亡を示していた。黒は、凍傷や事故などの他の原因による死亡を示していた。しかし、赤痢やチフスなどの感染症による驚異的な死亡数は、中心から大きな青いバラの花びらのように広がっていた（ここでは薄い灰色で表現されている）。1854年の冬が進むにつれて、面積は徐々に大きくなり、1855年1月には1か月で2,500人以上が亡くなっていた。 854年、境界が設定され、黒いエリアが示されています。1854年10月と1856年1月・2月には、青い部分が黒い部分と一致しています。全体のエリアは、青、赤、黒の線に沿って比較することができます。図5.2はフローレンス・ナイチンゲールのバラの図です。しかし、2つ目のバラの図は、状況がこうである必要はなかったことを示しています。2つ目の図に示されたはるかに小さな青い領域は、病院での衛生状態の改善が感染症による死亡者数の劇的な減少を引き起こしたことを明らかにしました。この図こそが、報告書に書かれた言葉以上に、イギリスの権力者たちに軍の医療実践が無駄に多くの兵士の命を奪っていることを認識させるきっかけとなったのです。その視覚的な魅力は、人々の心と頭をつかみ、医療の改革を促進する動きが始まりました。この図は、まず目を引き、次に脳を刺激することを意図しています。ナイチンゲールは、この図が「目を通して影響を与え、言葉を聞き取れない公衆の脳に伝えられないことを伝えるべきだ」と書いています。この図は、数字の中に隠されたメッセージへの近道を提供します。 最近、コロンビア大学の疫学教授イアン・リプキンから、視覚的な表現が政府に健康リスクを説得する力についてのより現代的な例を学びました。彼は長年にわたり、政府にパンデミックへの対応を助言してきました。しかし、彼がアメリカ政府にパンデミックの潜在的な影響を説明しようとした最初の試みは、冷たい沈黙に直面しました。700ページに及ぶ彼の詳細な報告書は、おそらく誰にも読まれなかったのです。そこで、彼は非常に要約されたバージョンを用意しましたが、それでも沈黙は続きました。最終的に、彼はメディアを変える必要があることに気づきました。報告書の言葉の代わりに、彼は映画「コンテイジョン」を制作する手助けをしました。マット・デイモンとグウィネス・パルトローが出演するこの映画は、ウイルスが多くの人々を殺す様子を視覚的に描写し、アメリカ政府を行動に駆り立てました。これは、ナイチンゲールのバラの図がビクトリア時代のイギリス政府に与えた影響と同様です。 ナイチンゲールのバラの図は、複雑な問題を視覚的に表現することの力を示し、理解への近道を提供します。彼女の図は最初のものではありません。実際、彼女はウィリアム・プレイフェアの作品からインスピレーションを得た可能性があります。1786年に出版された彼の「商業と政治のアトラス」には、44の画像が含まれています。そのほとんどは、時間と他の値をプロットしたグラフで、馴染みのあるx/y形式です。しかし、1つの画像は少し異なります。それは、スコットランドの輸出入をグラフではなく、各値を表す線として記録したもので、非常に初期の棒グラフの形態です。これは、ナイチンゲールが目にし、自身の参考にしたかもしれない図の一例です。 プレイフェアは、私たちの脳が特定のメッセージを画像で見るときに、より正確に解読できるように進化してきたと信じていました。「すべての感覚の中で、目は表現可能なものに対して最も生き生きとした、そして最も正確な印象を与えます。そして、異なる量の比率が対象である場合、目は計り知れない優位性を持っています。」今日のこの視覚的な時代において、私たちは数字の視覚的表現に圧倒されています。データに隠された秘密を解読するための図は、強力な政治的および商業的ツールです。しかし、良い図が理解への近道を提供できる一方で、悪い図は完全に誤解を招くことがあります。特定のニュース組織は、政治的メッセージを伝えるために図を悪用することで悪名高いです。以下の棒グラフを見てください。左側は、ジョージ・W・ブッシュの減税が終了した場合の税金への影響がいかに壊滅的であるかを示すために使用されました。差は非常に大きく見えますが、突然、縦軸が0ではなく34から始まっていることに気づくと、その差は微小なものになります。 別の典型的な棒グラフの誤用は次の通りです： このグラフは、会社Cが会社Bおよび会社Aに対してどれほど優位であるかを示すことを目的としています。データを記録する際に重要なのはアイコンの高さだけですが、幅も拡大することで、会社の重要性を完全に誇張しています。会社Cの売上は会社Aの5倍ですが、会社Cのアイコンは会社Aのアイコンの25倍の大きさです。ある意味で、ナイチンゲールのバラの図はここで一つのポイントを逃しています。彼女はバラの面積が数字に対応するように作成しましたが、花びらの面積がすべての方向に広がるため、影響が軽視されてしまいました。もし彼女がバラを棒グラフに置き換えていたら、青い部分に対応するセクションの高さは、他の部分と比べてさらに際立っていたでしょう。 地図作成は、図式的なショートカットの完璧な例かもしれません。地図は、地形の複製ではありません。まず第一に、地図は調査されている土地の縮小版であることが重要です。それでも、多くの特徴は省略されなければなりません。しかし、風景をうまく地図化し、含めるべき重要な特徴を選び、不要なものを取り除けば、道を見つけるための驚くべきショートカットが得られます。私はルイス・キャロルが彼の最後の小説『シルビーとブルーノの結末』で語る話が好きです。そこには、地図を作成する際に情報を捨てることの重要性を理解していない国が登場します。彼らは自分たちの地図がどれほど正確であるかを誇りに思っていました。「私たちは実際に国の地図を作成しました、スケールは1マイル対1マイルです。」 「それを使ったことはありますか？」 「まだ広げたことはありません。」 農民たちは反対しました。「それは国全体を覆い、太陽の光を遮ってしまう！」と言ったのです。そこで私たちは、国そのものを地図として使うことにしました。これがほぼ同じように機能することをお約束します。」キャロルがユーモラスに指摘するように、地図は何を省略するかについて選択をしなければなりません。人類が最初に作った地図のいくつかは、地球ではなく天体の地図です。ラスコーの洞窟の壁に描かれた絵は、プレイアデス星団の配置を示しており、これはしばしば年のサイクルの始まりを示すために使われました。地球の最初の地図の一つは、紀元前2500年頃にバビロニアの書記によって彫られた粘土板です。そこには二つの丘の間にある川の谷が描かれています。丘は半円で、川は線で、都市は円で表現されています。また、地図をどの方向に向けるべきかの指示も含まれています。バビロニア人は、紀元前600年に世界全体を地図にしようとした最初の試みも行っています。この地図は、非常に象徴的であり、文字通りのものではありません。水に囲まれた円形の形状が描かれており、バビロニア人の土地の見方を示しています。しかし、地球が平らではなく球体であることが認識されると、球面の平面地図を作成することは地図製作者にとって興味深い課題となりました。一般的に、16世紀のオランダの地図製作者ゲラルドゥス・メルカトルが巧妙な解決策を見出したとされています。この時代は海による地球探検の時代であり、メルカトルの主な目標は、船乗りが地球上のある地点から別の地点へ移動するのを助ける地図を作成することでした。航海の主な道具はコンパスでした。A地点からB地点に行く最も簡単な方法は、固定されたコンパスの方向を知ることであり、その角度を保ちながら船を進めれば目的地に到達できるというものでした。このような線は、南北に走る経度の線に対して一定の角度を保っています。これらは「ルンブ線」と呼ばれ、地球儀に描かれると北極に向かって螺旋状に進むのが見えます。これらはA地点からB地点への最短経路ではありませんが、コースを外れないことを重視するなら、これが最も良い道でした。メルカトルの地図には、これらの曲線が地図上で直線に変換されるという素晴らしい特性があります。A地点からB地点に向かうための角度を見つけたい場合、メルカトルの地図上で直線を描くだけで、その線と経度の線との角度が、海を渡る際に維持すべき角度となります。この球体を長方形に投影する方法は「準同型写像」と呼ばれ、角度を保つことができます。これを実現するためには、次のように考えてみてください。地球を風船と想像し、その表面に湿ったインクが塗られているとします。地球の赤道に触れるようにシリンダーを地球の周りに巻きつけます。 地球を膨らませ始めてください。そうすることで、徐々に地球の表面がシリンダーに接触し、インクがその表面の地図を印刷します。シリンダーを解くと、地図が出来上がります。明らかに、極をこの方法で地図に描くことはできないので、地図の上部は極に近い緯度の線になります。この地図の効果は、赤道から北または南に向かうにつれて緯度の線が引き伸ばされることです。この地図は、海上にいる人々にとって素晴らしいツールでした。これは明らかにメルカトルの目的であり、彼はこの地図に「航海に適した地球の新しく、より完全な表現」というタイトルを付けました。地球上の線の間の角度は地図において保持されましたが、面積や距離はそうではありませんでした。そして、これは大きな政治的影響を持ちました。この地図が何世紀にもわたって非常に有用であったため、地球の見え方として受け入れられるようになりました。しかし、この地図の効果の一つは、赤道から遠く離れた国々、例えばオランダやイギリスの重要性を大きく膨らませることです。例えば、赤道に円を描き、グリーンランドの上に同じサイズの円を描いてみてください。この二つ目の円は、メルカトルの投影法で地図にすると十倍の大きさになります。例えば、アフリカは実際にはグリーンランドの十四倍の大きさですが、地図上ではほぼ同じ大きさに見えます。メルカトルの地図はポストコロニアル政治に問題を引き起こし、UNESCOによってガル・ピーターズ地図という代替地図が採用されました。この地図はイギリスの学校で広く使用されていますが、アメリカの多くの学区ではまだメルカトルの地図を置き換えていません（ボストンの学校は2017年に置き換えました）。多くのアメリカ市民にとって、ガル・ピーターズ地図で見られるアメリカ合衆国の縮小は、彼らの国の世界における位置に対する見方と合致しません。真実は、どんな地図でも妥協があるということです。これは、ガウスが異なる幾何学の曲率の性質を調査している際に発見したことでもあります。彼が「優れた定理」と呼んだ発見の中で、彼は平面地図が球状の地球に巻き付けられることはできず、距離が歪むことを証明しました。地球の地図には必ず何かが妥協される必要があります。ガル・ピーターズ地図では、面積は正しいかもしれませんが、大陸の形はそうではありません。アフリカは幅の二倍の長さに見えますが、実際にはもっと正方形に近い形をしています。もちろん、ほとんどの地図が行うもう一つの大きな選択は、北半球を上に、南半球を下に配置することです。しかし、球体は対称的であるため、地図を逆さまにする理由はありません。この選択は、地図を作成していたのが北半球の住民であったことを反映しています。オーストラリアの住民であるスチュアート・マッカーサーは、南半球を上にした地図を作成することでこの北偏見に対抗することを決めました。 初めてそれを見ると、かなりの衝撃を受けます。どうもおかしいのです。しかし、これは私たちがメルカトルの地図にどれだけ慣れてしまったかを反映しています。地図は、あなたが何を達成しようとしているかによって変わります。これはナビゲーションの近道ですか？それとも土地の大きさを理解するための近道ですか？ほとんどの地図は、何らかの幾何学的特徴を保とうとします。地図上の距離が実際の距離に対応しているか、線の間の角度が同じであることが求められます。しかし時には、良い地図はこれらの要素をすべて捨て去り、A地点からB地点に行くための最も重要な特徴だけを保つことがあります。 私が最も好きで、日常的に使っている地図の一つはロンドン地下鉄の地図です。ロンドン地下鉄の地理的な位置やルートを示した物理的な地図は、街を移動する際にはあまり役に立ちません。その代わりに、1933年にハリー・ベックが開発したアイコニックな地図は、物理的な寸法を無視しながら、ネットワークの部分がどのように接続されているかを明確に示しています。この地図は非常に革新的で、当初は地下鉄を運営している会社に拒否されました。しかし、ロンドン市民がこのシステムを利用しなかったため、彼らはお金を失っていました。人々がなぜ利用しないのかを調査したところ、ネットワーク内をうまく移動できないことが原因であることがわかりました。彼らが作成した地図は、街の地理を再現しようとしていましたが、その結果、読みにくいごちゃごちゃした線の束になってしまっていました。 ベックはこの問題に気づき、地理的な正確さを捨てる必要があると判断しました。代わりに、彼は線を引っ張ったり押したりして、まっすぐにし、きれいな角度で交差させ、駅を離して配置しました。ベックが電子工学のバックグラウンドを持っていたことが役立ったかもしれません。というのも、この地図は電気回路基板のレイアウトに近いものになっているからです。乗客がシステムをナビゲートするために使えるより良い地図が必要だと気づいた会社は、最終的にベックの提案を採用することを決定し、75万部の地図が印刷され、配布されました。この地図は今や国際的なアイコンとなっています。アート作品にも影響を与えています。ロンドンのテート・モダンに展示されているサイモン・パターソンの地図の再構成では、駅名がエンジニア、哲学者、探検家、惑星、ジャーナリスト、サッカー選手、音楽家、映画俳優、聖人、イタリアのアーティスト、中国の学者、コメディアン、そして「ルイ」（フランスの王たち）の名前に置き換えられています。ハリー・ポッターシリーズの著者J.K.ローリングは、ダンブルドア教授に地図の形をした左膝の傷を与えています。これは、彼女がこのシリーズのアイデアを列車に乗っているときに思いついたことへの言及です。 ロンドン地下鉄の地図の力は、それが地理的な地図ではなく、A地点からB地点に行くためのより重要な特性に焦点を当てているところにあります。 同じ長さの線がコベントガーデンとレスター・スクエアの間、またキングス・クロスとカレドニアン・ロードの間の接続を表すために使われているからといって、距離が同じであるとは限りません。通勤者にとって、駅間にそのような接続があることを知ることは、駅の距離を知ることよりもはるかに重要です。これは、19世紀中頃に導入された新しい世界の見方の一例です。物体間の正確な距離は重要ではないことが多く、重要なのはそれらがどのように結びついているかです。この新しい見方はトポロジーと呼ばれています。ガウスは、表面の特性が物理的な幾何学にあまり依存せず、表面上の点がどのように結びついているかにより多く依存することを考え始めた最初の人物の一人でした。彼は自らの考えを公表することはありませんでしたが、彼のアイデアは1847年にヨハン・ベネディクト・リスティングが初めて「トポロジー」という用語を使った論文のインスピレーションとなりました。第9章では、トポロジカルマップがロンドン地下鉄だけでなく、ネットワーク内での道案内に非常に便利なショートカットになることを見ていきます。しかし、図はロンドンの場所間の物理的な接続を示すことに限定される必要はありません。地下鉄の駅をメンタルアイデアに置き換えた地図が非常に効果的に活用されています。これをマインドマップと呼び、異なるアイデアの間に興味深いつながりを引き出すことを目的としています。マインドマップは、試験勉強に励む学生たちの主食となっており、言葉では難解に感じる主題の統合されたストーリーを作り出すのに役立ちます。ある意味で、エド・クックの記憶の宮殿に触発されています。マインドマップは、アイデアの寄せ集めをページ上でナビゲートできる物理的な旅に変えることができます。これらの図は長い歴史を持っています。ニュートンは、ケンブリッジで学部生だった頃に使ったマインドマップのような落書きをノートに描いて、異なる哲学的な問いがどのように関連しているかについての考えを明らかにしました。重要なのは、これらの地図が教科書がアイデアを提示する際の直線的な方法を打破し、私たちの心の中でアイデアを処理するより多次元的な方法を模倣しようとしていることです。 大きなものと小さなものをマッピングする レオナルドが述べたように、視覚の世界は書かれた言葉を超越するものを描写することができます。単一の画像は、言葉や方程式の複雑さに隠れた単純な基盤パターンを伝えることができます。しかし、図は私たちの目で見えるものの物理的な表現以上のものです。図の力は、新しい世界の見方を結晶化することにあります。しばしば、情報を捨て去り、重要なものに焦点を当てることが求められます。ルイス・キャロルのユーモラスなスケールのない地図がその例です。他の時には、科学的なアイデアを視覚言語に変え、幾何学の数学が支配し、私たちが扱う科学をナビゲートするのを助ける新しい地図を提供します。コペルニクスは、良い絵の力を確かに理解していました。 コペルニクスは、1543年に死の直前に出版した大著『天体の回転について』の中で、彼の地動説を説明するために405ページにわたる言葉、数字、方程式を用いました。しかし、彼が本の冒頭に描いた図は、彼の革命的な新しいアイデアをシンプルなイメージで捉えています。それは、太陽が太陽系の中心にあり、地球ではないということです。 コペルニクスの太陽中心の太陽系の図は、最良の図の本質的な要素を凝縮しています。同心円は惑星の正確な軌道を示すためのものではなく、コペルニクスはそれが円ではないことを知っていました。また、円の間の均等な距離は、惑星が太陽からどれだけ離れているかを示すものでもありません。むしろ、この図は、私たちが物事の中心にいないというシンプルでありながら衝撃的なアイデアを伝えています。彼の図は、私たちの宇宙における位置に対する見方を変えました。 今日、現代の宇宙論者たちは、138億年の歴史を通じて宇宙全体を描くための図を使用し、巨大なブラックホールの働きを捉えるための図や、4次元時空の複雑さをナビゲートするための図を用いています。図が宇宙の広大さを理解するためのショートカットを提供する力は、初めて見ると信じられないほど大きなものの中で私たちの位置を考える唯一の方法かもしれません。 しかし、図は拡大鏡のように機能し、非常に小さなものを見ることも可能にします。化学実験室に入ると、黒板には単線、二重線、時には三重線でつながれた文字が書かれています。これらは、化学者が原子がどのように組み合わさって分子の世界を形成するかを示す図です。 メタンの分子の図は、中央にCがあり、そこから4本の線が出ていて、各端にHがあることでCH₄の分子を表現しています。無色で可燃性のガスであるエチレンC₂H₄は、Cの間に二重線があり、Cに4つのHが付いているという少し異なる構造を持っています。これらの図を使うことで、分子がどのように反応し変化するかをナビゲートすることができます。二重結合の存在は、しばしばその分子が電子を好む物質の存在下で反応性を持つことを伴います。 化学では、これらの図を操作することに慣れすぎて、顕微鏡では捉えにくいスケールで起こっている驚異的な反応へのショートカットであることを忘れてしまいます。しかし、これらの図は、分子の世界に隠れた新しい構造の発見にもつながることがあります。メタン分子が示すように、炭素は4本の線が出ていることを好み、水素は1本の線しか持ちません。 1825年、マイケル・ファラデーによって初めてベンゼン分子が抽出され、分析された際、6つの炭素原子と6つの水素原子から成ることがわかりました。しかし、その構造を図にしようとすると、数が合わないことがわかります。4本の腕を持つ6つの炭素原子を、たった6つの単腕の水素原子で覆うのは不可能に思えました。この謎を解いたのは、ロンドンで働いていたドイツの化学者オーギュスト・ケクレでした。ある夏の晩、彼はいつものように最後のバスに乗って、閑散とした街を通り抜けて帰っていました。彼は夢想にふけり、目の前で原子たちが跳ね回っているのを見ました。車掌の「クラッパム・ロード」の声で夢から覚めましたが、夜の一部をその夢の形を紙に描くことに費やしました。それでも、ベンゼンの構造は依然として謎のままでした。彼は多くの遅い夜をかけてこれらの図を理解しようとしましたが、秘密が明らかになるにはもう一度夢を見る必要がありました。 彼は暖炉の方に椅子を向けてうたた寝をしました。再び原子たちが目の前で跳ね回っていました…長い列が時折より密接に絡み合い、蛇のようにうねっていました。しかし、見てください！ そのうちの1匹の蛇が自分の尾を掴んでおり、その形が目の前で嘲笑うように回転していました。まるで稲妻のように目が覚めました。 彼はそれを理解しました。炭素原子は長い直線ではなく、リング状になっていたのです。これが炭素の腕を使い切る方法でした。炭素原子同士が握手をしているため、それぞれが水素原子と握手するための腕が1本だけ残っているのです。ベンゼン環の発見と他の分子における類似の環状構造は、新しい化学の分野の発展を導くことになりました。実際、こうした環状構造を持つ多くの分子は芳香族であることがわかりました。たとえば、水素原子の1つをCOHの分子に置き換えると、結果として得られる分子はアーモンドの香りがします。それを少し長いC3OHの分子に変えると、香りはシナモンに変わります。これらの分子はその構造を2次元の図で捉えることができるほど単純です。しかし、ヘモグロビンのようなより複雑な分子は、図にするのがはるかに難しいのです。実際、ヘモグロビンの分子の複雑さを完全に捉えるためには、アーティストの手が必要でした。アーヴィング・ガイスは建築家および美術家として訓練を受けましたが、1961年に『サイエンティフィック・アメリカン』に掲載された彼のヘモグロビンの構造を描いた素晴らしい絵が、彼を有名にしました。ジョン・ケンドロウは、多数の2次元X線を用いてそのタンパク質の構造を成功裏に組み立て、1962年にノーベル賞を受賞しました。それは驚くべき業績でした。この分子は2600以上の原子から成り立っており、タンパク質分子としてはまだかなり小さい方です。 彼は1957年にその構造の絵を描くことに成功しましたが、自身の発見を本当に捉えるためには、熟練した製図家の助けが必要だと判断しました。そこで彼はゲイスに助けを求めました。ケンドロウの論文や模型を6ヶ月間精査した結果、1961年6月の『サイエンティフィック・アメリカン』に掲載される水彩画を制作しました。それは驚くべき画像ですが、分子の特性を本当に理解するための近道としては、あまりにも複雑すぎるものでした。おそらく、最も難しい挑戦はDNAを描くことでした。私が強調してきたように、良い図の力は、情報を捨てることでしばしば現れます。フランシス・クリックとジェームズ・ワトソンがDNAの二重らせん構造を発見したとき、彼らは『ネイチャー』に掲載する論文で、完全な分子の説明を伴った非常に複雑な画像を描くこともできました。しかし、彼らの発見の本質はDNAを構成する二本の鎖であり、それがどのようにして分子が私たちの遺伝子を世代を超えて受け継ぐことを可能にするかを説明しています。彼らは、かつて飲んでいたケンブリッジのパブでこの発見を発表しました。クリックが「生命の秘密を見つけた」と急いで帰宅したとき、彼の妻はやや冷ややかでした。「彼はいつも帰ってきてはそんなことを言っていたから。」興味深いことに、彼の妻オディールは、この発見を世界に知らしめる重要な役割を果たしました。彼女は彼らの『ネイチャー』論文に掲載された図を作成したからです。クリックは彼女に自分が求めていたもののスケッチを渡しましたが、彼自身にはその発見の重要なメッセージを表現するための芸術的なスキルがありませんでした。オディールは訓練を受けたプロのアーティストで、1930年代にウィーンで学び、その後ロンドンのセント・マーチンズやロイヤル・カレッジ・オブ・アートに進みました。彼女は夫の肖像画を時折描きましたが、ほとんどの作品は女性のヌードに焦点を当てていました。分子構造は彼女の専門ではありませんでした。しかし、フランシスが自身のやや雑然としたスケッチを使って発見を説明する中で、オディールはその要点を理解し、彼の漠然とした印象を記憶に残る画像に変えました。その力は、当時の彼女にはあまり理解されていなかったかもしれません。この二重らせんは、DNAや生物学、さらには科学的発見を超えた象徴となりました。初めから、二重らせんはアーティストたちに魅力を感じさせました。科学的メタファーのパレットにそれを加えた画家の一人が、シュルレアリスムのサルバドール・ダリでした。彼はこれを「核の神秘主義」と呼び、DNAの使用は彼の芸術に驚くほど保守的で宗教的な側面を示しました。しかし、私にとって図の最も驚くべき使い方の一つはファインマン図です。これは、顕微鏡でも捉えられないものを視覚化するだけでなく、非常に複雑な計算を省略することを可能にしました。化学者の黒板にはC、H、Oが線でつながれて描かれていますが、物理学者の黒板には化学者の原子を構成する基本粒子の相互作用を表す図が描かれていることでしょう。 これらは、電子と陽電子が相互作用する際に何が起こるかの時間的な進化を示す動的な図です。 図5.9. 電子と陽電子の相互作用に関するファインマン図 これらの図は、物理学者リチャード・ファインマンが考案した驚くべき記録手法で、非常に複雑な数学的積分の計算を追跡するためのものです。ファインマンは、量子電磁力学（QED）の理論が生み出す計算を理解しようと集まった28人の著名な理論物理学者たちの閉会の会議で、この図を使った計算のショートカットを初めて披露しました。この会議は1948年の春、ペンシルベニア州の田舎にあるポコノ・マナー・インで行われました。ハーバード大学の若き天才ジュリアン・シュウィンガーは、QEDに対する彼の複雑な数学的アプローチを説明するために一日中講義を行いました。これは、コーヒーや昼食の休憩を挟みながら続くマラソンのような講義でした。聴衆は、ボードに現れる数学が相互作用を説明する様子に釘付けになっていました。壮大な講義の終わりには、彼らの頭はおそらく疲れ果てていたことでしょう。そのため、ファインマンがその日の終わりに立ち上がり、自身のアプローチを説明し始めたとき、ボードに絵を描き始めると、最初は人々はこれらの図が計算にどのように役立つのか理解できずに困惑しました。実際、講義を受けた著名な物理学者たち、例えばポール・ディラックやニールス・ボーアは、ファインマンの図に困惑し、若いアメリカ人は量子力学を理解していないと結論づけました。ファインマンは失望し、落胆して会議を後にしました。しかし、これらの図は、物理学の他の著名な人物フリーマン・ダイソンによって救われました。彼は、これらの図が実際にはシュウィンガーが行っていた複雑な数学的計算と同等であることを理解していました。ダイソンが講義中にその洞察を説明するまで、物理学界はこれらの図を真剣に受け止め始めませんでした。その後、ダイソンが執筆した記事は、図の描き方やそれを関連する数学的表現に翻訳する方法についての手引きを提供しました。今日では、ファインマンが考案したこれらの図が、粒子同士の相互作用を解明しようとする理論物理学者にとっての最初の手がかりとなっています。これらは、物理宇宙の基盤で起こる基本的な相互作用への驚くべき図式的ショートカットです。これまでの実験で孤立したクォークを捉えたことはありませんが、これらの図は、クォークがその環境と相互作用する際の進化をナビゲートする方法を提供してくれます。私のオックスフォードの同僚ロジャー・ペンローズは、基本的な物理学の中で最も複雑なアイデアに対する同様に強力な視覚的ショートカットを開発しました。 彼のツイスター理論は1967年に提案され、非常に小さな世界の量子物理学と、一般的に非常に大きな世界の重力物理学を統一しようとする試みです。この理論は非常に数学的ですが、ペンローズにとって複雑な数学を理解する最良の方法は絵を描くことでした。幸運なことに、ペンローズは自身も優れたアーティストであり、オランダの視覚芸術家M.C.エッシャーとの興味深い交流を持っていました。彼の芸術的なスキルは、複雑な数学を扱うための最良のショートカットである図を作成するのに役立ったでしょう。1960年代後半に紹介されたにもかかわらず、ペンローズのアイデアは、彼の理論と現在のアイデアを結びつける新しい研究のおかげで主流になりました。最近、この新しいアプローチから生まれた図の一つであるアンプリチュヘドロンは、8つのグルーオン粒子の相互作用を表しており、物理学を理解するための驚くべきショートカットを提供しました。ファインマン図を使用すると、同じ計算には約500ページの代数が必要でした。「その効率の度合いは驚異的です」と、ハーバード大学の理論物理学者であり、新しいアイデアを開発した研究者の一人であるジェイコブ・ボージャイリーはコメントしました。「以前はコンピュータを使っても実行不可能だった計算を、紙の上で簡単に行えるようになりました。」 ベン図 章の冒頭で出したパズルに使われた図を認識するかもしれません。「新数学」革命の時期に数学を学んだ人々は、情報を整理する方法としてベン図を頻繁に使用したことでしょう。各円は概念を表し、円が交差する部分や交差しない部分は、これらの概念がどのように関連するかのさまざまな論理的可能性を示します。例えば、数が(a)素数、(b)フィボナッチ数、(c)偶数であるというアイデアを考えてみましょう。1から21までの数を、これらのカテゴリーを満たす数に応じて分配できます。 | | Prime | Fibonacci | Even | |---------|-------|-----------|------| | 4 | 20 | 10 | | | 3 | 6 | 15 | | | {6 | 0 | 14 | 12 | 図5.10. 素数、フィボナッチ数、偶数のベン図 ベン図は、異なる可能性を表現する巧妙な図的手法です。例えば、2が唯一の偶数の素数であることを明らかにします（数学者たちは、2が唯一の偶数の素数であるため、2を奇数の素数だと言うのが面白いと考えています）。偶数であり素数であるがフィボナッチ数ではない数は存在しません。このタイプの図は、1880年に「命題と推論の図式的および機械的表現について」という論文で導入したイギリスの数学者ジョン・ベンにちなんで名付けられました。これらの図は、彼の同時代のジョージ・ブールが発展させていた論理的言語をナビゲートするのを助けるために作られました。ベンは図だけでなく、クリケット選手がバッティングの練習をするためのボウリングマシンの製作にも特化していました。オーストラリアのクリケットチームは、ベンが働いていたケンブリッジを訪れた際にそのマシンを試してみたいと依頼しました。 彼らは、機械がキャプテンを4回連続でアウトにしたとき、かなりショックを受けました。しかし、ヴェンは自分の図がより重要であると考えていました。「私はすぐに、講義を行うために必要なテーマや書籍に対して、より安定した作業を始めました。そして、私は初めて、命題を包含的および排他的な円で表現する図式的な手法に気づきました。もちろん、その手法は当時新しいものではありませんでしたが、数学的な視点からこのテーマにアプローチする誰もが、命題を視覚化しようとする際に明らかに代表的な方法であるため、私はほぼすぐにそれを思いつきました。」彼は、論理的な可能性を表現するためにグラフィカルなイメージを使用するというアイデアが新しくないことを正しく指摘しました。実際、13世紀の哲学者ラモン・リュイが似たようなものを作成した証拠があります。彼は、自身の図を使って異なる宗教的および哲学的属性の関係を理解しようとしました。それらは、論理と理性を通じてムスリムをキリスト教に引き込むための討論ツールとして意図されていました。しかし、ヴェンの名前が残ったのです。最もよく見られるのは、3つの異なるカテゴリーを考慮した図です。これは、すべての可能性を表現するために紙に描くのが最も簡単な図だからです。4つの異なるカテゴリーになると、すべての論理的可能性をカバーするように4つの領域が交差するようにするために、はるかに多くの努力が必要になります。たとえば、これは十分ではありません：図5.11。この図は4つの集合のヴェン図を表していません。A領域とD領域にいるが他の2つにはいないことを表す場所がありません。代わりに、次のような図が必要です：図5.12。4つの集合のヴェン図です。 しかし、7つの集合のヴェン図は、図が理解を助けるものであるというポイントを見失い始めています。私のお気に入りの本の一つは、アンドリュー・バイナーの『Venn That Tune』です。彼はヴェン図を使って曲のタイトルを捉えました。この章の冒頭の課題は彼のものです。この図は、イギリスのフォークロックバンド「スティーラーズ・ホイール」の「Stuck in the Middle with You」を表すショートカットです。あなたのメッセージやデータをどのように絵や図で表現しますか？理解を助けるために使用できるさまざまなジャンルがあります。たとえば、ビジネスの利益を年間の異なる時期に示すシンプルなグラフ。カフェでの人気料理を追跡する棒グラフ。異なる政党間の意見の重なりや違いを説明するためのヴェン図。あるいは、言葉が隠しているアイデアのつながりを明らかにするためのロンドン地下鉄の地図のようなネットワーク図などです。 経済学における最も強力なツールはお金でも代数でもありません。それは鉛筆です。 「鉛筆を使えば、世界を描き直すことができる。」これは、ケイト・ラウォースの著書『ダウナット経済学』の冒頭の一文です。この本では、20世紀の経済学の物語に挑戦する新しい図が説明されています。それはドーナツの形をした図です。 私はラウォースの本の大ファンで、特にドーナツ（数学ではトーラスと呼ばれる形）が私のお気に入りの形の一つだからです。食べるのが美味しいだけでなく、この形の数学的な面白さにも惹かれます。この形の算術を理解することは、フェルマーの最終定理を証明するための核心です。また、この形のトポロジーは宇宙の可能な形を理解するために重要です。しかし、ラウォースの本で発見したように、この図は経済学の革命にも関わっています。私は、経済的思考への近道として、この画期的な図の誕生について彼女と話したいと思いました。 どんな経済学の本を開いても、どんな経済学の講義に出席しても、どんな経済学の動画を見ても、必ず何度も登場するいくつかの図に出くわします。一つは成長を示す図で、常に指数関数的に上向きに曲がったグラフを描き、無限の生産の未来を約束します。もう一つは、数量と価格に対して供給と需要を描いたX字型の交差する二つの曲線のグラフです。需要は、価格が安くなるほど、より多くのものを購入できることを示しています。供給は、価格が上がると供給者が生産する量が増えることを示しています。これらを重ねることで、需要量と供給量が等しくなる経済的均衡を明らかにしようとしています。 これらの図は非常に強力で、経済学は本質的に供給と需要だけのものであるという考え方を生み出しました。しかし、ラウォースはこの20世紀の経済モデルに挑戦したいと考えました。それは、環境や人権といった、グローバル経済を理解するために重要な要素が欠けていたからです。ジョージ・モンビオが彼の著書『瓦礫の中から』で書いたように、一つの物語に対抗する最良の方法は別の物語を語ることです。ラウォースの哲学も似ています。「これらの古い図は、知的な落書きのようなもので、落書きと同じように消し去るのは非常に難しい。最良の方法は、新しいもので上塗りすることです。」ラウォースは常に、複雑さを理解するための最良の方法は視覚的な表現だと考えてきました。「学校では本の余白に絵を描くことを discouraged されましたが、今では多くの知性の形があり、視覚的知性もその一つであることが理解されています。私は十代の頃、ファインマンの本を読むのが大好きでした。彼の本にはたくさんの絵が描かれていました。」 おそらく、他の人が「落書きしている」と言っていたにもかかわらず、私が早い段階でこれが理解の一部であることを教えてくれたのだと思います。」ラウォースは経済学を学びましたが、その分野が人間社会の働きについて本当に理解していないと感じていました。「教えられた概念に対して本当に恥ずかしさを感じ始めました」と彼女は言います。陪審員の義務を果たしているとき、ラウォースは世界銀行で働いていた経済学者ハーマン・デイリーの図に出会い、それが彼女の経済的洞察の種をまくことになりました。デイリーは無限成長の仮定に挑戦したいと考え、経済学者のグラフの周りに「環境」とラベル付けされた外側の円を描くことを提案しました。「素晴らしい図の力は、一度見てしまうと、もう見ないことはできないということです」とラウォースは言いました。「それは、心の枠組みを飛躍させ、パラダイムを変えることを可能にします。」デイリーの図は長年ラウォースの心の奥に留まっていましたが、ある日、オックスファムで働いているときに、デイリーのアイデアに触発された図が彼女の図式的な啓示を引き起こしました。その図は彼女の経済学に対する視点を変え、彼女はそれが世界にも影響を与えることを望んでいました。それは、ジョハン・ロックストロームの、ヒトにとって安全な運営空間を表す9つの惑星境界の図でした。デイリーの円がありましたが、今度は中央から放射状に広がる大きな赤い領域があり、それぞれがオゾン層、水循環、気候、海洋の酸性度などの現状を表していました。問題は、多くの領域がその円を超えていたことです。「私はただ本能的な反応を感じました」とラウォースは振り返ります。「これが、21世紀の経済学の始まりだと気づいたのです。」しかし、それは単なる美しい絵ではありませんでした。数字に裏付けられていました。経済学者は通常、すべてをドルに換算して測定し、ジェレミー・ベンサムやジョン・スチュアート・ミルの効用の共通通貨に戻ります。これは、一見相容れない量を比較するための巧妙なショートカットとして意図されています。一つの数字がすべてを支配する。しかし、その数字は私たちが知る必要のあるすべてを教えてくれるわけではありません。ラウォースは私に車を想像するように頼みました。「私はそれを非常にシンプルにしました。ダイヤルは一つだけで、そこに速度、温度、回転数、タンクに残っているガソリンの量を加えました。なぜなら、あなたにあれこれ異なる情報で煩わせたくないからです。あなたはその車を運転することは決してないでしょう。実際にはダッシュボードが必要です。人間はダッシュボードが得意です。私たちは複雑なダッシュボードを持つ飛行機を操縦します。私たちは複雑なシステムの中で生きています。複雑さを隠すことは、より豊かな意思決定ツールを提供することにはなりません。それは危険なショートカットです。」それが、これらの新しいチャートを魅力的にしている理由でした。彼らはドルを唯一の指標として使用していませんでした。代わりに、二酸化炭素のメトリックトン、肥料使用量、オゾンの指標など、複数の指標を使用していました。それでもラウォースは、その図が重要な要素、すなわち「人間」を欠いていると信じていました。 私はオックスファムで座っていて、サハラ砂漠の干ばつに対応する人々や、インドの子供たちの健康と教育のためにキャンペーンを行っている人々に囲まれながら、「もし人類が地球にかける圧力の限界を示す外側の円があるとしたら、内側にも限界があるはずだ。それが私たちが約70年間呼んできた人権だ」と考えていました。人々が毎日必要とする食料の量や水の量、社会の一員として必要な最低限の住居や教育の条件などです。もし外側の円があるなら、私たちは内側の円を描く必要があると決めました。」この時、ローウォースは私のオフィスのホワイトボードに行き、環境のための外側のリングと人権のための内側のリングを持つドーナツの落書きを描きました。最初、ローウォースはその図を自分だけのものにしていました。しかし、2011年に地球システム科学者たちの会議で9つの惑星の限界について話し合っているとき、オックスファムの代表として参加していたローウォースに向かって誰かが言いました。「この惑星の限界の枠組みには人々がいないのが問題だ。」彼女は「壁に大きなホワイトボードがあったので、『絵を描いてもいいですか？』と言いました。」彼女は飛び上がり、私のオフィスでやったようにホワイトボードにドーナツを描き、その後、私たちが環境に与える影響を制限するために外側の円が必要であるのと同様に、食料、水、医療、教育、住居の観点から、地球上のすべての人間に必要な最低限の条件を表す内側の円も必要だと説明しました。「私たちは地球の資源を使ってすべての人のニーズを満たす必要がありますが、地球の限界を超えるほどには使わないようにしたいのです。私たちはこの間のスペースにいたいのです」と彼女はドーナツを指さしながら言いました。「私はすごく早く描いたのですが、彼らが『はい、分かりました、座ってください』と言うと思ったからです。しかし、代わりに彼らは興奮して反応し、これがずっと欠けていた絵だと言いました。そして、それは円ではなくドーナツです。」ローウォースはその図をオックスファムのための議論用の資料としてまとめ、発表しました。すぐに大きな反響がありました。「その瞬間、私は画像の力がショートカットとしての力を持つことに本当に感銘を受けました。そこに含まれているすべての言葉—食料、水、仕事、収入、教育、政治的声、ジェンダー平等、気候変動、海洋酸性化、オゾン層の減少、生物多様性の喪失、化学汚染—をリストにしたら、誰も目を向けないでしょう。しかし、それらを同心円の関係で描くと、人々はこれはパラダイムの変化だと言います。」ジョン・バーガーが彼の1972年の名著『見ることの方法』で書いたように、「見ることは言葉の前に来る。子供は話す前に見て認識する。」ローウォースにとって、図はショートカットですが、それはまた世界観を凝縮したものでもあります。そして、これがその危険性です。なぜなら、それはあなたの世界の見方へのショートカットに過ぎないかもしれず、実際にはあなたにとって重要でないものを隠してしまうかもしれないからです。しかし、それは他の人々にとっては彼らのビジョンにとって根本的なものであるかもしれません。 もし企業が短期的な利益だけを追求しているなら、指数関数的な成長のグラフに満足するかもしれません。しかし、環境を気にかけるのであれば、成長が気候に与える影響を隠すことは、誰が迅速に望む目的地に到達できるかを非常に選択的にすることになります。その結果、別のグループは彼らが求める目標から遠く離れてしまいます。図表は余分なデータを排除するため、手抜きに近いものです。ローワースは、あなたが切り捨てている部分は、あなたの世界観を反映している可能性があると考えています。一人の経済学者にとってのショートカットが、別の経済学者にとっては全く間違った道であるかもしれず、それが人々を彼らが正しい目的地だと信じる場所から遠ざけることになります。「そのショートカットは、あなたを非常に危険な穴に導いているかもしれません。私が好きになった言葉は、数学者ジョージ・ボックスの言葉です：すべてのモデルは間違っているが、いくつかは有用である。」ドーナツは、ローワースが彼女の著書『ドーナツ経済学』で新しい経済的目的地へのショートカットとして提供する7つの新しい図の一つとなりました。彼女は、山を貫通するトンネルを掘るのと同様に、これらのショートカットを作るのは大変な作業だったと認めています。しかし、それは地球と人類が向かっている方向を考えると、緊急の作業です。「21世紀にふさわしい経済学を再構築するためには、私たちはできる限り多くのショートカットを使う必要があります。なぜなら、私たちには時間がほとんどないからです！」 第6章　計算のショートカット | パズル：どれがショートカット？これらの傾斜を転がしたボールは、どれが最も早くゴールに到達するでしょうか？ 宇宙飛行士ジョン・グレンが地球を3回周回している間、彼は宇宙船を地球の大気圏への再突入の準備を始めました。それは1962年2月20日のことで、グレンはアメリカ人として初めて地球を周回したばかりでした。しかし、ミッションが成功と見なされるためには、無事に帰還する必要がありました。彼が選ぶ軌道は非常に重要でした。降下角を間違えると、宇宙船は再突入時に燃え尽きてしまいます。海の遠くに着陸してしまうと、海軍はカプセルが海底に落ちるのを止めるために間に合わなくなります。グレンは、数値を計算した計算機たちの手に自分の命を委ねていました。1962年当時、これらの計算機は機械ではなく、今では映画『隠された数字たち』で不朽の名作となった女性たちのグループでした。映画の中で、グレンは打ち上げ台に座り、発射を開始する前にミッションコントロールに「数字を確認するように彼女に頼んでくれ」と言います。「彼女」とは、NASAが使用していた計算機チームの一員であるキャサリン・ジョンソンのことです。映画では、彼女が数学を計算し、すべてが順調であることを確認するのに25秒かかりますが、実際にはジョンソンの計算は打ち上げの数週間前に行われ、2〜3日かかったと考えられています。それでも、そんな複雑な経路やシナリオの中で、これほど迅速にナビゲートするのは印象的な時間です。 しかし、ジョンソンはNASAやこれまでに宇宙に物体を送ったすべての機関が、自分たちの宇宙船がどこに着地するかを知るためのショートカットを持っていました。それは微積分です。おそらく、数学者たちが発明した中で最も強力なショートカットを見つけるための道具です。彗星に探査機を着陸させることから、惑星のフライバイを行う宇宙船を送ることまで、微積分は宇宙船を正しい方向に導き、目的地に到達させるための道しるべとなります。この数学的ショートカットの力を活用しているのは宇宙産業だけではありません。多くの企業は、コストを最小限に抑えながら生産量を最大化し、製品を生産する最も効率的な方法を見つけたいと考えています。航空宇宙メーカーは、燃料を無駄にしないために、最も抵抗の少ない航空機の翼を作ろうとしています。タンカーは、荒れた海を通る最速のルートを見つける必要があります。ブローカーは、株が最高値に達する瞬間を見極めようとしています。建築家は、周囲の環境の制約を考慮しつつ、空間を最大限に活用できる建物を設計したいと考えています。橋を建設するエンジニアは、構造の安定性を損なうことなく材料を最小限に抑える必要があります。これらすべての職業は、目標を達成するために微積分を必要としています。もし、経済やエネルギー消費、あるいはあなたが興味を持っている何かを表す複雑な方程式があるなら、微積分はその方程式を分析し、関数の出力が最大または最小になる点を見つける方法です。また、これは17世紀の科学者たちに変化する世界を理解する能力を与えた道具でもあります。リンゴが落ち、惑星が軌道を回り、流体が流れ、ガスが渦を巻いていました。科学者たちは、これらの動的なシナリオのスナップショットを取る方法を求めていました。そして、微積分はこのすべての動きをフリーズフレームする方法を提供しました。同時期に活動していた芸術家たちの関心を反映しているのも興味深いことです。バロック画家たちは馬から落ちる兵士を描き、建築家は流れるようなダイナミックな曲線を持つ建物を設計し、彫刻家はアポロの腕の中でダフネが木に変身する瞬間を石に刻みました。17世紀後半に起こった科学革命は、この時代の二人の偉大な数学者、アイザック・ニュートンとゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツの発展に起因しています。この二人の偉大な人物による微積分の発展は、私たちの動的な宇宙をナビゲートするための驚くべきショートカットを提供しました。リチャード・ファインマンはかつて微積分を「神が話す言語」と表現しました。ですから、まだ微積分を学んでいないなら、今がその時です。いくつかの方程式が必要になりますが、それだけの価値があります。変化する宇宙 グレンが地球の周回を終える前から、微積分は彼を宇宙に送り出す手助けをしていました。彼が発射台に座っているとき、宇宙船が地球の重力を克服するために特定の速度、すなわち脱出速度を達成する必要があることを理解していました。 宇宙に向かって推進される宇宙船の速度を、どの瞬間でも知ることは簡単な作業ではありません。状況は常に変化しています。宇宙船は燃料を消費するにつれて質量が減少し、地球から遠ざかるにつれて重力の引力も減少します。また、ジェットの推進力と重力の引力が競い合うため、速度にも影響を与えます。これらはまるで不可能なカクテルのようです。しかし、微積分の真の力は、非常に複雑な変数の範囲を扱い、特定の瞬間に何が起こっているのかを把握できることにあります。そして、そのすべてはリンカンシャーのウールストープ・マナーにあるニュートンの庭で、木から落ちるリンゴから始まりました。ニュートンは、ペストが流行した後、ケンブリッジの大学から家族の元に戻っていました。パンデミックのロックダウン中に生産的な時間を過ごした人もいるでしょう。シェイクスピアは、ロックダウン中にグローブ座が閉鎖されている間に『リア王』を完成させたと言われています。ニュートンが庭に座っているとき、彼はリンゴが木から地面に落ちる間の速度を計算するという課題を理解したいと思っていました。速度は、移動した距離をその距離を移動するのにかかる時間で割ったものです。速度が一定であれば問題ありません。しかし、重力の引力のために速度は常に変化しているため、問題が生じます。ニュートンが行った測定は、彼が測定している期間の平均速度しか示しません。より正確な速度を計算するためには、より小さな時間間隔を取ることができます。しかし、任意の瞬間の正確な速度を得るためには、無限に小さな時間間隔を取る必要があります。最終的には、距離をゼロの時間で割ることになります。しかし、どうやって0で割るのでしょうか？ニュートンの微積分はこれを理解させてくれました。ガリレオは、リンゴがどれだけ落ちたかを計算するための公式をすでに発見していました。t秒後、リンゴは5t²メートル落ちます。ここでの5は、地球上の重力の特定の引力を示しています。月のリンゴの木では、重力が弱いため、この数値は小さくなり、リンゴはより遅く落ちます。そして、グレンの宇宙船は、地球から遠ざかるにつれてこの数値がどのように変化するかを追跡しなければなりません。リンゴを拾って真上に投げてみましょう。私は25 m/sの速度で手から投げます。野球のピッチャーは40 m/s以上の速度を出すことができるので、これは不合理ではありません。投げた後、ボールが手からどれだけ高く上がるかを示す公式は25t - 5t²になります。この公式を使って、ボールが再び手に戻るまでの時間を計算できます。手の上の高さ、25t - 5t²が再び0になる時を知る必要があります。t = 5を式に代入すると、ゼロになります。したがって、リンゴが上昇して再び落ちるまでの総時間は5秒です。しかし、ニュートンが理解したいと思っていたのは、リンゴがその軌道の各点でどれだけ速く移動しているかということでした。 問題は、この速度が常に変化していることです。リンゴが減速し、再び加速するからです。では、3秒後の速度を計算してみましょう。速度は、移動した距離をその距離を移動するのにかかった時間で割ったものです。リンゴが3秒から4秒の間に移動する距離は、[25 x 4 - 5 x 42] - [25 x 3 - 5 x 32] = 20 - 30 = -10メートルです。マイナスの符号は、リンゴが投げた方向とは逆の方向に進んでいることを示しています。すでに下に向かっています。したがって、この期間の平均速度は10 m/sです。しかし、これは1秒間の平均速度に過ぎません。3秒の時点でのリンゴの実際の速度ではありません。もし、もっと小さな時間間隔を取ってみたらどうなるでしょうか？時間間隔をどんどん小さくしていくと、速度は5 m/sにどんどん近づいていくことがわかります。瞬間的な速度は、時間間隔がゼロになるときに捉えられます。これがニュートンが求めていたスナップショットです。ニュートンの分析は、3秒の時点での瞬間的な速度が5 m/sである理由を理解する方法を提供しました。 リンゴの高さと時間の関係を示すグラフでは、リンゴの平均速度は、グラフ上の2点を結ぶ線の傾きとして解釈できます。3秒と4秒の間の平均速度は、グラフ上の3秒と4秒の2点を結ぶ線の傾きです。時間間隔をどんどん小さくしていくと、その線は3秒の時点での点に触れるようになります。ニュートンの微積分が計算するのは、この点で接する線の傾き、すなわち曲線の接線と呼ばれる線です。一般的に、微積分は、時間tにおける速度と傾きが次の式で与えられることを教えてくれます。 25 - 10t ここで説明します。時間tでの速度を計算しようとしています。時間tからt + dまでの小さな間隔でどれだけ移動するかを見てみましょう。 [25(t + d) - 5(t + d)²] - [25t - 5t²] = 25t + 25d - 5t² - 10td - 5d² - 25t + 5t² = 25d - 10td - 5d² さて、時間間隔dで割ってみましょう。 (25d - 10td - 5d²) / d = 25 - 10t - 5d dを非常に小さくすると、速度は 25 - 10t になります。これは、25t - 5t²の方程式の導関数と呼ばれます。この巧妙なアルゴリズムは、時間に対する移動距離の方程式を取り、任意の時点での速度を与える新しい方程式を生成します。このツールキットの力は、リンゴや宇宙船だけに適用されるのではなく、流動的なものを分析する方法を提供することです。もしあなたが製造業者であれば、製品を作るためのコストを知ることが重要です。それによって、利益を生む価格を設定できます。最初の製品を作るコストは、工場の設立や労働者の雇用などのために非常に高くなります。しかし、製品をどんどん作るにつれて、追加の製品ごとの限界コストは変化します。 まず初めに、限界コストは、製品を作る効率がどんどん向上するため、下がります。しかし、生産を無理に押し上げようとすると、コストが再び上昇することがあります。生産量が増えると、残業が発生したり、古くて効率の悪い工場を使ったり、限られた原材料を巡る競争が生じたりします。その結果、追加の単位あたりのコストが増加します。これは、ボールを空中に投げるのに似ています。最初の1秒間はボールが遠くに飛びますが、その後の秒数が経つにつれてボールの速度は落ち、移動距離も短くなります。微積分は、製造業者が生産量の変化に伴う商品のコストの変化を理解し、限界コストを最小にするために生産すべき商品の最適な数量を見つける手助けをします。ニュートンの流動する世界をナビゲートするためのショートカットは、近代科学の始まりを示しています。私はニュートンをガウスと並ぶ偉大なショートカッターの一人として評価しています。実際、私はニュートンがこのインスピレーションを与えたショートカットを思いついたとされるリンゴの木の下に座っていたウールストープ・マナーへの巡礼を行ったこともあります。その木が今でも存在していることに驚きました！私を案内してくれた人は、木からリンゴを2つ取ることを許可してくれ、そのうちの1つの種から私たちの庭にリンゴの木を育てることができました。私はその木の下で多くの時間を過ごし、現在取り組んでいる問題の解決へのショートカットを見つけることを願っています。私と同様に、ガウスもニュートンの業績の大ファンでした。「画期的な数学者は、アルキメデス、ニュートン、そしてアイゼンシュタインの3人だけだ」と彼は書いています。最後の名前は誤植ではなく、アイゼンシュタインはまだ生まれていませんでした。ゴットホルト・アイゼンシュタインは若いプロイセンの数論者で、ガウスが解けなかったいくつかの問題を解決したことで彼を感心させました。ガウスは、リンゴがニュートンの発見の鍵であるという話には懐疑的でした。「リンゴの歴史はあまりにも馬鹿げている。リンゴが落ちたかどうかにかかわらず、そんな発見がそのように促進されたり遅れたりすることを誰が信じられるだろうか？間違いなく、出来事はこのようなものであった。ニュートンのところに、愚かでしつこい男がやってきて、彼がどのようにして偉大な発見をしたのかを尋ねる。ニュートンは、相手がどれほどの愚か者であるかを納得させ、彼を追い払おうとしたとき、リンゴが彼の鼻に落ちたと言った。そしてこれがその男にとっては非常に明確なこととなり、彼は満足して去っていった。」確かに、ニュートンは自分のアイデアを広めることにはあまり興味がありませんでした。ニュートンにとって、微積分は解決策を最適化するための道具というよりも、彼が1687年に発表した偉大な論文『プリンキピア・マテマティカ』に記録された科学的結論に達するための個人的なツールでした。彼は、自身の微積分がその中に含まれる科学的発見の鍵であると書いています。「この新しい解析の助けを借りて、ニュートン氏はプリンキピアのほとんどの命題を発見しました。」 彼は自分のことを第三者の視点から、やや大げさに言及するのが好きだった。しかし、「新しい分析」に関する報告は発表されなかった。代わりに、彼は友人たちの間でそのアイデアを私的に広めたが、彼が他の人々に評価されるために公表したいと思うようなアイデアではなかった。このアイデアを正式に発表しないという決断は、後に厄介な結果を招くことになった。なぜなら、ニュートンの発見から数年後、別の数学者であるゴットフリート・ライプニッツも微積分の数学を考案したからだ。そして、彼のアプローチはこのツールの最適化の力を際立たせた。 ニュートンが周囲の変動する物理世界を理解するために微積分を必要としたのに対し、ライプニッツはより数学的かつ哲学的な視点からそのアイデアにアプローチした。彼は論理と言語に魅了され、さまざまな事象が変化する状態を捉えることに動機づけられていた。ライプニッツは大きな野望を抱いていた。彼は世界に対して非常に合理主義的なアプローチを信じていた。もしすべてが数学的な言語に還元され、すべてが明確に表現されるならば、人間の争いを終わらせる希望があると考えた。「私たちの推論を正す唯一の方法は、数学者たちのようにそれを具体的にすることです。そうすれば、私たちは一目で誤りを見つけられ、もし人々の間に争いがあれば、ただ計算しましょうと言えるのです。」 彼の普遍的な問題解決言語の夢は実現しなかったが、ライプニッツは変化する事象を捉えるための独自の言語を作り上げることに成功した。彼の新しい理論の中心には、アルゴリズム、つまり広範な未解決問題を解決するために実行できるコンピュータプログラムや機械的なルールのセットがある。ライプニッツは自分の発明に非常に満足していた。「私が微積分で最も愛しているのは、これが私たちに古代の人々に対して、ユークリッドやアポロニウスの幾何学においてヴィエトやデカルトが与えてくれたのと同じ利点をもたらすことです。想像力を使わずに済むようにしてくれるのです。」デカルトの座標のアイデアが幾何学を数値に変換したのと同様に、ライプニッツの微積分は変化の世界を把握し、固定するための新しい言語を提供した。 ニュートンとライプニッツが今日教えられている強力な主題としての微積分の大きな突破口を開いたとされる一方で、ピエール・ド・フェルマは、最終定理で知られる彼が、微積分が問題の最適解への近道を見つけることができることを認識した。フェルマは次のような課題を解決する方法を見つけようとした。ある王が信頼できる顧問に海辺の土地を約束した。王は顧問に10キロメートルのフェンスを与え、そのフェンスで海に面した長方形の土地を囲むように指示した。顧問は当然、土地の面積を最大化したいと考えている。彼はフェンスをどのように配置すべきだろうか。 本質的に、彼が変えられる変数は一つだけで、それは海に対して垂直な長方形の一辺の長さ、すなわちxと呼ぶことにします。xが大きくなるにつれて、彼が確保できる海岸沿いの長さは小さくなります。では、周囲の土地の面積を最大にするために、これら二つの長さのバランスはどのようになるべきでしょうか。最初の直感としては、二つの長さをバランスさせて正方形の形にすることかもしれません。物事をできるだけ対称にすることは、解決策への近道を見つけるための良い戦略であることが多いです。例えば、泡は対称的な球体を選び、内部の空気を囲むために最も少ない表面積を使用します。しかし、私たちの信頼できるアドバイザーにとって、正方形の対称性が正しい答えなのでしょうか？x、すなわち変化する辺の長さに依存する土地の面積には非常にシンプルな公式があります。海岸の長さは10 - 2xであるため、面積Aはx × (10 - 2x) = 10x - 2x²となります。この面積を最大にするxの値は何でしょうか？一つの戦略は、いくつかの値を試してみて、面積が最大になるxの感覚をつかむことです。しかし、それはこの問題への長い道のりです。フェルマーは、もっと簡単な方法があることに気づきました。彼が見つけた近道は、面積の方程式を図に変えることでした。各xの値に対する高さが土地の面積になるグラフを描きます。これにより、方程式10x - 2x²のグラフが得られます。近道を見つけることで、図を描く手間を省くことができますが、時には近道を見つけるために最初に迂回する必要があります。グラフの形は、x = 0のときに面積がゼロから始まり、ピークに達した後、x = 5のときに再びゼロになる曲線です。そのピークがどこにあるかを見つけることが重要です。そこが面積が最大になる点です。そのピークを生み出すxの値は何でしょうか？ グラフの横に水平線を引いてみましょう。一般的には、グラフを二点で切ることになりますが、ピークのところだけは、水平線がグラフの上に乗り、一点で接触します。これが私たちが求めている点、すなわち面積が最大になるグラフの頂点です。フェルマーは、この点をグラフを描かずに特定する戦略を見つけました。それによれば、x = 2.5に設定することで土地の面積を最適化できることが明らかになりました。この地域は、短い辺の2倍の長さを持つ長方形であり、正方形ではありません。もし少し勇気を出して代数を使う気があるなら、フェルマーのアイデアの詳細は以下の通りです。x = aと設定しましょう。すると、この点を通る水平線は、グラフの反対側でx = bの点に当たります。この点の高さは、x = aの高さと同じです。したがって、次の式が成り立ちます：10a - 2a² = 10b - 2b²。これを簡略化するために代数的なトリックを使うことができます。平方項を一方の側に移動させると、2a² - 2b²となります。 = 10a - 10b しかし、平方のある側を因数分解できます： 2 (a - b) (a + b) = 10 (a - b) そして、両辺の項をキャンセルすると、 フェルマーは、aとbが実際に等しくなる瞬間に興味を持っています。なぜなら、それが曲線の頂点だからです。それはb = aとなる点です。この式に代入すると、グラフが最大になる点はaが2.5のときです。これは、土地の面積を最大化するための長方形の一辺の長さです。実際、私たちは2.5×5の長方形を得ます。 上記の計算には、a - bで割るという興味深い瞬間があります。それは、a = bの場合を除いて問題ありませんが、その場合は0で割ることになり、それは許されません。しかし、待ってください。フェルマーは実際にa = bになる場所を見つけたかったのではないでしょうか？それでは、全体が無効になってしまうのでしょうか？ これが微積分のポイントです。微積分は、ゼロで割る方法を理解させてくれます。ここには計算がありましたが、微積分はどこにあったのでしょうか？微積分は、曲線上の各点に接する直線の傾きを提供します。フェルマーは、接線が水平になる点を最大面積として特定しました。これは、傾きまたは導関数がゼロになる点です。微積分を使用して方程式の出力の最適解を見つけるための戦略は、方程式の導関数がゼロになる点を見つけることです。土地の面積を表す曲線は、ニュートンがリンゴの高さを追跡するために描いたものに驚くほど似ています。土地の面積の方程式10x - 2xと、私の手からリンゴまでの距離の方程式25t - 5t²は、本質的に同じ方程式です。第二の方程式は、単に最初の方程式を2.5倍したものです。これは数学の偉大なショートカットの一つです：同じ方程式が多くの異なるシナリオをカバーできるのです。リンゴの場合、この最大点は速度がゼロになり、リンゴが逆方向に動き始める瞬間です。しかし、この種の方程式は、エネルギー消費、建材の量、目的地までの時間など、他の多くのことを表すこともあります。これらの異なる量を最大化または最小化する最良の方法を見つけるツールを持つことは、革命的でした。もしその公式が、あなたの会社が変える可能性のあるさまざまな要素に依存する企業の利益であるなら、利益を最大化するためにこれらの変数入力の値を設定する方法を教えてくれるツールが欲しくない人がいるでしょうか？微積分は最大の利益を得るためのショートカットです。 数学的な足場 微積分は主に、時間の経過とともに変化する世界を分析するために作られましたが、時間外の変化を分析するのにも優れています。特に、微積分は建物の設計方法を検討し、エネルギー効率、音響品質、建設コストを最適化しながら、時の試練に耐える構造を作るバージョンを見つけるための非常に強力なツールとなっています。 私がロンドンに住んでいる場所からそれほど遠くないところに、1710年に完成した建物が今も堂々と立っています。それがセント・ポール大聖堂です。この建物には特別な思い入れがあります。なぜなら、私が学部生として通ったオックスフォードの同じカレッジで学んだ数学者によって設計されたからです。イギリスの著名な建築家の一人となる前、クリストファー・レンはワダム・カレッジで数学を学びました。学生時代、彼は国中の偉大な建物を建てるためのショートカットを見つけるためのさまざまな技術を身につけました。彼の最初の偉大な業績の一つがオックスフォードのシェルドニアン・シアターで、ここで私たちは学生に学位を授与します。この建物の美しさは、支柱なしで巨大な屋根を持っていることです。これは、親たちが愛する人の学位授与を見られるためではなく、主にダンスのためにその空間が使われるからだそうです。レンがこの目に見えない支えで支えられた屋根の広がりを実現した方法は、上と下に横たわる梁の格子構造を使うことでした。これにより、荷重は周囲の壁に座る端の梁に移されます。しかし、機能する配置を見つけるために、レンは25の同時線形方程式を解く必要に直面しました。数学者としての訓練を受けていたにもかかわらず、彼はこの問題に少し手をこまねいてしまい、ジョン・ウォリスというサヴィリアン幾何学教授に助けを求めることになりました。助けを求めることは、しばしば重要なショートカットなのです！しかし、セント・ポール大聖堂のドームを建設する際には、レンの数学が真に発揮されることになります。外から大聖堂に近づくと見えるドームは球形です。球体は、遠くから見ると特に魅力的な美しさと完璧さを持っています。この形は、教会が宇宙の形を表すという考えにもつながっています。しかし、建物に関して言えば、球体には致命的な欠陥があります。それは、自立する形ではないということです。実際、球体は自分自身を支えるには浅すぎて、ドームの頂点は大聖堂の中心に崩れ落ちてしまいます。したがって、セント・ポール大聖堂は一つのドームだけでなく、三つの異なるドームから成り立っています。大聖堂の内部で見るドームは、実際には外側のドームの内部ではありません。それは、後にライプニッツ（他の数学者たちとともに）によって微積分を用いて明確に特定された新しい曲線、カテナリーから成る第二のドームです。この形は、両端から吊るされたときの鎖が作る形です。山の上で転がるボールが最低エネルギーの点を見つけるように、鎖もまた自らの持つポテンシャルエネルギーを最小化します。自然はこうした低エネルギー状態を見つけるのが得意です。しかし、レンのような建築家にとって重要な点は、この低エネルギーの解が逆さまにされると、自らの重さを支え、支えなしで立つことができる形になるということです。 この曲線の形はどのようなものなのでしょうか？ライプニッツができたことは、曲線の形を変化させ、それぞれの曲線に含まれるポテンシャルエネルギーの方程式を導き出すことでした。彼は微積分を使って、最もエネルギーが少ない曲線を特定することができました。この形が、鎖が吊るされる形となるのです。一度形が特定されると、その後の世代の建築家たちは、物理的な鎖を空間に吊るすことなく、独立したドームを作ることができるようになりました。特にレンはカテナリーの形をしたドームを好みました。なぜなら、上を見上げると強制的な遠近感が生まれ、実際よりも高く感じられるからです。数学を使って光学的な錯覚を生み出すことは、バロック時代の建築の大きなテーマでした。しかし、外部のドームが大聖堂に崩れ落ちて美しい内側のドームを壊さないようにするための問題が残っていました。これが、目に見える二つのドームの間に隠された三つ目のドームが存在する理由です。最近、セント・ポール大聖堂を訪れた際に、二つのドームの内部に入り、外側の球形ドームを支える役割を果たしている三つ目のドームを見る機会がありました。この隠された三つ目のドームは、再びカテナリー曲線を利用して、外側のドームの頂上にあるクーポラを支えるために必要な形を決定しています。鎖に重りを吊るすと、鎖が下に引っ張られます。この新しい形の最小エネルギーを数学的に記述するために再び微積分が使われます。しかし、巧妙なのは、この新しい形を逆さまにすると、このアーチはアーチの上に置かれた重さを支えることができるということです。これは、鎖を引っ張るために使った重さと同等の重さです。これが、外から見える球形ドームの頂部を支える内側のドームの形をレンが導き出した方法です。これらの重りを使った鎖を用いてドームを建設する驚くべき方法は、バルセロナのサグラダ・ファミリア大聖堂の地下に行くと見つけることができます。アントニ・ガウディは、未完成の礼拝堂の屋根の設計にこの原理を利用しました。彼は、カテナリー曲線を描く糸の網に大量の砂袋を吊るし、支える必要のある構造の荷重を表現しました。これらの糸が作る形を逆さまにすると、崩れずに建設できる屋根の形が得られました。砂袋を追加したり移動させたりすることで、ガウディは求めていた礼拝堂の屋根の形を作り出し、それを建設しようとしても崩れない自信を持つことができました。しかし、これらの曲線の数学的な記述を作成し、それを製造業者に渡すためには、微積分のショートカットが必要です。今日の建築家たちは、手で操作された鎖や砂袋を、コンピュータで操作される微積分や方程式に置き換え、私たちの都市のスカイラインを飾る曲線的な建物を創り出しています。 しかし、微積分が助けるのは大聖堂や高層ビルだけではありません。ライプニッツの最適な特性を持つ曲線を見つける成功の一つは、ジェットコースターに最適な曲線を発見したことです！ジェットコースター 私はジェットコースターが大好きです。それは単なるスリルのためだけではありません。私のような数学好きな人間にとっては、限界を押し広げながらも車両をレールにしっかりと固定するために使われた幾何学や微積分のすべてが詰まった興奮です。ヨーロッパには、私の数学的な血を最も高鳴らせるジェットコースターがあります。それは、ブラックプールにあるグランドナショナルというジェットコースターです。このコースを走ると、微積分の力だけでなく、数学者の好奇心のキャビネットにある最もエキサイティングな形状の一つ、メビウスの帯を体験しているのです。乗り物の名前が示すように、グランドナショナルは二つの列車のレースです。乗り物の頂上でキャリッジに乗り込むと、二つの平行なレールがあるように見えます。ライダーは、レールが曲がりくねる中で互いに触れ合うことができます。レールは有名な競馬の跳躍にちなんだ特徴を通り抜けます。しかし、列車がゴールに向けて最後のダッシュをする際、奇妙なことが起こります。列車は出発した駅とは反対の駅に到着するのです。非常に興味深いですね。レールは決して交わることなく交差します。設計者たちは一体どうやってこの偉業を成し遂げたのでしょうか？その効果は、悪名高いベッシャーズブルックのジャンプで実現されます。ここでは、一つのレールがもう一つの上を走ります。その時点からレールは側を入れ替え、乗り物の終わりには列車が反対の駅に到着します。そして、このベッシャーズブルックでの単純なひねりがメビウスの帯の鍵であり、このレールのデザインを支える美しい数学的形状なのです。自分自身のメビウスの帯を作るには、幅約2センチの長い紙の帯を用意します。次に、両端をループに結びますが、その前に一方の端を180度ひねります。グランドナショナルの二つのレールの間に紙が走っていると想像すると、ベッシャーズブルックではレールが互いに上下する際に紙が180度ひねられ、乗り物の始まりのレールに結合されます。メビウスの帯には非常に興味深い特性があります。この形状にはエッジが一つしかありません。帯のエッジに指を置いてそれを辿ってみてください。どのエッジの他の点にも到達できることがわかります。これは、ブラックプールのジェットコースターが実際には二つの平行なレールではなく、一つの連続したレールであることを意味します。しかし、ブラックプールのようなジェットコースターが本当に求めているのはスピードです！最速のジェットコースターを求めるなら、微積分が役立つことがわかります。実際、これは章の冒頭で私が設定した課題です：垂直平面上の二つの点AとBが与えられたとき、重力のみに作用される点がAから出発してBに最短時間で到達する際に描かれる曲線は何でしょうか？ この問題は、テーマパークの創設者によってではなく、1696年にスイスの数学者ヨハン・ベルヌーイによって初めて提起されました。彼は当時の二人の偉大な頭脳、友人のライプニッツとロンドンの敵であるニュートンに挑戦としてこの問題を選びました。「私は、ヨハン・ベルヌーイ、世界で最も優れた数学者たちに呼びかけます。知的な人々にとって、誠実で挑戦的な問題ほど魅力的なものはありません。その解決策が名声をもたらし、永遠の記念碑として残るからです。パスカルやフェルマーの例に倣い、私は現代の最高の数学者たちに、彼らの方法と知性の強さを試す問題を提示することで、科学界全体の感謝を得ることを望んでいます。もし誰かが提案された問題の解決策を私に伝えてくれたら、私は公にその人を称賛に値すると宣言します。」 その挑戦は、ボールを頂点Aから底点Bまで最も速く運ぶためのランプを設計することでした。直線のランプが最も速いと思うかもしれません。または、空中に投げられたボールがたどるような逆向きの曲線パラボラかもしれません。しかし、実際にはどちらでもありません。最も速い経路は、サイクロイドと呼ばれる形状であり、これは動いている自転車の車輪の縁にある点が描く軌跡です。 この曲線を逆さにすると、AからBに到達する最も速い方法になります。この曲線はしばしば目的地のレベルを下回り、速度を増し、その後、他の曲線がボールを届ける前に最後の登りで目的地に到達するためにその速度を利用します。微積分は、変数が特定の制約の範囲内で変化する際に最小値と最大値の解を見つけることができるため、AからBへの無限に多くの曲線が存在しても問題ありません。方程式は常に最速の経路を見つけることを可能にします。 ニュートンとライプニッツは、この驚くべき最適解を見つけるためのショートカットを誰が発見したのかを巡って激しい争いに発展しました。数年にわたる不和と非難の後、1712年にロンドンの王立協会が対立する主張を仲裁するよう求められました。ニュートンのフラクション法（そのように知られていた）は最初に発見されたのか、ライプニッツは微分法の発明によって彼のアイデアを盗用したのか？2年後、王立協会は公式にニュートンに微積分の最初の発見を認め、ライプニッツが最初に出版したことを認めつつも、彼を盗用の罪で非難しました。しかし、王立協会の報告書はおそらく最も公正ではありませんでした。実際には、その報告書は会長であるアイザック・ニュートンによって書かれたものです。ライプニッツは非常に傷つき、ニュートンを尊敬していたため、彼は本当に立ち直ることができませんでした。皮肉なことに、最終的に勝利を収めたのはニュートンの考えではなく、ライプニッツの微積分の説明だったのです。 ライプニッツの微積分の発展に関する考え方は、ニュートンのそれと多くの共通点がありましたが、大きな違いもありました。ライプニッツは、より言語的かつ数学的な視点から微積分にアプローチしていました。彼は、落ちるリンゴの速度を時間とともに捉えることには関心がなく、もっと一般的な状況を考えていました。もし何かの挙動が複数の要因に依存している場合、彼の微積分は、その挙動が依存する要素を変えたときにどのように変化するかを研究するために設計されていました。一方、ニュートンは本質的には物理学者でした。彼は物理的世界を説明するという目標によって制約を受けていたかもしれません。ライプニッツが導入した言語と記法は、はるかに柔軟で、さまざまな状況に対応できるものでした。そして、ライプニッツの記法は時代を超えて評価されています。学校や大学で教えられているdy/dxはライプニッツの記法です。また、細長いSのように見える積分記号は、1686年にライプニッツの論文で初めて描かれました。ニュートンは、変化率を測定しようとする量の上に小さな点を置くシステムを持っていましたが、その点では時間に対する変化を測定しているのか、位置や温度などの他の量に対する変化を測定しているのかを区別することができませんでした。実を言うと、ライプニッツもニュートンも微積分の発展の全過程を始めたばかりでした。両者の論文や分析には多くの改善の余地がありました。微積分をしっかりとした論理的基盤の上に置くのは次の世代の仕事でした。しかし、次の世代の進展が、ニュートンとライプニッツの両者が成し遂げた突破口によって可能になったことは否定できません。ニュートンがかつて有名な言葉で言ったように、「私がさらに遠くを見たのは、巨人たちの肩の上に立っていたからに過ぎない」のです。 犬は微積分をするのか？しかし、もしかすると、ニュートンとライプニッツは、別の競争相手によって微積分の発見を先に奪われたのかもしれません。動物界は、人間が微積分のショートカットを考え出すずっと前から、最適解に到達する方法を知っていたという証拠があります。さて、信頼できるアドバイザーが、微積分を使って可能な限り最大の土地を確保した後、ビーチでリラックスしているところに戻りましょう。彼は突然、海で溺れている泳者を見つけます。彼はビーチにいるライフガードに向かって、泳者を救助するよう叫びます。「ライフガードが溺れている泳者に最も早く到達するための最短経路は何でしょうか？ライフガードが泳ぐ速度の2倍で走れると仮定した場合、彼女はどこから水に入るべきでしょうか？もしライフガードが移動距離を最小限にしようとしているなら、彼女は出発点と到着点を結ぶ直線を描くだけで済みます。しかし、ライフガードは海の中では陸上よりも遅いため、海での時間を短縮する経路を選びたいと考えています。しかし、もし彼女が海での時間を最小化する点を選ぶと、問題が生じます。それは、ビーチを横断する距離が長くなり、結果的に総時間が増加してしまう可能性があるのです。 最適な経路は、ライフガードが中心の右側に向かうようですが、スイマーから陸に向かう線と垂直になる点までは行かないようです。しかし、溺れているスイマーを救うための真の近道を見つけるには、水に入る最適な場所はどこでしょうか？これはフェルマーが考えた別の問題でした。再び最適化の問題です：スイマーを救うための最速の経路を見つけることです。フェルマーはこの問題を、ライフガードが最速の経路を見つけるという観点ではなく、光の束が通る経路を見つけるという挑戦として捉えました。あなたもプールで、棒を水に入れると突然曲がって見えるという奇妙な錯覚を経験したことがあるかもしれません。それは棒ではなく、棒からあなたの目に向かって進む光が曲がっているのです。第4章で説明したように、光は近道を好みます。光は棒からあなたの目までの最速の経路を見つけようとします。しかし、光は空気中よりも水中では遅く進みます。したがって、ライフガードと同様に、光も水中にいる時間をできるだけ短くしつつ、空気中にいる時間が長くなりすぎないようにバランスを取ろうとします。この同じ説明は、砂漠での蜃気楼を見るという奇妙な体験にも重要です。空の一部からの光は、地面近くの暖かい空気を通る近道を利用して、あなたの目に戻る前に上昇し、砂漠に水のように見える空を作り出します。アドバイザーがフェンスを使ったように、ライフガードも海にxメートルの距離から入ることに基づいて、スイマーに到達するのにかかる時間の方程式を考え出す必要があります。そして、微積分の道具を使うことで、最も短い時間を実現するxの値を見つけることができます。しかし、もしペンと紙が手元にない場合はどうでしょう？もし代数や微積分を発明していなかったら？直感や感覚だけに頼っていたら？もしあなたが犬だったら？犬は水に入る最適な場所を判断するのがどれほど得意なのでしょうか？当時ミシガン州のホープカレッジの数学教授であり、犬の飼い主でもあったティム・ペニングスは、彼の犬がこの微積分の問題を解くのが得意かどうかを確かめるために実験をすることにしました。多くの犬と同様に、彼のウェールズ・コーギーのエルビスもボールを追いかけるのが大好きでした。そこでペニングスは、溺れているスイマーを救うという挑戦の代わりに、エルビスと湖の散歩をする際にミシガン湖にボールを投げ入れ、エルビスがボールを取りに行くために選ぶ経路を観察することにしました。もちろん、エルビスの主な目的がボールを取りに行く際に消費するエネルギーを最小限に抑えることであれば、水中の時間を最小限にし、岸に対して水中での経路が垂直になる点まで走るのが賢い解決策かもしれません。しかし、ペニングスはボールが手を離れた瞬間のエルビスの目の輝きと高まる興奮から、ボールをできるだけ早く取りに行くことが目標になるだろうと感じていました。 彼の実験は、エルビスが微積分を直感的に理解しているかどうかを探るためのもので、舞台は整いました。ミシガン湖の波が穏やかで、ボールが水に着水した後にあまり動かない日、彼はエルビスと共に出発しました。友人の助けを借りて、ペニングスはボールを水に投げ入れ、その後エルビスを追いかけました。エルビスが水に入った地点にドライバーを地面に打ち込み、水際を走りながら、エルビスがボールを取り戻すまでに泳いだ距離をメジャーで測定しました。エルビスが明らかに最適ではないルートで直接水に飛び込むといういくつかの失敗もありましたが、ペニングスはこれらのデータポイントを分析から削除することにしました。「優等生でも悪い日があるからね」と彼は言いました。しかし、最終的にはエルビスの挑戦に対する解決策として、35のデータポイントを集めることに成功しました。では、エルビスの結果はどうだったのでしょうか？驚くべきことに、ほとんどの場合、エルビスは最適な入水地点にかなり近い位置にいました。実験に存在する明らかな変数は、エルビスの近似を説明するのに十分でした。つまり、エルビスは微積分のショートカットを知っているということなのでしょうか？もちろん、そんなことはありません。しかし、脳が正式な数学的言語の力を借りずにこれらのショートカットを見つけるように進化してきたことは驚くべきことです。自然は解決策を最適化できる者を好むため、直感的にこれらの課題を解決できる脳を持つ動物は、間違った解決策を選ぶ動物よりも生存する可能性が高いのです。しかし、直感的な脳が推定できることには限界があります。だからこそ、ケープカナベラルの発射台に座っていたジョン・グレンは、直感に頼るのではなく、私たちが開発した高度なツールである微積分を使って、帰路の最適な経路を計算してほしいと考えたのです。 時には、動物たちはエルビスが挑戦された問題を解決するためにチームワークを使うこともあります。ライフガードの問題に似た課題に直面したアリのコロニーが、エルビスと同じように最適な経路を見つけることができるという証拠もあります。この場合、ボールは食べ物に置き換えられました。ドイツ、フランス、中国の研究チームによって行われた火アリを使った実験では、アリたちは巣のために食べ物を取り戻すために、二つの異なる領域で最適な経路を見つけました。ここでは、多くのアリがさまざまなルートを試す機会があります。アリたちは他のアリが追従できるようにフェロモントレイルを作ります。より多くのアリが最適な解決策に集中するにつれて、その経路のフェロモントレイルは強化されます。アリたちは、光が最適な経路を見つけると考えられている方法に似たことを実際に行っています。一つの光子はどうやって最適な経路を見つけるのでしょうか？量子物理学は、光子が重ね合わせの状態に入り、すべての経路を同時に試み、観測されると最適な経路に収束すると主張しています。アリたちは、最良の経路を見つける前に、多くのアリを使ってすべてを試すという類似の戦略を用いています。自然は最適な解決策を見つけるのが非常に得意です。光は目的地への最短経路を見つけます。 現代物理学において、重力は物質が時空の幾何学を通って落下し、その幾何学を最も早く移動する経路を見つけるものとして解釈されています。ウィリアム・レンは、吊るされたチェーンを使って安定したドームを作る問題を解決しました。気泡は球形であり、その形状が最小限のエネルギーを利用することを活かしています。最近では、フライ・オットーが1972年のミュンヘンオリンピックスタジアムの設計に石鹸の膜を使用しました。スタジアムを覆う奇妙な波打つ天蓋は、オットーが金属フレーム上に石鹸の泡が形成される様子を分析したおかげで、構造的に安定しています。この自然の奇妙な特性、すなわち低エネルギーの最適解に向かう性質は、18世紀前半にピエール・ルイ・モーパルティスによって最小作用の原理として数学的に表現されました。モーパルティスが説明したように、この数学は「自然はすべての行動において倹約的である」という教義に翻訳されます。なぜ自然がこれほどまでに倹約的であるのかは、いまだに謎のままです。しかし、時には犬やアリ、あるいは石鹸の膜が私たちの求める答えを見つける手助けをしてくれるわけではありません。その代わりに、ニュートンとライプニッツが創り出したこの素晴らしい道具に目を向けることができます。微積分は、私たちが直面する課題に対する最適解への最も驚くべき近道であり続けています。究極の近道を求めるガウス自身が微積分について観察したように、「このような概念は、さもなければ孤立している無数の問題を有機的な全体として結びつけ、個別に解決するためには多かれ少なかれ発明的な才能の応用を必要とする」と述べています。 微積分は私たちの最も偉大な近道の一つですが、この道具を使いこなすにはある程度の専門知識が必要です。多くの人が微積分の集中講座を受けることに興味を持たないとしても、最適解を見つけるためのこの技術が存在することを知っておく価値はあります。多くの近道は、潜在的に難しい地形をナビゲートするための技術的なガイドを必要とします。したがって、変数を変えることができ、その最適な設定を知りたい場合は、微積分の専門家に連絡することが最良の近道かもしれません。ニュートンが認識したように、巨人の肩に立つことは常に賢い近道です。そして時には、その技術的なガイドが地元の数学者ではなく、自然であることもあります。自然がすでにあなたの問題に対する最適解に到達しているかどうかを探る価値は常にあります。石鹸の膜が工学的な問題に対する低エネルギーの解決策を示しているかもしれません。光の道が近道の方向を指し示しているかもしれません。または、アリのコロニーを追うことで、あまりにも多くの選択肢を試す手間を省くことができるかもしれません。 数学の重要な教訓の一つは、アルゴリズムの力が努力を短縮することです。各問題をケースバイケースで扱うのではなく、アルゴリズムはすべての問題を統一するものを結晶化し、誰でも適用できるレシピを提示します。微積分はそのようなアルゴリズムの一つです。 あなたの方程式が利益率、宇宙船の速度、またはエネルギー消費を説明しているかどうかは関係ありません。微積分は、各シナリオに最適な解決策を見つけるために設定できるアルゴリズムです。私は、アルゴリズムがアート制作にも役立つかもしれないことに驚きました。このことを、ロンドンのサーペンタイン・ギャラリーのキュレーターであるハンス・ウルリッヒ・オブリストとの最近の会話で学びました。私は、真っ白なキャンバスに対して常に恐怖を抱いていたので、ショートカットがあれば自分の創造的なアイデアを現実のものにする手助けになるのではないかと興味を持ちました。 オブリストのアイデアは、アート市場におけるグローバリゼーションの課題から生まれました。彼のキャリアの初め、アートの世界はまだ西洋に偏っていました。展覧会はケルンやニューヨークに巡回し、ロンドンやチューリッヒに寄り道することもありました。しかし、世界中にアートギャラリーが開かれる中で、オブリストは南アメリカやアジアのスペースに新しい展覧会をどうやって持ち込むかという課題を解決したいと考えました。大規模な展覧会をすべてのスペースに持ち込むのは、物流的に困難になります。そこで、オブリストはアーティストのクリスチャン・ボルタンスキーとベルtrand・ラヴィエと協力し、これを克服する方法を考案しました。それが「do it」という展覧会です。これは、誰かが自分のいる場所でアートを制作するための指示や「レシピ」を作成することを含んでいます。中国、メキシコ、オーストラリアにいる人々も含まれます。オブリストにとって、do itはグローバリゼーションの課題に対するショートカットでした。物質的な作品を大きな箱で運ぶことにこだわる必要はありません。どこでも実現できる指示を作成し、同時に時間枠を持つことができます。生成的な展覧会、アートのアルゴリズム。指示がショートカットになります。 これらのdo itの指示は、オペラや交響曲の形で無数の実現を経て他者によって実行され解釈される音楽スコアに似ています。指示によるアートのアイデアは新しいものではありません。それは、1919年にアルゼンチンから妹のスザンヌとジャン・クロッティに結婚祝いを作るための指示を送ったマルセル・デュシャンの作品に起源を持っています。奇妙な名前の結婚祝い「不幸なレディメイド」を作るために、カップルはバルコニーに幾何学の教科書を吊るすように指示され、風が「本を通り抜けて自分の問題を選ぶ」ことができるようにしました。指示によるアートは1960年代後半に爆発的に広まり、ジョン・ケージやヨーコ・オノの作品によって推進されました。しかし、オブリストは指示が単なる興味深い概念的アイデア以上のものであり、グローバルなアート界の物流上の問題を回避するための本物のショートカットになり得ることを認識しました。 do itの興味深い副産物の一つは、アート制作に挑戦することに恐れを抱いている人々を力づけたことです。彼と私はヨーロッパのコロナウイルスのロックダウン中に話をし、オブリストがこの困難なグローバルな時期においてdo itの指示が果たす新しい役割に興奮していることを知りました。「ショートカットはスポンジのようになったのです。」 どこに行っても、新しい指示を学び取り入れることができました。そうして、それは成長するアーカイブとなりました。私たちは中国版や中東版を目にし始めました。そして、ここ数ヶ月の間に、中国から、次にイタリア、そしてスペインから、次々とメッセージを受け取るようになりました。すべてのロックダウンが始まるにつれて、人々は棚から「やってみよう」本を取り出し、家でアーティストの指示を実現し始めたのです。私自身の経験からも、近道は長い旅の後にしか現れないことが多いと感じています。オブリストにとっても同様です。「アートでは、しばしば迂回が必要ですし、展覧会でも迂回が必要です。しかし、迂回はある意味で近道とは逆のものです。かつてデイヴィッド・ホックニーと話した際、彼は絵を描くためにはまず小説を書いたり、映画を作ったり、遠近法に関する科学的な論文を書いたり、iPadで絵を描いたりする必要があると言っていました。それは常に彼を絵画に戻らせるのですが、まるで彼がこれらの迂回を必要としているかのようです。」 オブリストが「やってみよう」プロジェクトを始めたとき、彼は人々が試すための12の指示が載った小さな冊子から始めました。しかし、次第にこのアイデアは独自の生命を持ち始め、ますます多くのアーティストがこの取り組みに応じるようになりました。「プロジェクトは非常に単純に思えましたが、実際には私の最も複雑なプロジェクトとなり、多くの側道や迂回が生まれました。それは一種の学習システムになりました。私はそれが本当に魅力的だと思いました。なぜなら、私は「やってみよう」が極端な近道だと考えていたからです。基本的には、通常のルートよりも直接的なルートを取るというアイデアです。指示を通じて、アーティストからそれを実現する人へ直接つながります。その間に誰もいません。あなたはただ実行すればいいのです。もっと早くできるし、より即効的な結果を得られます。しかし、このプロジェクトは私の最も長いプロジェクトとなりました。27年間続いているのです。だからその意味では、近道が最大の迂回になったという奇妙な逆説があります。」 オブリストにとって、これらの指示は少しポジティブなウイルスのようなものです。ウイルスが効果的に広がるのは、その中心に自己複製のための指示を含む短いRNAがあるからです。興味深いことに、ウイルスが利用する近道の一つは、対称性という数学的概念です。ウイルスはしばしば対称的なサイコロのように組み立てられます。これには、形の異なる部分で同じ指示が使われるという利点があり、異なる部分に対して特別な指示を必要としません。しかし、対称性はまた、別のアーティストが彼の作品を作る際に利用した近道でもあります。コナード・ショークロスは、アートと科学のインターフェースを探求することを愛する彫刻家です。彼の作品は世界的に認められ、2013年には名門ロイヤル・アカデミー・オブ・アーツのアカデミー会員に選ばれました。 ショークロスのスタジオは、私の家から自転車で短い距離にあるため、彼が国際的に認められたアーティストになるためにどのようなショートカットを使ったのかを知りたくなり、会うことにしました。彼は、ショートカットを野心的な成果を管理可能にする方法だと考えていると語りました。「何かを達成するためには、非常に効率的で賢くプロセスを進める必要があります。それがなければ不可能なことです。複雑さを生み出すために、テンプレートやジグ、繰り返し使えるパーツを作ることが重要です。」 ショークロスは、作品においてルールに基づくアーティストからしばしばインスピレーションを受けています。彼は、レンガを繰り返し使う要素としたカール・アンドレの作品や、モネの作品に感銘を受けています。モネは、同じ時間に同じ睡蓮の葉に戻って、徐々に変化する様子を描いていました。ショークロスにとって、彼の初期の探求の種となったのは、四面体という重要な数学的形状でした。四面体は三角形の基底を持つピラミッドです。四面体の魅力の一部は、古代ギリシャ人がこれを宇宙の基本的な構成要素の一つと考えていたことです。ギリシャ人は、物質が地、風、火、水の四つの基本要素から成り立っており、それぞれの要素には対称的な形があると考えていました。四面体は火の形でした。 ショークロスがアートの構成要素として四面体を探求した最初の作品は、2006年にスデリー城で作るように依頼された構造物でした。彼は2000個のオーク製の四面体を作り、それを構造に組み立てるのに2週間を費やしました。そのプロセスは無秩序で不安定でした。「それらは自己結合できない非タイル状の、火のような触手を形成します。私がそれを操るのではなく、それが私を操っていました。一方では少しフラストレーションを感じましたが、同時に目覚めでもあり、多くのことを学んだ失敗であり、私にとって多くのテーマの始まりでした。」 ショークロスは、美しさと構造的な安定性を兼ね備えたものを作る方法を見つける必要がありました。彼は最終的に数学者から必要な洞察を得ました。その数学者は、三つの四面体を組み合わせる方法は一つしかないと指摘しました。ここに、対称性の力がショートカットを提供する完璧な例がありました。三つの四面体を異なる方法で融合させようとすると、新しい提案を最初の構成に回転させることで常に変換できることがわかります。ショークロスは、2000個の構成要素を持つのではなく、実際にはこれら三つの融合した四面体からなる大きな構成要素を持っていることに気づきました。「それは私の問題を三分の一に減らしました」と彼は振り返ります。「突然、その作業はずっと達成可能なものになりました。」 このショートカットを手に入れたショークロスは、三つの四面体から成る667ユニットを組み立てる方法を見つける必要がありました。この作業は、彼が作品を作るために持っていた時間内で達成可能なものでした。しかし、ショークロスとスタジオで話をしたところ、彼が決して取らないショートカットもあることがわかりました。 彼の驚くべき作品「ADA」は、機械内の一連の歯車によってプログラムされた複雑な空間の幾何学を描き出す動く彫刻であり、ロンドンのロイヤルオペラハウスでのダンス作品の一部として登場しました。シャウクロスはいつものように厳しい締め切りに追われており、夜の公演に間に合うかどうかは微妙な状況でした。ADAを塗装している最中、誰かが「彫刻の裏側を塗る必要はない、観客には見えないから」と提案しました。一見、賢い近道のように思えますが、シャウクロスは観客をこのように欺くことができませんでした。彼の作品は、たとえ見えない側面があっても、視界に入る部分と同じように扱われることが重要です。観客は作品の裏側を見ることはできませんが、シャウクロスのような彫刻家にとって、それはあまりにも大きな近道でした。 ここからは、自宅でアートを創造するための「アート的アルゴリズム」を紹介します。 ソフィア・アル・マリア（2012） 豊富な衛星チャンネルがあるテレビを見つけます。フィボナッチ数列を利用して、チャンネルを選択します：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…など。あるいは、フィボナッチ計算機を使用しても良いでしょう。通り過ぎる各チャンネルの写真をデジタルデバイスで撮影します。黄金比に従って衛星チャンネルの選択肢を使い果たしたら、収集したデータを逆順に整理し、モザイクにまとめます。結果として得られる画像は、多面的なメディアマトリックスの一つのエッジを単純に表現したものです。私たちの人間の驚異の見事な平凡さに驚嘆してください。 トレイシー・エミン 「トレイシーはどうする？」（2007） テーブルを用意します。その上に、異なるサイズと色のボトルを27本置きます。赤い綿糸を巻きつけ、奇妙な網のようにそれらを結びつけます。必要であれば、綿糸をテーブルの下に持っていっても構いません。 アリソン・ノールズ 「赤いものすべてへのオマージュ」（1996） 展示スペースの床を任意のサイズの正方形に分割します。各正方形に一つの赤いものを置きます。例えば： - 一つの果物 - 赤い帽子をかぶった人形 - 一足の靴 このようにして床全体を完全に覆います。 横尾忠則 「ウィッシュピース」（1996） 願い事を作ります。それを書き留め、折りたたんでウィッシュツリーの枝に結びつけます。友人にも同じことを頼みます。願い続けます。枝が願い事で覆われるまで。 フランツ・ウェスト 「ホーム・ドゥ・イット」（1989） ほうきの柄を取り、柄と毛先を綿ガーゼでしっかりと包み、毛先が立ち上がるようにします。35デカグラムの石膏を取り、適切な量の水と混ぜます。包帯を巻いた表面全体に石膏を分配します。別のガーゼのストリップを取り、再び石膏を巻いた作品を包みます。作品を完全に覆うために、もう一層の石膏を適用します。この手順をもう一度繰り返し、パスシュテュック（アダプター）を完全に乾燥させます。 この手順の結果、対象物はパスシュテュック（通行証）として使用できるようになります。単独で、鏡の前で、またはゲストの前で使用することができます。あなたが適切だと思う方法で扱ってください。ゲストには、その対象物の可能な使用法について直感的な考えを表現するよう促してください。 第7章 データのショートカット パズル：あなたはゲームショーに招待されました。21個の箱があり、それぞれの箱の中には現金の賞金が入っています。あなたは一度に1つの箱を開けることができます。最後に開けた箱のお金を保持することができますが、新しい箱を開けると、以前の箱のお金を請求することはできません。問題は、賞金の大きさがわからないことです。中には100万ドルの箱があるかもしれませんし、すべてが1ドル未満の賞金しか入っていない箱かもしれません。あなたの挑戦は、すべての箱の中で最大の賞金を得るために、いくつの箱を開けるべきかということです。 私たちは、拡大するデジタル世界をさまよいながら、ますます多くのデータを生成しています。人類は現在、2003年までの文明の夜明けから生成したデータと同じ量を、わずか2日間で生み出しています。それは探求するには広大なデジタルの風景です。そのデータの中には、次のデジタルの動きを予測するのに役立つパターンを見つけられる企業にとっての宝物が隠れています。データアナリストがこのデータジャングルをナビゲートするのは容易ではありませんが、数学者たちはこの宝物を発見するための巧妙なショートカットの一連を発見しました。全領域を調査することなく、これを実現できるのです。 17世紀に科学革命が始まると、私たちが生成するデータに圧倒され始めました。初期の人口統計学者の一人であるジョン・グラントは、1663年に当時ヨーロッパを ravaging していたペストの研究の結果として「圧倒的な情報量」に悩まされていると不満を述べました。しかし、パンデミックに対処するためには、その数字が必要です。だからこそ、世界保健機関のテドロス・アダノム・ゲブレイエスス事務局長は、2020年のコロナウイルスの発生を生き延びるための鍵は「検査、検査、検査」であるとジュネーブの記者会見で述べました。データがなければ、政府はどのリソースをどこに配備すべきか全く分からないのです。しかし、ノイズの中から信号を見つける方法がなければ、データは無意味です。1880年、アメリカ合衆国国勢調査局は、収集したデータがあまりにも膨大で、分析するのに10年以上かかると不満を述べました。その頃には、1890年の次の国勢調査からさらに多くのデータが押し寄せてくるでしょう。私たちが生成し収集している膨大な数字の中にあるメッセージをショートカットするためのツールが必要でした。 私のヒーローであるガウスは、常にデータのファンでした。彼は15歳の誕生日に与えられた数字で満ちた本を楽しみ、対数の表や本の最後にある素数のリストを含んでいました。「対数の表にはどれほどの詩があるか、あなたには想像もつかないでしょう」と彼は書いています。 彼は数時間をかけて、ランダムに見える素数の中に隠れたパターンを引き出そうと試み、最終的には本の冒頭にある対数との関連性に気づく。この発見は素数定理につながり、ランダムに選ばれた数が素数である確率を予測することになる。彼は、セレスの夜空を通過する様子を観測した天文学者たちの観察結果をうまく拡張し、セレスが太陽の後ろに消える前のデータを分析した。彼はハノーファー政府の国勢調査データを分析するために登録し、「国勢調査の編集、地方の出生・死亡リストを仕事としてではなく、自分の楽しみと満足のために手に入れたい」と宣言した。さらに、彼は大学の教授の未亡人向け年金制度を分析する時間も費やし、他の人々が心配していたこととは逆に、その基金は非常に健全であり、未亡人にもっと支払う余裕があると結論づけた。夜空の雑音からセレスを復元する彼の成功は、最小二乗法と呼ばれる戦略によるものであった。もしノイズの多いデータがあり、そのデータを通る最も可能性の高い線や曲線をプロットしたい場合、ガウスは曲線への距離の二乗の合計をできるだけ小さくすることが望ましいと示した。 彼が1809年に発表した論文では、この方法を概説するだけでなく、データが現在「ガウス分布」と呼ばれる形に分布する傾向があることも説明している。基本的に、多くの異なるデータセット—人々の身長、血圧、試験結果、天文学や測量の測定誤差—をプロットすると、それらは広がりを持ち、大多数が中央に集まり、少数の外れ値が端に存在する傾向がある。この曲線は、その形が鐘のように見えることから「ベル曲線」と呼ばれることが多い。ガウスや他の人々が考案した統計的手法は、現代のデータが豊富な世界をナビゲートするための便利なショートカットとなっている。 子供の頃、私はテレビでよく流れていたキャットフードのコマーシャルにいつも興味をそそられていた。そのコマーシャルは、「10匹中8匹の猫がウィスカスのキャットフードを好む」と主張していた。当時私が不思議に思ったのは、誰かが私たちの猫にどのキャットフードが好きか尋ねに来た記憶がなかったことだ。彼らは一体何匹の猫に尋ねたのだろう、そんな大胆な主張をするためには？このような主張を正当化するには膨大な労力が必要だと思うかもしれない。結局、イギリスには700万人の猫の飼い主がいると推定されている。明らかに、ウィスカスの製造者は700万軒のドアをノックしてその主張を確認したわけではない。実際、統計の数学は国民のお気に入りのキャットフードを見つけるための驚くべきショートカットを提供していることがわかった。 要するに、ある程度の不確実性を受け入れることで、必要な猫の数は驚くほど少なくなるということです。例えば、私はWhiskasを好む猫の割合に5％の誤差を許容することにしたとしましょう。この誤差を受け入れる代わりに、5％の猫に尋ねるのを省略することができます。それでも、700万匹の猫の5％は35万匹に過ぎません。これらの猫を省略しても、まだ多くの猫に尋ねる必要があります。問題は、35万匹の猫を省略しても、その全てがWhiskasを好まないというのは非常に運が悪いということです。大抵の場合、その35万匹は全体の猫の人口と似たような割合で分かれるでしょう。そこで、賢いショートカットがあります。もし、私が調査で得られる割合が、全体の猫の人口を調査した場合の割合から5％の誤差を持つことを、20回中19回の確率で受け入れるとしたら、サンプルサイズはどれくらい必要でしょうか？驚くべきことに、実際にイギリスの700万匹の猫の好みを代表するためには、246匹の猫に尋ねるだけで済むのです。これは意外に少ない数の猫です。これが数学的統計の力です。246匹の猫に尋ねるだけで、そのような主張をする自信を持てるのです。数学的統計のコースを受講した後、なぜ私たちの猫がどのキャットフードが好きか尋ねられなかったのかが理解できました。古代ギリシャ人でさえ、少ないデータから多くを推測する力を認識していました。479年に都市同盟がプラテア市に攻撃を計画した際、彼らは市壁を登るために必要な梯子のサイズを計算する必要がありました。兵士たちは壁を構成するレンガのサンプルを測定するために派遣されました。平均サイズを求め、それを壁に見えるレンガの数で掛けることで、壁の高さを良い推定値として得ることができました。しかし、より洗練されたアプローチが登場するのは17世紀になってからでした。1662年、ジョン・グラントはロンドンで行われた葬儀の数に関するデータを用いて、都市の人口の初めての推定を行いました。彼は教区の記録から集めたデータに基づき、11世帯あたり毎年3人が死亡し、平均的な家族のサイズは8人であると推定しました。毎年記録される葬儀の数が13,000件であったことから、彼はロンドンの人口を384,000人と推定しました。1802年には、ピエール＝シモン・ラプラスがさらに進んで、30の教区で登録された洗礼のサンプリングを用いてフランス全体の人口を推定しました。彼の教区データ分析によれば、教区内の住民28.35人につき1件の洗礼が行われていることが示されました。その年にフランスで記録された洗礼の総数を考慮に入れることで、彼はフランスの人口を2830万人と推定することができました。 イギリスにいる猫の数を知るためには、小さなデータから大きなデータへと推測する統計的な手法が必要です。イギリスの猫の個体数を推定する場合、ギリシャの兵士たちが用いた戦略に似た方法を適用できます。つまり、小さなサンプルを調査し、それを基に全体にスケールアップするのです。もし小さなサンプルにおける猫の人口比率がわかれば、その比率を国全体の人口に掛け算することで推定値を得ることができます。しかし、イギリスの野生のバッジャー（アナグマ）の総数を推定したい場合はどうでしょうか？バッジャーは人に飼われているわけではないので、猫のように単純に人口を使うことはできません。そこで生態学者たちは「捕獲再捕獲」という巧妙な手法を使います。これはラプラスが推定を行った際の核心的な戦略です。 例えば、グロスタシャー郡のバッジャーの個体数を推定しようとする場合、生態学者たちは特定の期間にわたってバッジャーを捕まえるためのトラップを設置します。しかし、彼らは捕まえたバッジャーの何割を捕まえたのかをどうやって知るのでしょうか？実は、彼らはそれを知りません。ここでの巧妙なトリックは、捕まえたバッジャーにタグを付けて再び野生に放すことです。タグを付けたバッジャーが全体の個体群に再統合される時間を与えます。その後、田舎の各所にカメラを設置してバッジャーを記録します。これで、目撃されたバッジャーの総数と、その中でタグが付けられたバッジャーの数という二つの異なる数字が得られます。これにより、生態学者たちは目撃されたバッジャーの中でタグが付けられたバッジャーの割合を知ることができます。彼らはこれをスケールアップすることができます。郡内のタグ付きバッジャーの総数がわかっているので、これが全体のバッジャー個体数の何割を占めるかがわかれば、郡内のバッジャーの総数を推定することができます。 例えば、二回目のサンプルで10匹に1匹がタグ付きで、最初の捕獲でタグ付きのバッジャーが100匹だったとします。この場合、私たちはバッジャーの総数を1000匹と推定し、動画で記録された目撃数と同じ割合を得ることができます。ラプラスの場合、全体の個体群（その数は不明）の中で生まれた赤ちゃんの数（その数はわかっている）がタグ付きのサンプルを表し、30の教区での赤ちゃんの数（両方の数がわかっている）を数えることが実験の再捕獲部分を表しています。この手法は、今日のイギリスにおける奴隷の数から、第二次世界大戦中にドイツが製造していた戦車の数まで、さまざまな推定に使用されてきました。 ただし、ショートカットには時折問題があります。それは、必ずしも知識への道を提供するわけではないことです。時には、あなたを誤った方向に導き、目的地から何マイルも離れた場所に到達したかのような錯覚を与えることがあります。これが統計的ショートカットの危険の一つです。彼らは本物のショートカットを提供するのではなく、単に手間を省くことがあるのです。 246匹の猫に調査を行って、700万匹の猫の好みを知ることができるかもしれませんが、10匹の猫をサンプルにしてもあまり理解は得られないでしょう。それにもかかわらず、科学文献には非常に小さなサンプルに基づく明らかな発見の例が数多く存在します。これは、主要なジャーナルで報告される多くの心理物理学や神経生理学の研究でよく見られます。なぜなら、そのような研究に多くの人を含めるのが非常に難しいからです。しかし、2匹のリスザルや4匹のラットを対象にした研究から本当に何かを推測できるのでしょうか？残念ながら、「10匹中8匹のXがYを好む」といった見出しが、サンプルサイズについての情報を提供せずに大々的に報じられることが多く、その発見がどれほど真実である可能性があるのかを理解する手助けにはなりません。 重要な発見を正当に報告する際のゴールドスタンダードは、猫の餌の調査において良いサンプルサイズを確定するために設定したパラメータによって示されます。そこで私は、20回中19回は猫の好みを正しく表すサンプルサイズに満足していました。科学的発見とその潜在的な重要性、たとえばある病状に対処するための薬を服用する場合、結果が重要と見なされるのは、その薬を服用せずに病状が治癒する確率が20分の1未満である場合です。 例えば、コインが常に表になる呪文を思いついたとしましょう。ほとんどの人はかなり懐疑的になるでしょうが、彼らを納得させるためには何をする必要があるでしょうか？あなたは呪文を唱え、コインを投げ始めます。20回のコイン投げで15回表が出たとしましょう。これは何かの兆候でしょうか？おそらくそうです。公正なコインの場合にこれが起こる確率を計算すると、その確率は20分の1よりも小さいです。したがって、あなたの呪文で15回表が出たという事実は、あなたの呪文が実際に機能しているかもしれないと考える正当な理由になります。 1920年代以来、発見が「統計的に有意」と見なされるためには、この閾値を超える必要があります。これは、P値が0.05未満であること、つまりその現象がランダムに起こる確率が20分の1（5％）であることを意味します。しかし、20の研究グループがある場合、そのうちの1つはこの結果を得る可能性が非常に高いのです。19のグループは他のアイデアに移行してしまいますが、20番目のグループは非常に興奮し、有意な結果の発表の閾値を超えたと信じることになります。このような閾値があるために、多くの奇妙な仮説が文献に掲載されることになった理由がわかります。 逆に、P値が0.06（帰無仮説の下で発生する確率が6％）の結果は、統計的に有意と見なされるには弱すぎるとされ、しばしば却下されます。しかし、これは仮説を却下する理由としても同様に危険です。 ネガティブな結果は良いニュースストーリーにはならないため、19の研究グループは「関連性がない」という発見を公表しませんでした。このため、統計的有意性のテストを通過した文献の多くの結果を再現しようという呼びかけが行われています。使用する閾値には細心の注意が必要です。コインが公正かどうかを判断しようとしている場合、その閾値は問題ないかもしれません。しかし、医師のネガティブな結果の割合が医療過誤によるものかどうかを判断しようとしていると想像してみてください。20人に1人の医師を調査対象にするのは望ましくないでしょう。それでは、どの時点で懸念を抱くべきでしょうか？例えば、1998年9月、尊敬されていた家庭医のハロルド・シップマン医師が、215人以上の患者に致死量のオピオイドを注射したとして逮捕されました。しかし、デイビッド・スピーゲルホルターが率いる統計学者のチームは、第二次世界大戦中に軍需品の品質管理のために導入されたテストを使用することで、シップマンのデータに何か異常があることをもっと早く検出でき、175人の命を救えた可能性があると考えています。有意性の閾値は慎重に扱う必要があります。2019年3月、850人の科学者が「ネイチャー」誌に手紙を書き、科学界がP値に対して抱いている狂ったような執着に反論しました。「私たちはP値の禁止を求めているわけではありません」と彼らは書いています。「特定の専門的な応用（例えば、製造プロセスが品質管理基準を満たしているかどうかを判断する場合）において、決定基準として使用できないと言っているわけでもありません。また、弱い証拠が突然信頼できるものになるような何でもありの状況を提唱しているわけでもありません.... [W]私たちは、結果が科学的仮説を否定するか支持するかを決定するために、P値を従来の二分法的な方法で使用することをやめるよう呼びかけています。」 群衆の知恵 統計学者サー・フランシス・ガルトンが考案した巧妙な近道の一つは、多くの一般の人々に相談し、彼らにすべての難しい作業をさせ、その後に巧妙な数学を使って仕事を完成させることです。ガルトンは、彼の非道徳的な人種差別的優生学理論のために今日批判されていますが、群衆の知恵の理論はビッグデータを分析する上で依然として貴重なツールと見なされています。実際、彼はその発見を証明しようとしているときに偶然にこの発見をしました。彼は社会の集合的な知恵に対して非常に懐疑的であり、一般市民が政治に意見を持つことを許すことに非常に批判的でした。「多くの男女の愚かさと誤った考えがあまりにも大きいため、信じがたいほどです。」彼の主張を証明するために、ガルトンは実験を行うことに決めました。彼の故郷であるプリマスの郡フェアでは、牛が屠殺されて処理された後の体重を推測する競技がありました。この挑戦には800人が参加し、6ペンスで推定値を提出しました。 いくつかの参加者は経験のある農家だったかもしれませんが、大半は知識の乏しい訪問者でした。「平均的な競技者は、牛の処理後の体重を正確に見積もるのに適しているとは言えないだろう。これは、平均的な有権者が投票する際の政治問題の多くのメリットを判断するのに適しているのと同じだ」とガルトンは軽蔑的に書きました。しかし、彼が推測を分析したとき、驚くべき結果が得られました。多くの推測は大きく外れており、体重を過小評価したものや過大評価したものもありましたが、全ての値の平均を取ると、驚くほど真実の値に近いことがわかったのです。（ガルトンは実際には中央値、つまりちょうど真ん中の値を使い始めましたが、これも非常に正確でした。）群衆の推測の平均は1,197ポンドで、実際の値は1ポンド差の1,198ポンドでした。ガルトンは驚きました。「この結果は、民主的な判断の信頼性が予想以上に信じられるものであることを示しているようだ。」彼の発見は「群衆の知恵」として知られる現象を生み出しました。大規模な推測の集合は、全体として正しい可能性が高いのです。集合を求めるには少しの数学が必要ですが、それによって解決策にショートカットできるのです。 最近、私がこのアイデアについて一度話した後、地元のフェアでこの戦略を使った一般の方から感謝の手紙を受け取りました。彼の挑戦は、瓶の中のゼリービーンズの数を推定することでした。彼はフェアの最後の瞬間まで待ち、他の来場者の推測をExcelのスプレッドシートに入力し、平均を取り、その数を自分の推測として使いました。結果として、群衆の知恵を使った彼の推測が最も近く、実際の数4532からわずか5個の差でした。彼は手紙に私への報酬として、賞品の一部としていくつかのゼリービーンズを同封してくれました。 群衆の知恵の別の例は、有名なゲームショー「クイズ$ミリオネア」に見られます。ほとんどの場合、あなたは自分自身で質問に答え、15問正解して最高賞を獲得しようとします。しかし、手がかりが全くない場合に頼れるライフラインがいくつかあります。その一つは友人に電話すること、もう一つは観客に尋ねることです。スイスの学者チームは、ドイツ版のこの番組のデータを集めました。その結果、観客に質問した1337回のうち、147回しか間違えなかったことが明らかになりました。これは驚異的な89％の正解率です。友人に電話する場合の正解率は46％の失敗率と比較すると、観客を利用する方が遥かに信頼性が高いことがわかります。観客を利用する際には、自分の考えを答えの可能性について述べないことが重要です。私たち人間は、誤った方向に導かれることに非常に敏感なのです。 次のような質問に答えなければならなかった参加者のケースを考えてみましょう。 ノルウェーの探検家ロアルド・アムンセンは、南極点に何年の12月14日に到達したでしょうか？ A: 1891年 B: 1901年 C: 1911年 D: 1921年 彼女は、アムンセンが南極点に到達する前に敗れたロバート・ファルコン・スコットがビクトリア朝の人物であるとかなり確信していたため、CとDの選択肢は間違いだと確信していました。しかし、最初の2つの選択肢のうちどちらが正しいのかは本当に分かりませんでした。そこで、彼女は観客に尋ねました。返ってきた結果を見てみましょう。 A: 28％ B: 48％ C: 24％ D: 0％ もちろん、直感的にはBを選びたくなります。しかし、Cの選択肢を見てください。参加者がそれが正しくないと確信していたにもかかわらず、なぜ多くの人がその答えを選んだのでしょうか？答えは、参加者が間違っていたからです。実際、彼女は自分の考えを述べることで多くの人を誤った方向に導いてしまい、もし彼らが自分の判断に任されていたら正しい答えであるCに投票していたのに、Bに投票する結果になってしまいました。しかし、観客を信頼する戦略は、どの国でプレイしているかによって異なるかもしれません。どうやら、ロシアの観客は意図的に間違った答えを選ぶことで参加者を誤導することで悪名高いようです。もちろん、メジャー・チャールズ・イングラムがトップ賞を獲得するために使ったとされるショートカット、つまり不正行為を試みることもできます。彼は、ホストが正しい答えを読み上げるたびに咳をする観客を用意していたようです。しかし、彼が数学を知っていれば、咳をする助手なしでも大丈夫だったことが判明しました。グランドプライズがかかっていた最後の質問は、1の後に100個のゼロが続く数の名前を特定するものでした。それは(A)グーゴル、(B)メガトロン、(C)ギガビット、または(D)アナモールです。もし助けが必要なら、私は(A)の答えのために咳をしているでしょう。もし群衆がそんなに賢いなら、専門家は必要ないのでしょうか？それは、目の前の課題によります。保守党の政治家マイケル・ゴーブがブレグジットの混乱の中で「専門家にはもううんざりだ」と宣言したにもかかわらず、私は乗客全員によって操縦される飛行機には乗りたくありません。そして、世界中のアマチュアチェスプレイヤーを集めてマグヌス・カールセンに対して集団で戦わせても、私はどちらに賭けるかを知っています。群衆が答えへのショートカットを提供する可能性がある質問はどれで、どの質問で群衆があなたを誤導するのでしょうか？重要なポイントの一つは、群衆の全員が独立して回答していることを確認することです。「クイズ・ミリオネア」での参加者が探検家スコットがビクトリア朝の人物であると信じることで観客に影響を与えたことを思い出してください。ソロモン・アッシュは、群衆が人々をその直感に反して行動させる影響力を持つことを示しました。1950年代に行われた実験で、アッシュは7人のグループに対して、左側の線と同じ長さの線を特定するように求めました。実験のひねりは、最初の6人の回答者が実験者と共謀していたことです。 彼らは皆、Bを答えとして指名するように言われました。何度も、7番目の人が回答する番になると、彼らは自分の目を信じられずにCと答えてしまいました。代わりに、グループの選択に従いたいという欲求が、彼らが見ていることを上回り、最初の6人の参加者と同じ選択をすることになりました。ソーシャルメディアの時代において、この同調の欲求は、他者から独立して選択する能力に壊滅的な影響を与えている可能性があります。ソーシャルメディアは、群衆を独立させることを非常に難しくします。しかし、完全な独立が賢い群衆を作るために必ずしも良いわけではないという証拠もあります。アルゼンチンの研究チームによる興味深い研究では、結果を集計する前に群衆のメンバー間で少し相談を許可すると、その答えが完全に独立した群衆の反応を上回ることが発見されました。 ブエノスアイレスでのライブイベントでは、研究チームは5180人の観客に対して、隣の人と話すことなく個別に8つの質問に答えるように求めました。例えば、「エッフェル塔の高さは？」や「2010年のワールドカップで得点されたゴール数は？」といった質問です。回答が集められ、平均値が計算されました。しかし、その後、研究者たちは観客に5人のチームに分かれて質問について話し合うように求め、再度修正された回答を求めました。これらの回答が集められ、集計されると、結果ははるかに正確でした。ポイントは、少数の人々が専門的な知識を持っていて、それが全くの無知な人々を導くのに役立つ可能性があるということです。したがって、群衆は専門知識から利益を得ることができます。例えば、サッカーについて全く知らない場合、ワールドカップで得点されたゴール数の推定は完全に推測に過ぎません。しかし、5人のチームの中にサッカーについて少し知っている人がいて、平均して1試合あたり2〜3ゴールが得られることや、ワールドカップでは64試合が行われることを説明してくれれば、推測の基にする良い材料が得られます。そうすると、例えば、2.5 x 64 = 160ゴールという推測ができます。実際の答えは145でした。しかし、重要なのは、話し合いに基づいて新しい推測をする際に、グループの一人が提供したかなり説得力のある専門知識を考慮に入れることができるということです。もちろん、自信を持って自分が専門家だと信じている人もいて、そうした人が他の人を誤った方向に導くこともあるため、群衆が単一の自信に満ちたリーダーに影響されることは望ましくありません。しかし、小さなチームの群衆の組み合わせは、個々の群衆よりも効果的であるようです。もう一つ大きな違いを生む要素は、群衆が多様な意見を持つことを確保することです。ブエノスアイレスのイベントに参加した観客は、特定の社会階級から来ている可能性があり、そうしたイベントに特に興味を持っているため、より多様な社会のスペクトルを見逃すことになるかもしれません。 これは、予算決定において一般市民が政治家に任せるのではなく、参加を促された興味深い事例で示されています（このプロセスは「参加型予算」と呼ばれます）。このアイデアは1989年にブラジルのポルトアレグレで初めて研究されました。2008年の金融危機後、アイスランドの経済が崩壊した際、政府は市民に予算設定を手伝ってもらうことを決定しました。しかし、この取り組みは一般的には成功とは見なされませんでした。参加者を募集することで、政治に関心のある人々だけが集まってしまい、形成されたグループには偏りがあり、システムが期待する多様性を反映していなかったのです。そこで、ブリティッシュコロンビア州で同じ実験が行われた際には、無作為に人々が選ばれ、出席することが期待される手紙が送られました。これは陪審員制度のようなものでした。無作為に選ばれたため、結果として得られたグループは多様な意見を持ち、参加型予算の理想を実現する上ではるかに成功しました。 「誰が科学者になりたいか？」という問いは、科学的発見への近道として群衆を利用するというアイデアが、ここ数年で目にした市民科学プロジェクトの急増の鍵となっています。その中でも最も成功したプロジェクトの一つは、私の大学であるオックスフォード大学で運営されています。天文学部は、私たちの宇宙に存在するさまざまなタイプの銀河を分類することに興味を持っています。しかし、素晴らしい望遠鏡で撮影された銀河の画像がたくさんあるにもかかわらず、部門にはすべての画像を調べるための研究学生が十分にいませんでした。プロジェクトが始まったとき、コンピュータビジョンはまだ発展途上で、螺旋銀河と球状銀河を区別することができませんでした。しかし、人間にとっては、その区別は簡単でした。実際、オックスフォードのチームは、天体物理学の博士号を持っている必要はなく、多くの目がデータを見れば良いことに気づきました。そこで、彼らは「ギャラクシー・ズー」という、現代の市民科学プロジェクトの一つを立ち上げました。 プロジェクトに参加するために、一般市民には何を探しているのかを説明する簡単なオンラインチュートリアルが提供されました。彼らは螺旋銀河と球状銀河の違いを示され、その後、世界中の望遠鏡で撮影された未分類の画像の山に取り組むことが許されました。群衆を利用することで、天文学部はこの膨大なデータを分類するという大きな作業を短縮することができました。これは、トム・ソーヤーが罰として塗るように言われたフェンスを友達に白く塗らせる瞬間に似ています。彼は仕事を遊びに変え、突然友達が塗る手伝いをしたいと列を作るのです。しかし、ギャラクシー・ズーの群衆はさらに一歩進み、データの中に隠れていた全く新しい種類の銀河を発見しました。いくつかの画像は、彼らがデータにラベルを付けるように求められたカテゴリには収まらなかったのです。 プロの天文学者たちはこれらの画像に遭遇し、単なる異常現象として片付けてしまいました。しかし、Galaxy Zooの参加者たちは、宇宙の黒い背景に浮かぶ緑の豆のような画像を次々と見つけるようになりました。「Give Peas a Chance」というスレッドがGalaxy Zooのブログに登場し、これらの緑の塊を軽視しないよう呼びかけました。このジョン・レノンの曲のユーモラスな言葉遊びがきっかけで、これらの銀河は「グリーンピー銀河」として知られるようになりました。市民科学者たちによるこの発見は、最終的に「Galaxy Zoo Green Peas: Discovery of a Class of Compact Extremely Star-Forming Galaxies」という論文として発表され、ロイヤル天文学会の月刊誌に掲載されました。 群衆を科学的発見のショートカットとして利用するアイデアは新しいものではありません。エドモンド・ハレーは1715年に、5月3日に起こった日食の際に月の影が国を横切る速度を測定するために、200人のボランティアの協力を得ました。国中のさまざまな地点に配置された一般市民は、皆既日食の時間と持続時間を記録するよう求められました。残念ながら、オックスフォードでは空が曇っていたため、ボランティアはデータを提供できませんでした。一方、ケンブリッジに配置されたチームは天候に恵まれましたが、唯一の問題は、彼らが気を散らされて見逃してしまったことです。ケンブリッジチームを指揮していたコーツ牧師はハレーに、「私たちはあまりにも多くの人に囲まれて不運でした」と書きました。彼らは訪問者に紅茶を振る舞っており、観測の準備が整った頃には日食は終わってしまっていました。 ハレーは、地球上を2800キロメートル毎時という驚異的な速度で影が移動したことを推定するのに十分なデータを集めることができました。彼はその結果をロイヤルソサエティの学術誌に発表しました。ハレーの成功に勇気づけられた別のフェロー、ベンジャミン・ロビンズは、花火が空にどれほど高く上がるかを調べる実験のために市民の協力を求めました。彼は1749年4月27日の夜、オーストリア継承戦争の終結を祝うためにジョージ2世が開催した花火大会の際に、実験を行う絶好の機会を得ました。この花火大会は、王のお気に入りの作曲家ゲオルク・フリードリヒ・ヘンデルによって特別に作曲された音楽と共に行われました。 ロビンズは『Gentleman’s Magazine』に広告を出し、ロンドンから15マイルから50マイル離れた場所にいる好奇心旺盛な人々に、花火の高さを記録するよう呼びかけました。「もし、花火が打ち上げられる夜に、適切な場所から注意深く見守っている人がいれば、ロケットが見える最大の距離を知ることができるでしょう。観察者の位置と夜の条件が良ければ、40マイル以上になると私は考えています。」 もし花火の近く、1マイル、2マイル、または3マイル以内にいる賢明な紳士たちが、花火のロケットが最高高度に達したときに地平線に対して作る角度をできるだけ正確に観察すれば、それによってロケットの垂直上昇を十分な精度で測定することができるでしょう。これは単なる無駄な研究プロジェクトではありませんでした。軍事におけるロケットの重要性を考えると、花火の射程を知ることは武器開発に非常に役立つ可能性がありました。しかし、ロビンズが『ジェントルマンズ・マガジン』に提供した指示は非常に曖昧であったため、ロンドンから180マイル離れたウェールズのカーマーゼンにいる一人の紳士を除いて、誰も参加する気を失ってしまいました。彼は丘の上で辛抱強く待ち、地平線から15度の高さで2回の閃光を見たと主張しました。しかし、地球の曲率やブレコン・ビーコンズ山脈の影響を考えると、彼が実際に6000発の花火を見た可能性は非常に低いです。花火の数と、ウェールズでの影響の少なさを聞いたそのボランティアは、全体が公共の資金の大きな無駄だと考えました。 今日の科学的調査における群衆の力は、ロビンズの失敗した試みよりもはるかに成功しています。南極の映像からペンギンを数えることから、変性疾患の鍵を発見するためにタンパク質を折りたたむことまで、群衆を巻き込むことは新しい洞察を得るための非常に生産的な近道となっています。知識への近道としての群衆の力は、企業界でも見逃されていません。実際、FacebookやGoogleの成功は、群衆がサービスと引き換えに貴重なデータを自由に提供することに依存しています。 マシンラーニング・ギャラクシー・ズーは2007年に始まりましたが、その当時はコンピュータビジョンはまだ非常に未熟でした。しかし、ここ数年でコンピュータが画像内の物体を検出する能力は大きく進化しました。これは、データとの相互作用を通じてコードが変化し、進化する新しいプログラミング手法であるマシンラーニングによるものです。コードが上から下へと解明されるのではなく、下から上へと学ぶことを許すことで、強力なアルゴリズムを書くための驚くべき近道が提供されました。コード自体は非常に効率的で洗練されているわけではありませんが、今日のコンピュータの処理能力では、それほど問題にはなりません。 マシンラーニングの大きな成功の一つはコンピュータビジョンです。この革命の鍵は統計分析の力です。コンピュータは完璧ではありませんが、それで構いません。ほとんどの場合に正しい答えを出せれば、それで十分です。そして、これが元の「猫を犬と区別する成功率8割」の近道のポイントです。猫と犬を区別する成功率99％を達成するには、データにさらされる必要がありますが、どれだけのデータが必要なのでしょうか？オンラインにあるすべての猫と犬の画像をコンピュータに与えたくはありません！ アルゴリズムを訓練して異なる画像のカテゴリを識別させるための一般的なルールは、アルゴリズムが識別できるようにしたい各カテゴリを表すために1000枚の画像が必要だということです。猫を認識するアルゴリズムを作成するには、アルゴリズムが学習するための猫の画像が1000枚必要です。標準的な機械学習アルゴリズムでは、データが増えても成功率が向上することはあまりありません。アルゴリズムは一定の限界に達するようです。しかし、より高度な深層学習モデルでは、データが増えることで対数的な改善が見られます。たとえば、売上に影響を与える可能性のある変数を知りたい場合、どれだけのデータが必要かを理解することが重要です。曜日や天候、ニュースの内容が影響を与えていると思うかもしれません。売上に影響を与えている要因を理解するための方法は、データを収集することです。売上に影響を与えていると思われる変数を取り上げ、それぞれの変数の異なる値に対する売上を記録します。情報に基づいた推論を行うために必要な最小限のデータ量を知るために、回帰分析と「1対10の法則」を参考にすることができます。追跡している変数が5つある場合、10 x 5 = 50のデータポイントが、これらのパラメータの変動が売上に与える影響を把握するための目安となります。しかし、このような近道には注意が必要です。なぜなら、それが私たちを誤った方向に導く可能性があるからです。群衆の中で知恵を得たい場合に多様性が重要であるのと同様に、データも多様である必要があります。アマゾンが求人応募を選別するためのAIを開発しようとした際、現在の従業員のプロフィールをモデルとして使用しました。この決定は、これまでの従業員の質に満足していた会社にとっては理にかなっているように思えました。しかし、AIが白人の20歳男性以外の履歴書をすべて拒否し始めたとき、会社はアルゴリズムが応募者の広範な層に対して不公平に差別していることに気づきました。ジョイ・ブオラメイニによって設立されたアルゴリズミック・ジャスティス・リーグは、新しい目的地に導かないアルゴリズムの近道を批判しています。また、一度に追跡する変数が多すぎないようにすることも重要です。追跡する変数が多ければ多いほど、内部でパターンを見つける可能性が高くなります。変数を追跡しすぎる危険性は、fMRIスキャナーを使用して8064の脳領域を調べ、参加者にさまざまな人間の表情の画像を見せたときに示されました。確かに、16の領域が統計的に有意な反応を示しました。しかし、スキャンされていた被験者は大きな死んだアトランティックサーモンでした。研究者たちは、偽陽性を修正するためにサーモンのような無生物を使用していたのです。 しかし、これは単に多くのものを測定し、パターンを見つけようとすることの危険性を示しています。このチームは、その年のイグ・ノーベル賞の一つを受賞しました。この賞は「まず人々を笑わせ、次に考えさせる」業績に贈られます。 チームの研究者の一人であるクレイグ・ベネットが説明したように、ダーツを投げて的に当たる確率が1％の場合、1本のダーツを投げれば的に当たる確率は1％です。しかし、30,000本のダーツを持っているとしたら、まあ、いくつかの回数は的に当たる可能性が高いと言えるでしょう。結果を見つけるチャンスが多ければ多いほど、たとえ偶然でも結果を見つける可能性が高くなります。 「決断する前にどれだけのデータが必要か？」という問いについて、章の冒頭で説明したゲームショーは、私たちが人生で直面する多くの課題の良いモデルです。初めての彼氏や彼女は素晴らしいかもしれませんが、結婚するべきか、それとももっと良い相手がいるのではないかという不安が残ります。もしかしたら、他の多くの人の中に「運命の人」がいるかもしれません。しかし、現在のパートナーを振ってしまった場合、一般的には戻ることはできません。どの時点で損失を切り捨てて、今持っているものに満足すべきなのでしょうか？ アパート探しもまた、古典的な例です。初めての訪問で素晴らしいアパートを見つけたのに、決断する前にもっと見なければならないと感じ、最初のアパートを逃すリスクを冒すことは何度もあります。実際、最良の結果を得るためのチャンスを最適化する鍵は、数学の第二に人気のある数、e = 2.71828...です。数学の第一の数であるm™と同様に、eも無限小数展開を持ち、決して繰り返しません。そして、eはさまざまな状況で頻繁に現れる数です。たとえば、銀行口座の利息がどのように蓄積されるかに密接に関連しています。しかし、eは仮想のゲームショーで勝利の箱を選ぶための近道でもあります。数学的には、N個の箱がある場合、賞金の見積もりを得るためにはN/eの箱からデータを集める必要があることが証明されています。1/eは約0.37です。これは、37％の箱を示しています。37％の箱を開けた後は、すでに開けた箱の中で最も良いものを超える次の箱を選ぶのが戦略です。これにより最高の賞金を得られる保証はありませんが、3回に1回は最大の金額を得ることができます。もし、箱の数が少なかったり多かったりすると、その確率は減少します。37％が、ゲームショーの箱、アパート、レストラン、さらには人生のパートナーを選ぶ前に集めるべき最適なデータ量です。（ただし、愛に関しては、そんなに計算高いことをパートナーに知られない方が良いかもしれません。） 新しいプロジェクトのアイデアの方向性を決定する際には、人々の好みを調査することでしばしば改善されます。ことわざにあるように、 「データは新しい石油だ」と言われますが、アイデアを実現するために必要なデータの量を把握することも重要です。データが多すぎると溺れてしまいますし、逆に少なすぎるとプロジェクトは立ち上がりません。統計のショートカットを利用すれば、意外にも少ないサンプルサイズで大きな成果を得られることがよくあります。データ収集のための賢いショートカットを見つけることも重要です。マーク・トウェインが示したように、一人でフェンスを塗るのは時間がかかりますが、多くの手があればすぐに終わります。群衆の知恵を活用することは、洞察を得る一つの方法です。例えば、Twitterの投票を設定したり、データを得るためのオンラインゲームを考案したり、Googleアナリティクスを利用してウェブサイトのエンゲージメントを理解したりすることが挙げられます。 私が妻のシャニにショートカットについての本を書いていると最初に話したとき、彼女は驚愕しました。彼女は心理学者で、心理療法において脳を再配線するために必要な深く長期的な作業の代わりはないと信じています。しかし、シャニは、心理療法でも社会が直面する大きなメンタルヘルスの問題に対処するためのショートカットが見つかっていることを認めました。伝統的に、セラピストに行くという考えは、幼少期について話しながら何年もソファに横たわるイメージを思い起こさせます。しかし、実際には、特定の症状に対しては、これらの年数を短縮する非常に効果的な技術が存在します。シャニは、長年心理学者として活動してきたドクター・フィオナ・ケネディに話をすることを提案しました。彼女は、メンタルヘルスの問題に取り組むために新たに登場した集中治療の範囲を他の人に教えています。これらの介入は、恐怖症、不安、うつ病、そして心的外傷後ストレス障害の患者を、何年も治療を受けることなく助けることができます。 ケネディによれば、これらの療法が成功している理由の一つは、より科学的なアプローチを取っているからです。「もし心臓手術を受けるために外科医に行くとしたら、二人の候補者がいて、一人は『これが私の心臓手術の歴史です。これが私が使った技術で、これが私の成功率です』と言ったとします。もう一人は『私はデータを集めていませんが、非常にクリエイティブな人間で、人々にとって完全にインスピレーションを与える存在です。多くの手術を行い、とても楽しんでいます』と言ったとしたら、あなたは誰に手術をしてもらいますか？」最近になってようやく証拠に基づく科学的思考が心理療法の世界に浸透しましたが、これが世界中の健康サービスにこれらの方法を成功裏に導入する鍵となっています。 おそらく最もよく知られている心理的ショートカットはCBT、すなわち認知行動療法です。1960年代後半から1970年代初頭にアーロン・ベックによって開発されたCBTは、あなたの思考、信念、態度が感情や行動にどのように影響するかに焦点を当て、さまざまな問題に対処するための対処スキルを教えます。ケネディは、学生時代にラットと学生がさまざまなタスクを実行する実験に参加したことを思い出します。「ラットは学生を圧倒的に打ち負かしました」と彼女は述べています。 「私たちは皆、何が起こっているのかを考えすぎていました。」この実験は、認知が成功への道のりにどのように干渉するかを示しています。ベックや他の研究者にとって、重要なのは認知を変える方法を見つけることでした。ケネディは、状況を数学的に説明しています。「すべてはネットワークに関することです。あなたが誰であるか、そして世界にどのように反応するかを決定する非常に複雑な関係ネットワークがあります。そのため、そのネットワークを変えることが重要になります。」ベックのCBT（認知行動療法）の初期モデルでは、私たちの行動は非常にアルゴリズム的に捉えられています。トリガーが入力として機能し、それが処理されて思考、感情、行動を生み出し、それが行動や出力を引き起こす可能性があります。ベックは、このアルゴリズムを小さな部分に分解してプログラムのバグ、すなわち誤った認知を特定する方法としてCBTを提案しました。療法の行動部分は、セラピストがクライアントに与えるエクササイズで構成されており、特定のアルゴリズムの部分が誤っていることを証明します。たとえば、クモへの恐怖は、クモに短時間徐々に触れることで対処され、患者の恐れが根拠のないものであることが明らかになります。驚くべきことは、特定のケースでは誤った認知に対する認識が行動のポジティブな変化につながるのが非常に早いことです。より良い思考は、より良い幸福感につながります。このことが8回の1時間のセッションで達成できるという事実は、CBTやその他の療法が人々を仕事に戻すための近道として急増する要因となっています。療法の高度に構造化された性質は、グループ、自己啓発書、さらにはスマートフォンのアプリなど、さまざまな形式で提供できることを意味します。この近道は非常に効果的であると考えられており、2008年に始まったイギリスの「心理療法へのアクセス向上（IAPT）」イニシアティブの基盤となりました。このプログラムは、イングランドにおける成人の不安障害やうつ病の治療を変革しました。経済学者リチャード・レイヤードは、当時の労働党政府に対して、人々を仕事に戻すことで節約できる金額が、このプログラムが自らを賄うことになると説得しました。2009年には、政府から3年間で3,000人以上のセラピストを訓練するために3億ポンドが提供されました。IAPTは、今日、世界で最も野心的なトーキングセラピーのプログラムとして広く認識されています。2019年には、100万人以上の人々がIAPTのサービスを利用してうつ病や不安を克服する手助けを受けました。時には、非常に短い介入しか許されない状況もあります。しかし、ケネディは、わずか3回のセッションに依存するCBTモデルの効果を支持するデータを示してくれました。マイケル・バークハムによって最初に提案されたこのモデルは「2プラス1」と呼ばれています。クライアントは、1時間のセッションを2回、1週間の間隔で受け、その後3か月後に3回目のセッションを受けます。増え続ける研究が、この非常に短い近道でも効果的であることを示しています。 例えば、2020年に『ランセット』に発表されたデータは、ウガンダにいる南スーダンの女性難民に対して、集中的な「2プラス1」モデルが心理的苦痛を有意に軽減したことを示しています。研究者たちは論文の中で、こうした資源が限られた人道的な状況において、メンタルヘルス支援を大規模に提供するためには革新的な解決策が必要であると強調しています。私がケネディのアプローチで共感したもう一つの側面は、新しい視点を探るためのツールとして図を使用することです。その一例が「認知の三角形」という図です。この図は、セラピストと患者が思考、感情、行動の統合的な性質を理解するのに役立ちます。時には、この三角形が四角形として描かれ、感情が二つの角に分かれます：感情と身体的感覚です。この形の流れに介入しなければ、思考が感情を引き起こし、それが患者が対処したいと望む非生産的な行動（外出への恐怖やクモへの恐怖症など）につながるという考え方です。しかし、サイクルを理解し意識することで、行動を変えるために早期に介入することが可能になります。この図は、患者のメンタルな地形の地図のようなものです。思考のネットワークから一歩引くことで、患者は自分が選べる異なる道があることを見えるようになります。ケネディは、患者ではなくセラピストに考えてもらうための別の図を紹介しています。「あなたがセラピストで、私がクライアントだと想像してください。私たちはロープの上にバランスを取っているシーソーの両端に座っています。そのロープはグランドキャニオンを横切っています。このバランスを保つことが非常に重要です。ある日、私はセラピーに来て、宿題を終え、変化を遂げたので、とても良い気分です。だから、シーソーであなたの方に移動します。すると、あなたはとても熱心で思いやりのあるセラピストなので、自然に私の方に移動します。しかし、次の週、私はもうこれができないと思ってセラピーに来ます。ひどい一週間を過ごし、何も上手くいかなかったので、ただ諦めたい気持ちです。私はシーソーであなたから離れます。あなたの本能は私の方に移動することですが、その場合、私たちはグランドキャニオンに落ちてしまいます。あなたが頑張れば頑張るほど、私はますます抵抗するでしょう。だから、あなたがすべきことは、私から離れることです。」これは非常に興味深いイメージです。なぜなら、ケネディはセラピーをシーソーのようにバランスを保つ必要がある方程式に変えたからです。ケネディや他の人々にとって、これらのショートカットの効果的な性質の証拠はデータにあります。その多くはオックスフォード大学の心理学教授デイビッド・クラークによって収集されています。毎週、数万のセラピストがクライアントからのデータを送信し、クラークは10年間データを集めてきました。彼はこのすべてのデータを公共の場に提供し、メンタルヘルスの結果についての透明性を促進しています。しかし、時には認知だけでは不十分なこともあります。 時には、脳を再配線するために必要な深く長期的な作業を置き換えるショートカットは存在しません。ケネディは、定型的な療法には欠点があることを認めています。「認知行動療法（CBT）は論理に基づいています。しかし、実際には自己受容や愛着、家族やグループ、そして世界の一部であることに関する他の要素も療法には含まれています。十分な育成があれば、それを修正したい場合、8回のセッションではできません。」その結果、CBTは時に大きな傷にバンドエイドを貼るようなものと見なされることがあります。短期的には出血を止めるかもしれませんが、傷の原因に対処しなければ、いつか再び傷が開いてしまいます。1時間のセッションを8回で脳を再配線することができるのでしょうか？一部のセラピストは、CBTが時に本物のショートカットではなく、手抜きをしているのではないかと懸念しています。セラピストのパートナーは、セッションの閉ざされた扉の向こうで何が起こっているのか常に興味を持っていると思います。それが、私は精神分析医スージー・オーバックの著書『Therapy』をシャニの本棚から引き抜いた理由の一つです。この好奇心が、オーバックがこの本を書く動機の一つであったことが分かりました。この本は、オーバック自身のパートナーであるジャンネット・ウィンターソンに捧げられており、「彼女は常にコンサルティングルームで何が起こっているのかを知りたがっていました。」オーバックはダイアナ妃の摂食障害を治療したことで有名になりました。彼女は本の中で、療法は単に新しいことをするために心と体を訓練することではなく、チェロを弾いたりロシア語を話したりすることではないと説明しています。まずは、何かを学び直すというはるかに難しい作業から始めなければなりません。「人間の本質は、母体の外での長い学びの結果です。私たちは歩いたり話したり考えたり感じたりする方法を知って生まれてくるわけではありません。私たちは、私たちを受け入れてくれる関係の中でそれを理解します。それらの関係は、時間や場所、経済的状況に埋め込まれ、私たちの心、感情、脳、欲望、行動、そして私たちの身体のあり方を構築します。」療法に時間がかかるのは、世界を理解するための基本的な方法に取り組む必要があるからです。オーバックが言うように、「療法では、新しい言語をレパートリーに加えるだけでなく、母国語の役に立たない部分を手放し、新しい文法の知識と織り交ぜるのです。」このアイデアをさらに探求するためにオーバックに連絡した際、彼女はこの点を強調しました。しかし、彼女は患者とのセッションで使用するショートカットもあることを認めました。オーバックと話して学んだ興味深いことは、パターンが果たす役割です。セラピストは、行動のパターンを見つけ出し、以前のケーススタディに対応させて新しい患者の行動計画を立てるのです。しかし、各ケースを個別かつユニークなものとして認識することとのバランスが必要です。「私が行う療法は、一人の人を深く研究することで教訓を引き出すものです。それがフロイトの遺産であり、ケーススタディなのです。」 それが完全に当てはまるわけではありませんが、50パーセント程度は当てはまるということです。ですから、これはある意味での近道であり、あなたの思考や認知、感情のレパートリーに埋め込まれている場合です。」これは心理学に存在する興味深い緊張関係の一つです。一方では、症例研究のようなものがあり、患者が特定の行動を持って来るため、科学に近い側面があります。医師は、症状を以前の症例研究に照らし合わせて、患者を病気から導くための手助けをします。同様に、行動パターンは、セラピストが患者を理解するための近道を提供し、数学者が以前の方法論を適用して新しい問題を解決するのと同じように役立ちます。しかし、各個人の心理の独自性は、再現性が得られないことを意味します。各ケースは個別であり、個別の治療が必要です。これがセラピストであることの科学ではなく、芸術の部分です。「セラピーはオーダーメイドの技術であり、各治療ペアやグループが新しい状況に応じて反応を生み出します」とオルバッハは言います。「一つの真実が別の真実を開くことがあり、それが最初に理解されたことに影響を与えることがあります。人間の心の複雑な構造は、セラピーの過程で変化します。内部構造の変化や感情の拡張を観察することは非常に満足感があります。防衛機制がどのように使われ、どのように回避され、時間が経つにつれて解消されるかを見ることには、数学者や物理学者が優雅な方程式を見つける経験に似た美しさがあります。」オルバッハは、彼女が新しい患者にアプローチする方法は、私が数学者として新しい問題に取り組む方法とあまり変わらないと示唆しました。「潜在的な患者の評価を行うとき、私は内部の対象関係や防衛構造、感情などの幾何学的なイメージを持っているかもしれません。多くのことが頭の中で進行していますが、それが何であるかを理解するためには書き出さなければなりません。これが近道を形成しますが、これは私が40年もこの仕事をしてきたからこそ得られたものです。」いつものように、ここには繰り返されるテーマがあります。近道は簡単には得られず、多くの年数の努力が必要です。私はオルバッハがCBT（認知行動療法）がセラピーで近道として使われることについてどう考えているのかを尋ねました。オルバッハは、このほぼアルゴリズム的なアプローチに懐疑的であると答えました。「私はマニュアル化されたセラピーを信じていません。それが無駄だということですか？いいえ。何かは何もないよりはましです。しかし、8週間または8セッションで良くなるべきなのでしょうか？多くの[IAPT]の問題は、しばしばセラピストでない人が行っていることであり、これは非常に高度な技術を要する仕事です。」実際、CBTの治療の一部はAIセラピストによって提供されています。オルバッハは、セラピーを従うべき公式に還元することはできないと考えています。「人間の主観性は軽視できるものではありません。」 「それは無限に複雑で美しいものです。」認知行動療法（CBT）は、患者が特定の思考パターンを見つけ出し、それがどこから来るのかを理解するための枠組みを構築する力を持っているかもしれません。意識を持つことで、患者はこれらの否定的な自動思考を短絡的に回避する行動を取ることができます。しかし、オーバックにとって、これは療法の本質的な特質を見逃しているのです。というのも、これらのパターンはしばしばアイデアのレベルでは機能しますが、感情のレベルでは機能しないからです。そして、これが彼女が療法を真に短縮することはできないと信じる理由の鍵となります。感情は高次の認知や意識において重要な役割を果たします。感情のレベルに触れずに意識を変えることはできません。感情は数十年にわたって発展する認知構造を作り出します。例えば、オーバックは「あなたには防衛構造があるので、特定の行動を再現していることを理解するかもしれません。それは私の中に埋め込まれていて、例えば『愛は憎しみを意味する』とか『愛は殴ることを意味する』というように理解しています。私はそれを理解しましたが、その感情的な要素は信じられないほど複雑です。だからもちろん、それは助けにはなりますが、基本的には…」この時、彼女は大きなため息をつきました。「簡単ではありません。」 第8章 パズル：どれにお金をかけるべきか？ 1. サイコロを6つ振って、少なくとも1つの6が出ること。 2. サイコロを12個振って、少なくとも2つの6が出ること。 3. サイコロを18個振って、少なくとも3つの6が出ること。現代の生活は、さまざまな可能性のある結果を評価することに基づく一連の決定で成り立っています。リスク分析は、私たちが日々の生活を進める上で不可欠な部分です。今日は28％の確率で雨が降るが、傘を持っていくべきか？ 新聞は、ベーコンを食べると大腸癌のリスクが20％増加すると報じているが、ベーコンサンドイッチをやめるべきか？ 自分の事故のリスクを考えると、自動車保険は高すぎるのか？ 宝くじを買う意味はあるのか？ ボードゲームをしているときに次のサイコロの振りで梯子を下る確率はどれくらいか？ 多くの職業は、重要な決定を下すために確率を計算する必要に直面しています。株価が上がるか下がるかの確率は？ DNA証拠が提示された場合、被告はその犯罪に対して有罪なのか？ 医療検査における偽陽性について患者は心配すべきか？ サッカー選手はペナルティを取るときにどこを狙うべきか？ 不確実な世界を交渉することは挑戦的な作業です。しかし、霧の中を進む道を見つけることは不可能ではありません。数学は、ゲームから健康、ギャンブルから金融投資までの不確実性をナビゲートするための強力なショートカットを開発しました。それが確率の数学です。サイコロを振ることは、このショートカットの力を探求する最良の方法の一つです。この章の冒頭の課題は、17世紀の有名な日記作家サミュエル・ピープスが取り組んだものでした。ピープスは偶然のゲームに魅了されていましたが、サイコロの振りで自分の苦労して得た現金をリスクにさらすことには常に慎重でした。1668年1月1日の彼の日記にはこう書かれています。 彼が劇場から帰る途中、「怠け者たちや不良の徒弟たちが遊んでいるのを見かけた」と彼は回想する。子供の頃、使用人に連れられて、サイコロを振って運を試みる男たちを見に行ったことを思い出す。「一人が負けを受け入れる様子が他の人とどれほど違うか、ある者は罵り、怒鳴り、またある者はただ独り言をつぶやき、不満を漏らすだけ、そして三人目は全く不満を持っていないように見えた」と彼は語る。劇場に一緒に行った友人、ブリスバンド氏は、彼に£10を渡して自分の運を試すよう提案した。「初めて負けた男は知られていない、悪魔はギャンブラーを落胆させるほど愚かではないから」と彼は言った。しかし、ペピスはそれを断り、自分の部屋に逃げ帰った。子供の頃にサイコロが振られるのを見た時、彼には有利に働くような近道はなかった。しかし、その間にすべてが変わった。というのも、フランスの向こう側で、ピエール・ド・フェルマーとブレーズ・パスカルという二人の数学者が、ギャンブラーにお金を稼ぐための潜在的な近道、あるいは少なくとも損失を減らす方法を提供する新しい考え方を考案したからだ。ペピスは、フェルマーとパスカルがサイコロを悪魔の手から引き離し、数学者の手に渡すために成し遂げた突破口についてまだ知らなかったのかもしれない。今日、ラスベガスからマカオまでの世界中のカジノでは、彼らが始めた確率の数学が、「怠け者たちが遊ぶ」ことを犠牲にしてカジノを運営する鍵となっている。 さて、どのくらいの確率なのか？フェルマーとパスカルは、ペピスが考えていたのと似た挑戦を聞いたことから、近道を思いつくインスピレーションを得た。共通の知人であるシェヴァリエ・ド・メールは、次の二つの賭けのうちどちらが良いかを知りたがっていた。 (A) サイコロを四回振って6が出ること (B) サイコロを二つ振って24回で二つの6が出ること シェヴァリエ・ド・メールは実際には騎士ではなく、アントワーヌ・ゴンボーという学者であり、彼の考えを表現するためにその名前を使っていた。しかし、その名前は定着し、友人たちは彼をシェヴァリエと呼ぶようになった。彼はサイコロの謎を解くために、長い道のりを選び、何度もサイコロを振る実験を行ったが、結果は決定的ではなかった。そこで彼は、マリン・メルセンヌというイエズス会の僧侶が主催するサロンにこの問題を持ち込むことにした。メルセンヌは当時パリで知的活動の中心地のような存在であり、興味深い問題を受け取り、他の知人たちにその問題についての洞察を求めて送っていた。シェヴァリエ・ド・メールの挑戦に関しては、彼は見事に選択をした。フェルマーとパスカルの反応は、この章の近道、確率の理論を確立することだった。長い道のりがシェヴァリエ・ド・メールにとってどちらの選択が最良の賭けかを決めるのに役立たなかったのは驚くべきことではない。 フェルマーとパスカルが確率の新しいショートカットをサイコロに適用したところ、選択肢Aが52％の確率で、選択肢Bが49％の確率で発生することがわかりました。ゲームを100回プレイすると、サイコロのランダムなゲームに入り込む誤差がこの違いを簡単に隠してしまいます。真のプレイパターンが現れるのは、約1000回のゲームを行った後かもしれません。だからこそ、このショートカットは非常に強力なのです。多くの労力をかけて実験を繰り返す必要がなくなり、問題に対する感覚を誤って掴むことを避けられます。フェルマーとパスカルが考案したショートカットの興味深い点は、それが長期的に優位性を得るのに役立つということです。個々のゲームでギャンブラーが勝つためのショートカットではありませんでした。それはまだ神々の手の中にありました。しかし、長期的には大きな違いを生むのです。だからこそ、これはカジノにとっては素晴らしいニュースであり、一回のサイコロ投げで簡単に儲けようとする怠け者のギャンブラーにとってはあまり良いニュースではありませんでした。 ロンドンに戻ると、ペピスは帰宅途中に見かけたプレイヤーたちが7を出そうとする様子に魅了されて書きました。「彼らの無駄な呪いと罵りを聞くのは面白い。ある男が7を出そうとして、何度も失敗した後、『生きている間にもう一度7を投げることができるとは思えない』と叫んだ。彼の絶望は非常に大きかったが、他の人たちは運が良ければほぼ毎回7を出していた。」その男は特に運が悪かったのでしょうか？フェルマーとパスカルが2つのサイコロで特定のスコアを出す確率を計算するために考案した戦略は、サイコロがどのように転がるかのすべての異なる方法を分析し、その中で7を出す可能性の割合を見ることでした。最初のサイコロが出る方法は6通りあり、これを2番目のサイコロの6通りと組み合わせると、合計36通りの異なる組み合わせが得られます。その中で7を出すのは6通りです：1+6、2+5、3+4、4+3、5+2、6+1。これらの異なる組み合わせはすべて同じ確率で起こるため、サイコロが7のスコアになるのは36回中6回だと主張しました。実際、2つのサイコロで得られる最も可能性の高いスコアは7です。しかし、7が出ない確率は6分の5です。このことを考えると、ペピスが見た男性が7を出せずに何度も失敗したことに対して、どれほど運が悪かったのでしょうか？彼がサイコロを4回振って7を出せなかった確率はどれくらいでしょうか？すべてのシナリオを考えるのはかなり daunting ですが、364 = 1,679,619通りの異なる結果があります。しかし、フェルマーとパスカルが助けてくれます。なぜなら、ショートカットがあるからです。4回のロールで7が出ない確率を計算するには、各ロールの確率を単純に掛け算すればよいのです：5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 = 0.48。これは、4回連続で7が出ない確率がほぼ半々であることを意味します。逆に言えば、2つのサイコロを4回振った場合、7が出る確率もほぼ半々であるということです。 同じ分析から、サイコロを4回振った後に6が出る確率も同じく偶然であることが証明されます。したがって、ペピス氏が4回の投げで7が出なかったという事実は、それほど驚くべきことではありません。これは、コインを1回投げて表が出ないのと同じです。7がサイコロの出目の中で最も出やすいという事実は、バックギャモンやモノポリーなどのサイコロを使った多くのゲームで有利に働くことがあります。例えば、モノポリーのボード上で「刑務所」は最も訪問されるマスです。これを2つのサイコロの出目の分析と組み合わせると、刑務所のマスに止まった後、多くのプレイヤーがオレンジ色のプロパティを他の場所よりも頻繁に訪れることがわかります。したがって、オレンジ色のプロパティを手に入れてホテルを建てれば、ゲームをプレイする上で重要な優位性を得ることができるでしょう。 巧妙なショートカット：反対を考える フェルマーとパスカルが行った計算には、数学者がよく使うもう一つの巧妙なショートカットが隠れています。もし私がサイコロを4回振って7が出る確率を計算するという課題から始めたらどうなるでしょうか？明らかに、単一の7が出る確率を4回掛け合わせることでその確率に到達することはできません。その計算は、4回連続で7が出るという稀なケースを示すだけです。代わりに、出る可能性のある7のすべての組み合わせを考慮する必要があります。最初の投げで7が出て、その後は7が出ない確率、または最初の2回で7が出ず、最後の2回で2つの7が出る確率を計算しなければなりません—これもまた面倒な作業です。しかし、ここに強力なショートカットがあります。私が興味を持たないケースはただ一つ：7が全く出ないことです。しかし、この確率は計算が簡単です。したがって、問題に正面から取り組むのではなく、否定的な側面を見てみましょう。私は、どんな問題に取り組んでいるときでも、これが非常に強力なショートカットだと感じています。問題に正面から取り組むのが複雑すぎる場合は、反対の側面を考えてみてください。例えば、意識を理解することは難しい科学的問題ですが、何かが意識を持たないときに分析することで、より直接的な課題に対する新しい洞察を得ることができることがあります。これが、深い睡眠や昏睡状態の患者を分析することで、科学者が目覚めた脳が意識を持つ理由を理解するのに役立つ理由です。この否定的な挑戦を通じたショートカットは、次の問題を解決するための鍵となります：イギリスでは、週末にプレミアリーグで10試合のサッカーが行われます。その中で、同じ誕生日を持つ2人の選手がフィールドにいる割合はどのくらいでしょうか？一見すると、それはかなり稀な出来事のように思えます。おそらく10分の1でしょうか？この直感は、「もし私が今週末サッカーをしていたら、フィールドにいる誰かが私と同じ誕生日を持っている確率はどのくらいか？」という質問と同じだと考えることによって影響を受けています。その確率は約5パーセントです。要するに、あなたはフィールド上の各選手と自分をペアにすることだけを考えています。しかし、他のすべての可能なペアリングはどうでしょうか？ 誕生日を共有するのはあなたである必要はありません。この洞察を得ると、問題はより複雑になり、人々がペアになる方法がたくさんあることがわかります。しかし、否定的な問題を考えるというショートカットを使うことで、この問題を解くためのはるかに効率的な方法があります。フィールド上の誰もが同じ誕生日を持たない確率はどれくらいでしょうか？これを計算できれば、1からこの値を引くことで、誕生日を共有する2人がいる確率が得られます。 サッカーの試合に参加する各選手が順番にフィールドに出てくるとしましょう。まず私が走り出します。次に別の選手が走り出ます。彼が私とは異なる誕生日を持つ確率はどれくらいでしょうか？答えは364/365です。彼はただ私の誕生日、つまり8月26日を避ければいいのです。次の選手が走り出すと、その選手は私と2番目の選手の誕生日の両方を避けなければなりません。選択肢はまだ363日残っているので、私たちの誕生日のいずれかを持たない確率は363/365です。フィールドに3人いる場合、誰も同じ誕生日を持たない確率は364/365 × 363/365になります。これを続けて、22人の選手とフィールドにいる審判を全員呼び入れます。別の人がフィールドに入るたびに、避けるべき誕生日の数が増えていきます。審判が入る頃には、すでにフィールドにいる22人の誕生日を避けなければならないので、その確率は(365 - 22) / 365 = 343 / 365です。23人全員がフィールドにいるときに、誰も同じ誕生日を持たない確率を計算すると、364/365 × 363/365 × 362/365 × ... × 344/365 × 343/365 = 0.4927 となります。これは私たちが求めているものの逆の計算です。これをひっくり返すだけで、同じ誕生日を持つ2人がいる確率は1 - 0.4927 = 0.5073です。驚くべきことに、誕生日の一致がある可能性が高いのです。つまり、プレミアリーグの各週末に行われる10試合のうち平均して5試合では、フィールド上に同じ誕生日の2人がいることになります。興味深いことに、その確率はおそらくさらに高いでしょう。なぜなら、プロサッカー選手は9月や10月の初秋に誕生日を持つ可能性が高いという証拠があるからです。なぜでしょうか？学校では、学年の初めに生まれることが、8月に生まれた私のような子供よりも身体的に発達している可能性が高く、したがって強く、速く、学校のサッカーチームに選ばれる可能性が高くなり、試合をする経験を得ることができるからです。私は学校でレースに勝てなかった理由を鮮明に思い出します。そしてある夏、私たちの町のフェアで、年齢グループに応じて走るレースに参加しました。夏だったので、私はまだ誕生日を迎えておらず、同じ学年の子供たちはすでに1歳年を取っていました。そのため、私は学校での学年よりも下の子供たちと競うことになったのです。 私は初めてフィニッシュラインを一番で越えたとき、子供たちを下の学年に置いてきたことに完全に驚きました。しかし、痩せっぽちの若い私は、図書館に座って数学の天才になることで妥協しなければなりませんでした。 カジノへの近道 ラスベガスでは、カジノが常にゲームをハウスの有利にする新しい近道を探しているため、数学者が高く評価されています。クラップスというゲームは、ペピスが観察したゲームから進化したものです。クラップスに賭けるのは非常に複雑なビジネスで、ゲームのダイナミクスによって変わりますが、いつでも次のサイコロのロールで7が出ると賭けることができます。平均して、これは6回に1回起こることをすでに説明しました。しかし、もしこの賭けに1ドルを置いて勝った場合、カジノはあなたの1ドルに対して4ドルしか支払いません。このゲームを公平にするためには、5ドル支払う必要があります。これは、クラップステーブルで最も悪い賭けの一つであり、ハウスに16.67パーセントの優位性を与えます。これは、ギャンブラーがこの賭けをするたびにカジノが得る利益（平均）です。もしどうしても7に賭けたいのであれば、ハウスの優位性を減らすためのより良い方法があります。それは、賭けを3つに分けることです。7が出る賭けを1つする代わりに、3つの賭けをします。1つの賭けはサイコロが1と6になることに、2つ目は2と5、3つ目は3と4に賭けます。これをホップベットと呼びます。これらの3つの賭けをすることは、合計で7が出ることに賭けるのと実質的に同じですが、ホップベットは7に直接賭けるよりも良い配当を得るチャンスを提供します。ハウスは、ホップベットをするたびに平均して11.11パーセントの利益を得ます。ラスベガスのすべてのゲームは、長期的にハウスが優位を得るように慎重に分析されていますが、ギャンブルをしたいのであれば、パスカルとフェルマーが開発したツールを使って、他の場所よりもお金を失うのが遅くなる可能性が高い場所を見つけることができます。 例えば、クラップスには、実際にハウスが勝つ確率に応じて支払う賭けがあります。これはカジノの中で、ゲームがハウスの有利に偏っていない唯一の場所です。クラップスは、プレイヤーが目標スコアを設定し、その後サイコロを振ることで進行します。目標スコアは、4、5、6、8、9、10のいずれかでなければなりません。サイコロが2、3、7、11、または12が出た場合、ゲームは終了します。7または11はプレイヤーの勝ち、2、3、または12は負けのスコアで「クラッピングアウト」と呼ばれます。目標が設定された場合、目指すのは7が出る前にそのスコアを再度出すことです。公平な賭けは、この目標が7よりも先に出ることに賭けることです。例えば、目標が4に設定されたとします。もし7が出る前に4が再び出ることに1ドル賭けた場合、カジノはこの場合、あなたの1ドルの賭け金に対して2ドルを支払い、合計3ドルを返します。これは、実際にその確率と一致しています。4が出る方法は3通り、7が出る方法は6通りあるため、この賭けに勝つのは3回に1回だけです。 これは、カジノが自らの利益を確保するためにオッズを有利に設定し、手数料を取らずに支払う賭けです。このことを知っても、簡単にお金を稼げるわけではありませんが、少なくともお金を無駄にしているわけではないことがわかります。このシナリオに賭けるということは、長い目で見ればトントンになるはずです。ここでちょっとした挑戦をしてみましょう。ルーレットのホイールに移動します。あなたは20ドルを持っています。目標はお金を倍にすることです。赤に賭けて、それが当たれば、あなたはお金が倍になります。どの戦略が成功する可能性が高いでしょうか？戦略A：全額を一度に赤に賭ける。戦略B：ホイールの回転ごとに1ドルを赤に賭ける。最初はあまり関係ないように思えるかもしれませんが、ルーレットには少しひねりがあります。36の数字があり、その半分が赤、半分が黒ですが、37番目の数字、すなわちゼロ（緑色）も存在します。ボールがここに止まると、赤でも黒でも賭けたお金を失います。ここがカジノが全てのプレイヤーに勝つ場所です。一見無害に見えますが、カジノはこれが長期的に利益を上げるための近道であると計算しています。つまり、赤にお金を賭けても勝つ確率は均等ではなく、わずかに不利な18/37の確率です。仮に、あなたが赤に1ドルずつ37回賭けて、運良く37回のスピンで各数字が一度ずつ出たとします。そうすると、18回は1ドル勝ち、19回は1ドル負けるので、最終的には36ドルしか残りません。これは、プレイするたびにカジノに1ドルあたり1/37ドル（約0.027ドル）を支払っていることを意味し、カジノに2.7％のアドバンテージを与えています。プレイすればするほど、支払う額が増えます。戦略Aでは、20ドルを一度に賭けてお金を倍にする確率は18/37、つまり約48％で、ほぼ均等です。しかし、戦略Bを選ぶと、1ドルの賭けごとに支払うことになるため、この戦略は徐々にお金を倍にする目標から遠ざかってしまいます。実際、この戦略で長期的にお金を倍にする確率はわずか25％です。戦略Aが最も良い賭けですが、カジノにいる時間はかなり短くなります。戦略Bはより楽しい夜になるかもしれませんが、そのエンターテイメントには代償が伴います。カジノでハウスに対してアドバンテージを得るために行くべき場所はブラックジャックテーブルだと聞いたことがあるかもしれません。数学者エドワード・ソープは1960年代に、ディーラーや他のプレイヤーの手を研究することでアドバンテージを得られることを解明しました。この方法はカードカウントと呼ばれています。ブラックジャックでは、21以下の合計を目指し、ディーラーの手を上回るカードを得ることが目的です。21を超えるとバーストして負けてしまいます。カードカウントが機能する重要な事実は、ディーラーのカードの合計が16以下の場合、ディーラーは必ずもう1枚カードを引くということです。デッキには10ポイントの価値を持つカードが16枚（10、ジャック、クイーン、キング）あります。 もし、デッキにまだ多くのカードが残っていることを知っていれば、ディーラーがカードを引かなければならない場合、バーストする可能性が非常に高くなることを意味します。カードカウントは、すでにプレイされた高価値カードの数と、デッキに残っている高価値カードの数を追跡するシンプルな方法です。デッキに高価値カードがまだ多く残っている場合、カジノがバーストする可能性が高くなるため、この状況では高額ベットをするのが理にかなっています。一般的にカジノは、1つのデッキではなく、6〜8デッキを使用することでカウントの効果を最小限に抑えようとしますが、カウントは依然としてあなたに有利に働くことがあります。映画『21』は、MITの数学者チームがトープのショートカットを実行するためにラスベガスを訪れた実話を dramatized しています。オタクの数学者たちは非常にセクシーでクールに描かれており、この映画はおそらく全国の数学学部の採用活動を合わせたよりも、数学の大学入学に対して多くの影響を与えたでしょう。一見すると、これは金持ちになるための素晴らしいショートカットのように見えます。しかし、実際にこの戦略を適用してお金を稼ぐのにどれくらいの時間がかかるかを分析したところ、必要な時間を考慮すると、最低賃金以下の収入になってしまうことがわかりました。MITチームの成功には運も関与していたようです。 エントリーフィー 次のゲームをプレイするためにいくら支払う準備がありますか？私がサイコロを振り、出た目の数だけドルで支払います。サイコロを振って6が出る確率は1/6で、6ドルを獲得します。他の選択肢もすべて1/6の確率で発生します。6回振ると、1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21ドルになる可能性があります。したがって、1回の振りでの平均支払いは21/6 = 3.50ドルです。もし誰かがこの金額より少ない金額でプレイする機会を提供してきたら、長期的にはあなたが勝者になるので、プレイする価値があります。お金をかけてゲームをプレイするたびに、平均的な支払いがどのくらいになるかを評価し、そのゲームがプレイする価値があるかどうかを判断するのが賢明です。 フェルマーとパスカルの間の通信が、確率ゲームに数学を適用できることを発見するきっかけとなりましたが、確率の数学はスイスの数学者ヤコブ・ベルヌーイによる『アールス・コンジェクタンディ』（推測の技術）の出版によって本格化しました。ヤコブは、微積分に関する論争でライプニッツを支持したベルヌーイ家の一員でした。ここで、あなたがどのゲームに対して支払うべき公正な価格の公式を見つけることができます。N個の可能な結果があるとしましょう。結果1が発生した場合、あなたはWドルを獲得します。これは確率Pで発生します。同様に、結果2が確率Pで発生した場合、あなたはWyドルを獲得します。平均して、このゲームはプレイするたびにW1 * P1 + ... + Wy * Pyドルを稼ぎます。したがって、もし誰かがこの金額より少ない金額でゲームをプレイする機会を提供してきたら、長期的にはあなたが勝者になるでしょう。例えば、サイコロゲームでは6つの結果があり、確率P1,..., P6はすべて1/6で、賞金W1,..., W6は1ドルから6ドルまでの範囲です。 この公式は妥当に思えましたが、ヤコブ・ベルヌーイのいとこニコラウスが、ほとんどエディプス的な行為で次のようなゲームを考案しました。私がコインを投げます。もし表が出れば、あなたに2ドル支払い、ゲームは終了します。裏が出た場合は、再度投げます。もし2回目の投げで表が出れば、あなたに4ドル支払います。裏が出た場合は、再び投げます。投げるたびに支払いは倍増します。例えば、6回裏が出てから表が出た場合、私は2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 27 = 128ドルを支払います。ニコラウスのゲームをプレイするために、あなたはいくら支払う準備がありますか？4ドル？20ドル？100ドル？最初の投げで表が出る確率は50％なので、あなたは2ドルしか得られない可能性があります。したがって、P₁ = 1/2、W₁ = 2です。しかし、あなたはできるだけ大きな賞金を得るために、裏が続いてから表が出ることを期待しています。裏が出てから表が出る確率は1/2 x 1/2 = 1/4です。この場合、あなたは4ドルを得ます。したがって、2回目の結果はP₂ = 1/4ですが、W₂ = 4です。ゲームを続けるにつれて、確率は小さくなりますが、支払いは大きくなります。例えば、6回裏が出てから表が出る確率は(1/2)⁶ = 1/128ですが、あなたは2⁷ = 128ドルを得ます。もし7回投げた後にゲームを止めた場合、7回連続で裏が出たときだけ損をします。ヤコブの公式を使うと、平均支払いはW₁ * P₁ + ... + W₇ * P₇ = (1/2 x 2) + (1/4 x 4) + ... + (1/128 x 128) = 1 + 1 + ... + 1 = 7ドルになります。したがって、誰かがあなたに7ドル未満でプレイさせてくれるなら、ゲームをプレイする価値があります。しかし、ここに落とし穴があります。ニコラウスは、表が出るまで無限にゲームを続ける準備ができています。あなたは毎回勝者です。では、あなたはいくら支払ってこのゲームをプレイしますか？今や選択肢は無限にあります。公式によれば、平均支払いは1 + 1 + 1 + ...、つまり無限ドルです！もし誰かがこのゲームをあなたとプレイしたいと言ったら、プレイする価値があります。もし入場料が2ドルを超えるなら、最初の投げで表が出た場合、50％の確率で損をします。それでも、長い目で見れば、ゲームを何度もプレイし続けると、数学的にはあなたが得をすることになります。しかし、なぜほとんどの人がこのゲームに10ドル以上支払おうとはしないのでしょうか？これは、ニコラウスのいとこダニエルにちなんで名付けられたセント・ペテルブルクの逆説と呼ばれています。彼はセント・ペテルブルクのアカデミーで働いている間に、なぜ合理的な人がこのゲームにいくらでも支払おうとしないのかの最初の説明を考案しました。その答えは、どんな億万長者でも言うことです：最初の100万ドルは、2番目の100万ドルよりもはるかに価値があります。公式に入れるべき数字は、あなたが得る正確な金額ではなく、その賞金があなたにとってどれだけの価値があるかです。このようにして、このゲームをプレイするための価格は、結果の価値に応じて変わります。ダニエルの解決策は、単なる数学的ゲームの好奇心を超えて、現代経済学の基礎となっています。億万長者になるための近道が実際にはそれほど近道ではないことを示すために、次の質問を考えてみてください：もし1秒ごとにゲームをプレイできるとしたら、26⁰回のゲームをプレイするのにどれくらいの時間がかかるでしょうか？ これは、セント・ピータースバーグゲームでエントリー価格が60ドルだった場合に、損益分岐点に達するために期待されるゲームの数です。その答えは、360億年を超えます。宇宙の年齢はせいぜい140億年です。これが、多くの人がゲームをプレイするために恣意的な価格を支払わない理由の一つです。 「ヤギと車」 1960年代のアメリカのゲームショー「レッツ・メイク・ア・ディール」に関する問題は、世界中の人々、特にプロの数学者たちを巻き込んで、最適な戦略について大きな議論を引き起こしました。このゲームショーの最終ラウンドは、次のように進行します。私には3つのドアがあります。2つのドアの後ろにはヤギがいて、もう1つのドアの後ろには新車のスポーツカーがあります。以下の分析では、参加者がヤギではなく車を勝ち取りたいと仮定します。参加者はドアを選びます。例えば、ドアAを選んだとしましょう。ここまでは非常に単純です。ドアの後ろに車がある確率は1/3ですよね？しかし、ここからがひねりの部分です。ホストはヤギの場所を知っていて、他のドアの1つを開けてヤギを見せます。そして、あなたに元のドアに留まるか、交換するかの選択を提供します。あなたはどうしますか？ ほとんどの人の直感では、今は2つのドアがあるので、最初に選んだドアの後ろに車がある確率は50-50だと思うでしょう。この考え方によれば、ここで交換しても勝つ確率は変わらず、もし最初に正しいドアを選んでいたら後悔することになるでしょう。だからほとんどの人はそのままにします。しかし、実際には交換することで勝つ確率が2倍になります。これは奇妙に聞こえるかもしれませんが、その理由はこうです。 あなたが勝つ確率を計算するためには、交換するさまざまなシナリオを考え、それぞれのシナリオで勝てる場合を数えなければなりません。シナリオA：車はあなたが選んだドアAの後ろにあります。あなたは交換してヤギを得ます。シナリオB：車はドアBの後ろにあります。ゲームショーホストはドアCを開けてヤギを見せます。あなたはドアBに交換して車を勝ち取ります。シナリオC：車はドアCの後ろにあります。ゲームショーホストはドアBを開けてヤギを見せます。あなたはドアCに交換して車を勝ち取ります。これらのシナリオはすべて同じ確率で起こります。しかし、3つのうち2つのシナリオでは車を勝ち取ることができます。もしそのままにしておけば、その戦略では勝つ確率は1/3です。交換することで、実際には勝つ確率が2倍になるのです！ もしこれが理解できなかったり信じられなかったりしても心配しないでください。この説明は雑誌に掲載され、1万人以上の人々、数百人の数学者が間違っていると抗議の手紙を送りました。20世紀の偉大な数学者の一人、ポール・エルデシュでさえ、正しく考える前は間違っていました。しかし、もし納得できないなら、次のように考えてみてください。3つのドアの代わりに、100万のドアがあると想像してみてください。ゲームショーホストはどのドアに賞品が隠れているかを知っています。あなたはランダムにドアを選びました。正しいドアを選ぶ確率は100万分の1です。今、ゲームショーホストは他のドアのうち1つを除いてすべてを開け、999,998匹のヤギを見せます。 残されたドアは2つ、あなたが選んだドアと、ゲームショーの司会者がまだ開けていないドアです。今、あなたは切り替えたくなりませんか？ポイントは、他のドアが開けられるときに、司会者から情報が与えられているということです。彼はどこにヤギがいるかを知っています。設定を変えると、状況が変わることがあります。例えば、あなたが別の参加者と対戦しているとしましょう。あなたはドアを選び、彼らは残りのドアの中から1つを選びます。そのドアが開けられ、ヤギが現れます。さて、あなたはどうしますか？奇妙なことに、あなたが持っている情報は同じに見えます—2つのドア、1つは車、もう1つはヤギですが、今回はそのままにしておくと車を得られる確率は本当に50-50です。違いは、今回は考慮すべき別のシナリオがあることです：もしあなたのドアにヤギが入っているなら、2番目の参加者は車の入ったドアを選んでいる可能性があります。前のシナリオでは、司会者が常にヤギを明らかにするため、これは起こり得ませんでした。百万のドアのシナリオを想像してみてください。あなたの対戦相手は999,998のドアを開け、すべてヤギが出てきます。彼らは車を得られなかったのは非常に運が悪いですが、この不運からは残りの2つのドアについて何も学ぶことはできません。今や、最後の2つのドアの間で50-50の確率になっています。 ベイズの神父の確率論は、未来の出来事を考えるときに非常に理にかなっているように思えます。もし私がサイコロを2つ振ろうとしているなら、6通りの可能性のうち1通りがサイコロの合計が7になるシナリオです。この確率は、私にとってもあなたにとっても同じです。なぜなら、私たちは未来の何かに価値を置いているからです。しかし、もしあなたがサイコロを振り、その結果を私から隠したらどうなるでしょう？その振りはすでに起こったことです。それは過去の出来事です。確実に7かそれ以外のどちらかです。その間には何もありません。問題は、私がその答えを知らないことです。この出来事に確率を割り当てることはできます（ただし、これを議論の余地があると考える人もいます）。あなたにとっての確率は、あなたが情報を持っているため異なります。私の確率は、状況に対する私の無知を定量化しています。突然、確率は私たちそれぞれが持っている情報の量に依存するようになります。これが、認識的不確実性の定量化です。私がその出来事についての情報を得るにつれて、私の確率は変わります。しかし、新しいデータを考慮して、今どのような値をその出来事に割り当てるべきかを追跡するための数学を考案することは、さまざまな考え方を生み出しました。例えば、あなたがテーブルの上に白いビリヤードボールをランダムに投げ、その位置を秘密にマークしてからボールを取り除いたとします。私には情報がないので、ボールがどこに着地したかを推測するために線を引くように言われたら、真ん中に線を引くのが妥当でしょう。しかし、今度は5つの赤いボールを投げ、あなたが最初の白いボールがどの赤いボールの間に着地したかを教えてくれたとしましょう。もし片側に3つ、もう片側に2つあったら、私の推測は2つのボールがある側に寄ることになります。しかし、この新しい知識をもとに、どれくらい線を押し進めるべきでしょうか？ いくつかの考え方では、テーブルの2/5の位置で線を引くべきだと言われています。しかし、確率論の中で物議を醸す人物であるトーマス・ベイズは、実際には3/7の位置で線を引くべきだと提案しました。その理由は、あなたの分析に欠けている追加情報があるからです。それは、何も知らなかった時点では、ランダムなボールが左側にいるか右側にいるかの確率が50-50だったという事実です。ベイズは、この2つの追加情報を考慮に入れて線を引く位置を決定します。彼はタントブリッジ・ウェルズで説教をしていた非主流派の牧師であり、同時にアマチュアの数学者でもありました。1761年に亡くなりましたが、彼が残した文書の中には、部分的な情報しかない場合に事実に確率を割り当てるというアイデアを説明した原稿が含まれていました。この原稿は後にロイヤル・ソサエティによって「確率論の問題を解決するためのエッセイ」というタイトルで出版されました。この論文のアイデアは、限られた情報に基づいて事実に確率値を割り当てる現代の実践において非常に影響力を持つようになりました。法廷では、弁護士が誰かが犯罪を犯した可能性に確率を割り当てようとします。実際、その人は有罪か無罪のどちらかですので、この確率の割り当てはある意味で非常に奇妙です。これは単に私たちの認識的不確実性を測る手段に過ぎません。しかし、ベイズによれば、新たに集めた情報を加えることで確率は変化します。しばしば陪審員や裁判官はベイズの考え方の微妙な点を理解しておらず、裁判官はこれらの数学的手法を法廷で受け入れられないものとして却下しようとすることさえあります。出来事に確率を割り当てることは、不確実性を理解するための近道としてしばしば誤用されます。問題は、一般の人々が偶然についての直感を持っていないことです。だからこそ、私たちは道に迷わないために数学に頼る必要があるのです。次の例を考えてみましょう。犯罪を犯した人物がロンドン出身であると言われています。被告もロンドン出身です。しかし、それは非常に薄弱な証拠です。現時点で、私たちが犯罪者を捕まえた確率は1/1000万です。陪審員は、現場で見つかったDNAが被疑者のDNAと一致し、そのDNAが実際には被疑者以外の誰かに属する確率が1/100万であると告げられます。それは確実性のように聞こえ、多くの人はその証拠だけで有罪判決を下すでしょう。しかし、ベイズは被疑者が有罪である確率をどのように更新すべきかを説明する手助けをします。ロンドンの人口が1000万人であるなら、犯罪現場のDNAと一致するDNAを持つ人はロンドンに10人いることになります。つまり、被告が有罪である確率は1/10です。確実な有罪判決に見えたものが、もはやそれほど明確ではなくなったのです。 この事例は理解しやすいですが、法廷でのベイズの定理の多くの使い方は、はるかに複雑で、さまざまな種類の証拠が関与し、罪の確率を計算するためにコンピュータソフトウェアが必要です。問題なのは、裁判官が数学を理解していないことが多く、専門家の証拠を法廷から排除してしまうため、ひどい冤罪が生じることです。医療も確率がよく引用される分野の一つで、ここでもこのショートカットの使い方を理解していないと、期待していた結果から遠く離れてしまうことがあります。例えば、乳がんや前立腺がんの検査を受けて、検査ががんを90％の確率で正確に検出すると言われた場合、陽性結果が出るとほとんどの人が不安になります。しかし、本当にそうすべきでしょうか？重要なのは、100人の患者のうち1人ががんである可能性があるという追加データです。つまり、100人を検査すると、1人はおそらくがんを持っており、検査は一般的に陽性結果を出します。問題を引き起こすのは偽陽性です。99人の健康な患者を検査した場合、90％の成功率で、実際にはこの99人のうち10人に対して誤った結果が出るのです。したがって、陽性反応が出た場合、実際にがんを持っているのは11人に1人の確率しかないのです！これらの数字を理解することが重要です。なぜなら、メディアはこれらの数字を利用して恐ろしい話を作り上げるのが好きだからです。 さて、先ほど触れた確率に戻りましょう。ベーコンを食べることで大腸がんのリスクが20％増加するというのは、恐ろしい響きです。大好きなベーコンサンドイッチを諦めるべきでしょうか？大腸がんにかかる人の割合は100人中5人です。ベーコンを食べると、それが100人中6人に増えます。これがこの確率を表現する、より恐ろしくない方法です。 次に、冒頭で紹介したサミュエル・ペピスのサイコロを振って6を出す挑戦について考えてみましょう。6回振って少なくとも1回6が出る確率はどのくらいでしょうか？ここでもショートカットとして反対のケースを考えます。6回とも6が出ない確率は(5/6)⁶ = 33.49％です。したがって、少なくとも1回6が出る確率はかなり高く、66.51％です。 次に、12個のサイコロを振って少なくとも2回6が出る確率はどうでしょうか？ここでも考慮すべきシナリオが多すぎるので、反対のケースを考えるトリックを使いましょう：(a) 6が出ない確率と (b) ちょうど1回6が出る確率です。ケース(a)は前と同じ原則で、(5/6)¹² = 11.216％です。では、ちょうど1回6が出る確率はどうでしょうか？ここには12通りのシナリオがあり、どの振りで6が出るかによります。最初の振りで6が出て、残りが出ない確率は(1/6) × (5/6)¹¹です。これは他のシナリオでも同じなので、合計確率は12 × (1/6) × (5/6)¹¹ = 26.918％です。したがって、12回振って2回以上6が出る確率は100％ - 11.216％ - 26.918％ = 61.866％です。したがって、選択肢(a)は賭けるにはより良い選択です。選択肢(c)について同様のケース分析を行うと、選択肢(b)よりもさらに悪化し、確率は59.73％になります。 ペピスは1693年の年末にアイザック・ニュートンに問題についての手紙を3通送りました。ペピスの直感では選択肢(c)がより可能性が高いと考えていましたが、ニュートンはフェルマーやパスカルの手法を用いて、数学的には逆のことが示されていると返答しました。ペピスは10ポンド（今日の1000ポンドに相当）を賭けようとしていたため、ニュートンの助言が彼を貧困への近道から救ったのは幸運でした。私たちの人生の旅のあらゆる段階で、さまざまな道が遠くへと続く交差点に出くわします。各選択には、どの道が目的地にたどり着くかという不確実性が伴います。直感に頼って選択を行うことは、しばしば最適でない選択をする結果になります。不確実性を数値に変えることは、道を分析し、目的地への近道を見つけるための強力な方法であることが証明されています。確率の数学理論はリスクを排除するものではありませんが、そのリスクをより効果的に管理することを可能にします。この戦略は、未来が持つすべての可能なシナリオを分析し、それらのうちどの割合が成功または失敗につながるかを見極めることです。これにより、どの道を選ぶべきかの決定を行うための未来の地図が大幅に改善されます。 **ピットストップ8：ファイナンス** 誰もが大金を得るための近道を探しています—宝くじのチケットを購入したり、馬に賭けたり、次のFacebookを立ち上げたり、次のハリー・ポッターの本を書いたり、次のマイクロソフトに投資したりすることです。数学が富への道を保証することはできませんが、チャンスを最大化するための最良の方法のいくつかを提供します。アイザック・ニュートンは、解決策を最適化するためのすべての数学的手法を持っていたため、成功した投資家であったと思うかもしれませんが、彼は市場の崩壊で大金を失った後、「私は星の動きを計算できるが、人間の狂気は計算できない」と宣言しました。しかし、ニュートンの時代以来、数学者たちは市場でお金を稼ぐための巧妙な近道があることを理解しています。だからこそ、良い時も悪い時も一貫して好成績を収めているファンドには、数学の博士号を持つスタッフが必ずいます。貯蓄に最適なファンドを見つけるための大きな近道は、そのファンドのスタッフに数学の博士号を持つ人がどれだけいるかを数えることです。しかし、数学を知ることがどのように役立つのでしょうか？すべては人間の気まぐれや気分によって動かされているのでは？心理学の博士号の方が役立つのでは？20世紀初頭、フランスの数学者ルイ・バシュリエは、株式投資は実際にはコインの裏表を賭けることと何ら変わらないと提案しました。これは、価格が時間とともにどのように変動するかを示す最初のモデルでした。バシュリエは、市場について完全な知識を持っていれば、株価がランダムに上下することがわかると信じていました。この動きは「酔っ払いの歩き」として知られ、グラフ上では酔っ払った人が街をふらふらと歩いているように見えます。確かに、全体的な価格はパンデミックの発生によって影響を受けるかもしれません。 しかし、その知識を考慮に入れた瞬間から、株価はランダムに上昇したり下降したりする可能性があります。このことを知っていても、特に優位性を持つわけではありません。しかし、モデルが実際には間違っていると認識すれば、話は別です。1960年代の数学者たちは、コインの裏表を投げることのランダム性が完全ではないことに気づきました。なぜなら、それは株価がマイナスになる可能性があることを意味するからです。そこで、新しいモデルが登場しました。それは依然としてランダムですが、株には最低価格の限界があることを認識し、理論上は無限に高くなる可能性があるというものでした。 市場を打ち負かすもう一つの方法は、価格に隠された情報を見抜くことです。これがあなたに優位性を与えることがあります。競馬のブックメーカーが3頭の馬にオッズを設定する際、すべての馬に賭けてもお金を勝ち取ることはできないようにします。しかし、もし何らかの理由でそのうちの1頭が勝てないことを知っていたらどうでしょうか？その場合、残りの2頭に賭けを分散させることで、勝利を確実にすることが可能です。これは、エド・ソープが1967年の著書『Beat the Markets』で提唱したアイデアの起源です。第8章で述べたように、ソープはすでにブラックジャックでカードを数えることで優位性を得る方法を見つけていました。彼はカジノから追い出される前に、ルーレットの回転を分析する装置を使って巧妙な賭けを行ったこともあります。しかし、彼の新しいアイデアはヘッジファンドの概念の創出につながりました。鍵となるのは、どちらの金融商品が成功しても利益を得られるように、2つの金融商品に投資する方法を見つけることでした。 ソープは、ワラントと呼ばれる特定の金融商品が過大評価されていることを発見しました。これは、カジノでの賭けがカジノにハウスエッジを与えるために過大評価されているのと似ています。残念ながら、カジノでは負けることに賭けることはできないため、ギャンブラーがこの知識を利用することは不可能です。しかし、ソープは「ショートマーケット」と呼ばれる手法を使ってワラントの過大評価を利用する方法を見出しました。彼は、他の誰かが所有する高価なワラントを借り、後でそのワラントを返す約束をします。そして、ワラントを売却し、返却の時期が来たときには、一般的にワラントの価格が売却時よりも低くなっているため、利益を得ることができます。ただし、時にはそうならないこともあります。ワラントの価格が時間とともに上昇する可能性もあり、カジノでの賭けがハウスエッジがあっても成功することがあるのと同様です。そして、もしワラントが驚くほど良い結果を出した場合、大きな損失を被る可能性があります。しかし、ここに巧妙なヘッジがあります。ワラントは株を購入するオプションです。もしワラントがうまくいけば、それは基礎となる株がうまくいったからです。したがって、借りたワラントを売却するのと同時に、株も購入します。そうすれば、運が悪くてワラントが成功した場合（つまり、ワラントへの賭けが失敗した場合）でも、株が好調であればお金が得られます。 確実にお金を稼げるわけではありませんが、ソロモン・ソロスは、価格が上がろうが下がろうが、ほとんどの場合は利益を得られることを理解していました。重要なのは、このバランスを自分に有利に価格設定することです。まるで、三頭の馬のうち一頭が勝てないことを知っているギャンブラーが、二頭に賭けを分散させるように。これは、知識を利用して自分に有利に働かせることに尽きます。カジノはこれを行っていますが、賢いことにヘッジファンドも市場からお金を稼ぐためのこの近道を見つけていました。しかし、数学だけが投資家にとっての近道ではありません。私の友人で非常に成功した金融アナリストのヘレン・ロドリゲスは、数学ではなく歴史を学ぶことでキャリアの準備をしました。そして、実際には歴史家のスキルが、ヘレンが企業の過小評価や過大評価を理解する際に日常的に活用する近道を提供しています。ヘレンは、ジャンクボンドとも呼ばれる高利回り債券を専門にしており、これは企業の買収や資金調達に一般的に使用されます。私が債券を買うと、企業にお金を貸し、固定金利の利息と満期時に元本を返してもらう約束をすることになります。ジャンクボンドはデフォルトのリスクが高いため、その分リターンも高くなります。「ここであなたへの最初の近道があります。私たちは、企業の支払い意欲と能力によって定義された信用品質の評価スケールを使用します」とヘレンは説明しました。「評価はAAAから始まり、リスクがほとんどない企業を示し、Cまで続きます。Cは利息や元本の回収の可能性がほとんどない企業を示します。BBB-未満の評価の債券は高利回りと見なされます。企業の評価が低い場合、投資する価値を持たせるために利息は高くなければなりません。だからこそ、高利回り債券という名前が付いているのです。」ニュースでは、ムーディーズのような企業によって国や銀行の信用格付けが引き下げられることをよく耳にします。これらの格付けは、多次元の企業世界を取り上げ、この複雑で混沌とした集合体をCからAAAまでの1次元のラインに投影しようとしています。ヘレンは歴史的なツールキットを使って逆算します。特定の信用格付けを受けた企業の物語を見て、その債券が過小評価されているのか過大評価されているのかを理解できるでしょうか？彼女は、自分に有利な情報を引き出そうとしています。企業の物語の中で他の人が見落としている側面を特定し、債券の価値に新たな洞察を与えることは、かなりの技術です。そして、その全体像を把握するスキルは、歴史家がしばしば優れている点でもあります。「私は2500のドイツの美容院を担当していて、債券はまだ額面以上に留まっていて、私は『なんて無駄な時間だ』と思っていました。すると、彼らは悪い四半期を迎え、その原因をドイツのテロリズムに帰しました。次の四半期も悪化し、またテロリズムのせいにしました。その時、私は『これは少しおかしい』と思いました。しかし、債券はまだ額面以上に留まっていました。」 私は少し読書を始め、アジアの企業がヨーロッパに進出し、インターネットを利用して同じ化粧品を販売していることを発見しました。ただし、流行からは約6か月遅れていて、価格は半分です。これを「グレー市場」と呼びます。このようなことを行い、ドイツの美容市場を完全に打ち破っている数社の破壊的企業がありました。私たちは103ドルで販売していましたが、1年後にはその債券が40ドル台にまで落ちていました。人々はこのグレー市場に気づいていなかったのです。」本質的に、ヘレンはソーサーのトリックに似た手法を使いました。彼女は債券を借りて103ドルで売却しましたが、後に40ドルで買い戻して元の所有者に返すことができ、大きな利益を得ました。彼女は債券の崩壊が迫っているという直感を利用することに成功したのです。しばしば、企業の価値に関する虚勢を見抜くことが重要です。「企業は、自分たちに問題があることをオープンにしないことが多いです。それは、55歳の男性が運営していて、ティーンエイジャーの女の子たちを理解していないというような、愚かなことです。しばしば、それは傲慢さや虚栄心、あるいは世界の仕組みを理解していないことから来ています。私たちは小売業界でそれを大規模に目にしました。インターネットによる仲介の排除や混乱が起こったのです。企業のマネージャーたちがそれに気づくのがどれほど遅かったかは衝撃的です。」私には、ある意味でこれはショートカットを考えるのが難しい理由の一つだと思えます。なぜなら、そのような洞察を得るためには、企業を非常に親密に知る必要があるからです。そこには多くのストーリーテリングが関与しています。ヘレンはそれを昼ドラマを見ることに例えました。「私はあるスペインのゲーム会社を追いかけていました。再構築には1年半かかり、毎日アルゼンチンの新聞を開いて読む必要がありました。なぜなら、元アルゼンチン大統領のクリスティーナ・キルチネルがゲーム業界を政治的な道具として使っていたからです。それが債券を動かしていたストーリーでした！」彼女が歴史家としての訓練で学んだスキルが、彼女が評価している各企業のストーリーを語るためのショートカットを与えていると彼女は信じています。彼女は各企業の昼ドラマを見ながら、次のエピソードが放送される前に何が起こるかを予測する必要があります。ヘレンの見解では、彼女は膨大な情報を有用なものに統合する能力が必要です。これが歴史家が得意とすることです。「それは理解しようとしているパズルのようなものです」と彼女は私に言いました。「10の異なる情報源から、私が考える出来事のナarrativeを作り上げる必要があります。だから、他の誰かが同じ情報源を使って異なるナarrativeを作り上げることもあるのです。市場が成立するためにはこれが必要です。これが素晴らしいことだと思う人が必要で、これは世界の終わりだと思う別の人が必要です。そうして取引が成立するのです。」彼女が活用するもう一つのショートカットは、私の数学的ショートカットのトップリストにあるパターンを見抜く力です。 「企業に何が起こり、何がうまくいかないのかのパターンを見つけることもできます。なぜなら、彼らは皆同じ問題を抱えているからですが、販売しているもののセグメンテーションが少し異なる場合もあるからです。私は、他の誰よりも早く何が起こるかのパターンを見つけ出し、その推奨を行おうとしています。」ヘレンは、ドイツ銀行やメリルリンチなどで多くの年数にわたり投資を行ってきた経験を持ち、現在はCreditsightsで働いており、投資家向けに独立した企業債のリサーチを提供しています。彼女が行ったスペインのゲーム会社に関する分析のようにです。もしあなたがこのピットストップを読んで、貯蓄を投資するための素晴らしいショートカットを見つけられることを期待しているのなら、私のアドバイスは、数学者のスキルと、ヘレンのような歴史家としての訓練から得た深い知識を組み合わせることです。ニュートンが述べたように、時には最良のショートカットは巨人の肩に立つことです。 第9章 ネットワークのショートカット パズル：次の図を、ペンをページから離さず、線を二度通らずに描いてください。 私たちの現代世界を通る旅は、ますますネットワークによってマッピングされています。道路、鉄道、飛行ルートのシステムは、私たちが地球の片側からもう片側へ移動するのを可能にします。さまざまなアプリが、この複雑なウェブを通る最も効率的な道を提供しています。FacebookやTwitterのような企業は、私たちの社会的ネットワークを地元の村の住人を超えて広げました。人類が毎日何時間もナビゲートしている究極のネットワークは、インターネットという代替の世界です。Googleは、約20億のサイトのウェブをナビゲートするのを助けるショートカットアルゴリズム「PageRank」で名声を得ました。私たちはインターネットを比較的新しい現象と見なしていますが、このネットワークの最初の兆しは実際には19世紀に私のお気に入りのショートカッターによって生まれました。ガウスは数学だけでなく物理学にも大きな関心を持ち、ゲッティンゲンの著名な物理学者ヴィルヘルム・ウェーバーと多くのプロジェクトで協力しました。ガウスは、ゲッティンゲンの天文台からウェーバーの研究室まで歩く必要をショートカットする方法を考案しました。彼は、二人の間に電信線を設置しました。それは町の屋根を越えて3キロメートルの距離にわたって伸びていました。ガウスとウェーバーは、遠距離通信における電磁気の可能性を理解していました。彼らは、各文字が正と負の電気パルスのシーケンスで表されるコードを考案しました。これは1833年のことで、モールスが似たようなアイデアを思いつく数年前のことです。ガウスはこのアイデアを好奇心の一つと考えていましたが、ウェーバーはその技術の重要性を見抜いていました。「地球が鉄道と電信線のネットワークで覆われるとき、このネットワークは人間の体の神経系に匹敵するサービスを提供するでしょう。」 「交通手段の一つとして、アイデアや感覚を稲妻のような速さで広める手段でもある。」電信の急速な普及により、ガウスとウェーバーはインターネットの祖父となりました。彼らの協力は、ゲッティンゲン市にある二人の像によって永遠に記憶されています。今日、このネットワークはウェーバーの予測通り、二人の科学者がゲッティンゲンの屋根の上に引いた数キロメートルのワイヤーをはるかに超えて広がっています。実際、ネットワークは非常に複雑で、ネットワーク間のショートカットを見つけることが現代数学の中心的なテーマの一つとなっています。これらのネットワークはワイヤーだけでなく、橋でも構成されることがあり、私は最近のロシア旅行でそれを探求しました。 「オイラーを読め。オイラーを読め。彼は私たち全員の師匠だ。」数年前、カリーニングラードに飛ぶ際、サンクトペテルブルクからの短いフライトで窓側の席を確保しました。私は、すべての数学者が育つ物語の一つ、数学の歴史の中で考案された最も巧妙なショートカットの一つがある街への巡礼をしていました。カリーニングラードに着陸する際、リトアニアとポーランドによってロシア本土から切り離された小さな飛び地を見下ろすと、街を流れるプレゲル川が見えました。この川には二つの支流があり、カリーニングラードで合流し、西へ流れてバルト海に出ます。町の中心には二つの支流が流れる島があります。この島と川の両岸をつなぐ橋が、この街が有名な数学の物語の核心です。この物語は18世紀に遡り、当時は異なる名前、ケーニヒスベルクと呼ばれていました。ここはイマヌエル・カントと有名な数学者ダビッド・ヒルベルトの故郷です。 18世紀、ケーニヒスベルクがプロイセンの一部だった頃、プレゲル川には七つの橋が架かっていました。市民たちは、すべての橋を一度だけ渡る方法を見つけることが日曜日の午後の娯楽となっていました。しかし、どんなに努力しても、必ず一つの橋にたどり着けないことが分かりました。本当に不可能なのか、それとも市民たちが試していない方法があったのか？ケーニヒスベルクの住民たちは、すべての可能なルートを試すという厄介な作業を避ける方法がないように思えました。彼らは、橋を渡る巧妙な方法を見逃しているのではないかという微妙な感覚を常に抱いていました。 このパズルを解決するために、私の数学の英雄の一人、レオンハルト・オイラーが登場しました。彼は、すべての橋を一度だけ渡ることが不可能であることを明らかにしました。このことを理解するために、オイラーは橋の周りのすべてのルートを試す必要がないショートカットを発見しました。 第2章では、数学における5つの重要な数を結びつける驚くべき公式を考案したオイラーを紹介しました。「オイラーを読め。オイラーを読め。彼は私たち全員の師匠だ」と、フランスの著名な数学者ピエール＝シモン・ラプラスはオイラーの数学への重要性について述べています。ほとんどの数学者は彼に同意し、ガウスと並ぶ偉大な数学者の一人として彼を評価しています。ガウス自身もオイラーのファンでした。「オイラーの業績を学ぶことは、数学のさまざまな分野における最良の学校であり、他に代わるものはありません」と彼は言っています。 オイラーの貢献は広範囲にわたり、彼が最初にペテルブルクのアカデミーで教授をしていたときに知ったケーニヒスベルクの橋の問題を解くためのショートカットも含まれています。オイラーはペテルブルクの出身ではなく、故郷のバーゼルからこの街にやってきましたが、数学者としての職を見つけることができませんでした。どうやら数学の職はすでに埋まっていたようです。こんな小さな街に数学者がこれほど多くいるのは奇妙です。さらに奇妙なのは、すべての数学者が同じ家族、ベルヌーイ家から来ていたことです。バーゼルはベルヌーイ家全員を受け入れることすらできませんでした。ダニエル・ベルヌーイはすでにペテルブルクに移り住んでおり、彼の招待がオイラーをアカデミーに迎えるきっかけとなりました。オイラーが出発する前に、ダニエルはペテルブルクで不足しているスイスの快適さを列挙した手紙を送りました。「コーヒーを15ポンド、最高の緑茶を1ポンド、ブランデーを6本、上質なタバコパイプを12ダース、トランプを数ダース持ってきてください。」ダニエルが要求したすべての食料品を抱えて、オイラーはバーゼルからペテルブルクまで7週間かかりました。船、徒歩、郵便馬車を利用して、彼は1727年5月にようやく到着し、職務を開始しました。 ケーニヒスベルクの橋の問題は、最初オイラーにとっては複雑な計算からの軽い気晴らしに過ぎませんでした。1736年、彼はウィーンの宮廷天文学者ジョヴァンニ・マリノーニに宛てた手紙の中で、この問題についての考えを述べています。「この問題は非常に平凡ですが、幾何学、代数、さらには数を数える技術さえもそれを解決するには不十分であると思われたため、注目に値すると思いました。このことから、ライプニッツがかつて非常に望んでいた位置の幾何学に属するのではないかと考えました。そして、いくつかの熟考の末、私はこの種のすべての例に対して、そのような往復が可能かどうかを即座に判断できる単純でありながら完全に確立されたルールを得ました。」オイラーが行った重要な概念的飛躍は、町の実際の物理的な寸法は無関係であるということでした。重要なのは、橋がどのように結びついているかということです。 同じ原則がロンドン地下鉄の地図にも当てはまります。これは物理的に正確な地図ではなく、駅がどのように接続されているかの情報を保持しているだけです。ケーニヒスベルクの地図を分析すると、ロンドンの地点が地下鉄の地図上の点になるように、橋でつながれた4つの土地の領域もそれぞれ点に凝縮され、橋はその点を結ぶ線として表現されます。橋を巡る旅が可能かどうかの問題は、その結果得られる図をペンを紙から離さずに描き、かつどの線も二度通らないことと同じことになります。 では、なぜそれが不可能だったのでしょうか？オイラーはおそらくケーニヒスベルクのこの図を明示的に描かなかったでしょうが、彼の分析は、旅の途中で訪れる各点には1本の線が入って1本の線が出ている必要があることを示しています。その点を再度訪れる場合、それは新しい橋から入って新しい橋から出ることになります。したがって、各点には偶数本の線が接続されている必要があります。この例外は旅の始まりと終わりの点だけです。出発点には1本の線が入っており、旅の終点にも1本の線が入っています。どのグラフでも旅が可能であるためには、奇数本の線が出ている点は2つまで—出発点と終点—でなければなりません。しかし、ケーニヒスベルクの7つの橋の計画を見ると、各点には奇数本の橋が接続されています。奇数本の橋が多くの点から生えているため、各橋を一度だけ渡る道を見つけることは不可能でした。 これは私のお気に入りのショートカットの一例です。地図上のルートをトレースするためにさまざまな方法を試す代わりに、奇数本の橋が出ている点の数を単純に分析することで、地図上のルートが不可能であることがすぐにわかります。オイラーの分析の美しさは、これがケーニヒスベルクだけに適用されるわけではないことです。点が線で結ばれた任意のネットワークにおいて、ある点から出る辺の数が常に偶数であれば、オイラーはすべての線を一度だけ通る道が常に存在することを証明しました。また、奇数本の辺を持つ場所が正確に2つある場合、これらの点が旅の始まりと終わりとなる道が可能です。地図がどれほど複雑であっても、この奇数のノードの数を数えるという単純な分析が、ネットワークがナビゲート可能かどうかを知るためのショートカットを提供します。 ケーニヒスベルクには7つの橋しかありませんでしたが、最近ブリストルの数学者たちはオイラーのショートカットを、その都市を流れる複雑な水路システムに架かる45の橋に適用しました。ケーニヒスベルクには1つの島がありますが、ブリストルにはスパイク島、セント・フィリップス、レッドクリフの3つの島があります。 最初は、45本の橋をすべて歩くことが可能かどうかは明確ではありませんが、オイラーのショートカットを使うことで、橋でつながれた土地の地図における奇数ノードの数が十分に少ないため、道が存在することが分かります。ブリストルの歩ける橋のルートは、2013年にブリストル大学の工学数学の元講師であるティロ・グロス博士によって初めて考案されました。「解決策を見つけたからには、当然それを歩かなければなりませんでした。最初の橋の散歩は11時間かかり、約53キロメートルの長さでした。」このショートカットは、私が若い頃に仕事の応募のために受けた心理測定テストの際にも役立ちました。そのテストでは一連のネットワークが示され、ペンを紙から離さず、線を二度通らずにそのネットワークを描くという課題がありました。この課題の暗示は、それが可能であるというもので、彼らは私の各課題を完了する能力を試しているように見えました。しかし、実際にはこの課題が試していたのは応募者の誠実さであり、3つのネットワークのうちの1つは描くことが不可能でした。ケーニヒスベルクの橋の地図のように、奇数の線が出ているノードが2つ以上あったのです。この課題が不可能である理由をオイラーのショートカットを使って説明した私のエッセイは、あまり好意的には受け取られませんでした。結局、私はその仕事を得ることはできませんでした。 **人間のヒューリスティックス** オイラーの偉大な洞察は、問題を解決するために重要な都市の地図の本質的な特質に焦点を当てることでした。どれだけの距離を移動する必要があるかや、橋がどのような見た目であるかは重要ではありませんでした。ここでの技術は、余分な情報を捨て、旅のナビゲーションに重要な地図の特質を保持することです。この重要でない情報を捨てるという考え方は、多くのショートカットの鍵となります。これは、人間がヒューリスティックスを使う理由の背後にある考え方です。ヒューリスティックスとは、脳に入ってくる情報の一部を意識的または無意識的に無視することで、問題をより単純にするプロセスです。私たちはしばしば限られた時間や精神的リソースに基づいて意思決定をしなければならないため、解決策に寄与する問題の側面を効率的に選び出し、貴重な精神的スペースを無駄に使わない方法を見つける必要があります。心理学者のアモス・トヴェルスキーとダニエル・カーネマンは、意思決定を行う際に私たちが使用するメンタルショートカットとしての3つの主要な戦略を特定しました。私たちは、異なる出来事の間のパターンの考え方を利用します。これを彼らは「代表性」と呼びます。これは、数学において問題を再考する際に私が利用する特質です。第二の戦略は「アンカリングと調整」と呼ばれます。これは、私たちが理解または知っている初期の情報（アンカー）から始まり、他の状況がそれに対して判断されるプロセスです。最後の戦略は「利用可能性ヒューリスティック」で、私たちの地域の知識を使ってより一般的な状況を判断します。 明らかに、最後の二つは偏見を生む可能性が非常に高いです。一般的に、私たちはあまり良い基準や代表的な地域知識を持っていないからです。人間のヒューリスティックの限界についての非常に影響力のある著書『ファスト＆スロー』の中で、カーネマンは、質問をする前に数字を挙げるだけで人々の推定がどれほど歪むかの例を示しています。例えば、1215年と1992年という年を挙げることで、アインシュタインがアメリカを訪れた最初の年（1921年）に対する人々の推定が影響を受け、基準を与えられた参加者は、基準なしで質問された参加者よりも推定値が低くなったり高くなったりしました。たとえその基準となる日付が質問とは明らかに無関係であってもです。 私たちが何世紀にもわたって考案してきた数学的なショートカットは、質問がより複雑になるにつれて失敗する可能性のある進化的なショートカットを覆す試みです。これらのヒューリスティックは、変動が少ないサバンナの一角をナビゲートするのには役立つかもしれませんが、普遍的な真実を理解するには役立ちません。良いヒューリスティックの鍵は、オイラーがケーニヒスベルクで示したように、橋の性質、関係する距離、そして都市の地理が問題に対しては関係ないことを理解することです。重要なのは、陸地がどのように接続されているかだけです。 私がカリーニングラードに到着したとき、現代の都市を訪れて、七つの橋のうちいくつがまだ残っているのかに興味を持ちました。カリーニングラードは第二次世界大戦中に連合国による壊滅的な爆撃を受けました。バルト海に面した重要な港であったため、ドイツ艦隊にとって戦略的な場所でした。歴史的な都市の多くは壊滅し、カントやヒルベルトが学問を学んだ町の中心にある島に位置する有名な大学もその一つです。では、橋はどうなったのでしょうか？戦前の橋のうち三つはまだ残っていました。二つの橋は完全に消えてしまいました。残りの二つの橋は戦争中に爆撃を受けましたが、その後再建されて市内を通る大きな高速道路を支える役割を果たしています。さらに、歴史的な橋の横に新しい橋も現れました。私が発見した鉄道橋は、歩行者が渡れるようになっており、都市の西側にあるプレーゲル川の両岸を結んでいます。また、「カイザー橋」と呼ばれる新しい歩道橋もあります。再び七つの橋が存在しますが、今はオイラーが分析した18世紀の橋とは少し異なる配置になっています。オイラーのショートカットの美しさは、橋の数や配置に関係なく適用できることです。そこで、私の最初の考えは、今日の橋を巡る旅が可能かどうかを確認することでした。 オイラーの数学的分析によれば、奇数の橋が出ている場所が正確に2つ存在する場合、常に道を作ることができるということが示されています。つまり、奇数の地点の一つから出発し、もう一つの地点で終わることができるのです。今日のカリーニングラードの橋の計画を確認すると、そのような旅が可能であることがわかります。私は市の中心にある島から、カリーニングラードの7つの現代的な橋を巡る巡礼の旅にワクワクしながら出発しました。ケーニヒスベルクの橋の物語は、すべての数学者が一度は聞いたことがある数学の童話のようなものです。しかし、それはまた、私たちのデジタルに繋がった世界に非常に関連性の高い数学の重要な分野、ネットワーク理論の始まりでもあります。そして、インターネットのような複雑なネットワークのショートカットの開発は、一部の数学者に多くの利益をもたらしました。 インターネット上には現在、17億以上のウェブサイトがあります。それにもかかわらず、この驚異的な数にもかかわらず、Googleの検索エンジンは依然として迅速に欲しい情報を見つけ出すことができます。これが巨大な計算能力の結果だと思うかもしれませんが、それは確かに一因です。しかし、Googleの検索方法こそが、このツールを欠かせないものにしているのです。かつての検索エンジンは、検索用語が最も多く言及されているウェブサイトを探していました。たとえば、ガウスの生涯に関する伝記の詳細を探している場合、「ガウス 伝記」という用語で検索すると、これらの2つの言葉が最も多く使われているサイトが表示されました。しかし、もし私がガウスに関する虚偽の伝記情報を広めたいと思った場合、私のサイトのメタデータに「ガウス」と「伝記」という言葉を何度も詰め込むことで、虚偽のニュースサイトがリストのトップに表示されるようにすることができました。ただ単に言葉検索を使ってインターネットを検索することは、欲しいサイトを見つけるための強力な方法ではありませんでした。 スタンフォード大学の大学院生であるラリー・ペイジとセルゲイ・ブリンは、メンロパークのガレージで働きながら、インターネットを問いただし、どのガウスの伝記を検索リクエストのトップに表示するかを決定するためのより堅牢な手段を考案しました。彼らは巧妙な戦術を利用することに決めました。それは、インターネット自体を使って、どのページが最も重要であるかを示すというものでした。ウェブサイトの関連性は、他のウェブサイトからどれだけリンクされているかによって判断できるという考え方です。ガウスの伝記を詳述した正当なページは、そのトピックに興味を持つ他のウェブサイトからリンクされる可能性が高いでしょう。しかし、ウェブサイトの重要性が単に他のウェブサイトからのリンクの数で判断されるのであれば、私が虚偽のウェブサイトをリストのトップに持ってくるための簡単な方法があることになります。何千もの偽のウェブサイトを作成し、それらを私のガウス伝記ページにリンクさせることで、私のページを最も重要に見せかけることができるのです。 ペイジとブリンは、そのようなハッキングを防ぐための戦略を持っていました。ウェブサイトがランキングで高く評価されるためには、それにリンクしているウェブサイトも高く評価されている必要があるということです。しかし、ちょっと待ってください。これはかなり循環的に聞こえます。 私は、私のガウスの伝記サイトにリンクしているこれらのサイトの中で、どれが高く評価されているのかを知りたいと思っています。しかし、それらの価値は、高評価のサイトからのリンクによって得られます。そのため、無限の後退に陥ってしまったようです。この問題を解決するためには、最初にすべてのウェブサイトを同等の地位として扱う必要があります。まず、各ウェブサイトに10つ星のスコアを与えます。しかし、ここから星を再配分していきます。もしあるウェブサイトが他の5つのウェブサイトにリンクしている場合、そのウェブサイトはそれぞれのウェブサイトに2つの星を与えます。もし2つのウェブサイトにリンクしているだけなら、各ウェブサイトには5つの星が与えられます。ウェブサイトはすべての星を与えたものの、他のウェブサイトからいくつかの星をもらえることを期待しています。星を一つのウェブサイトから別のウェブサイトへと再配分し続けることで、多くの反復の後、支配的なウェブサイトがますます多くの星を集めているのが見えてきます。私の千の偽サイトからリンクされているだけでは、その虚偽が明らかになるでしょう。一度のラウンドの後、私の千のサイトは星を失い、私の偽のサイトの価値を維持することができなくなります。非常に迅速に、私のサイトは星を失い、アルゴリズムが評価しているサイトのリストの下位に落ち込んでしまいます。このアイデアを実装するためにはもう少し作業が必要ですが、これがGoogleがウェブサイトをランク付けする方法の本質です。問題は、星がネットワーク内でどのように流れるかを分析するのに時間と計算能力がかかることです。しかし、ブリンとペイジは、ランキングを算出するための近道があることに気づきました。彼らは学部生の頃に、一見するとかなり難解な数学の一部である行列の固有値について教わっていました。この数学的ツールは、異なる動的設定においてシステムの特定の部分が安定していることを特定する役割を果たします。最初にオイラーによって回転する球体の文脈で使用されました。地球の国々が描かれた地球儀を手に持ち、どのようにひねったり回したりしても、最終的な位置を取り、2つの対極点を固定することで、これらの点を通る軸の周りに回転させると、地球儀は元の位置に戻ります。基本的には、地球儀のあらゆる可能な再配置が、ある軸を通る単純な回転によって実現できることを意味します。行列の固有値は、そのような回転軸が常に存在することの証明と、その軸が通る2つの安定点を見つける方法を提供します。この技術が、さまざまな動的設定において安定点を特定するのにどれほど役立つかは驚くべきことです。たとえば、行列の固有値は量子システムにおける安定エネルギーレベルを特定するのに中心的な役割を果たします。また、楽器の共鳴周波数を選び出すためにも重要です。ブリンとペイジは、星がネットワーク内で分配された後にどのように安定するかを特定する秘密でもあることに気づきました。 反復的なプロセスを経て平衡に達するのを待つ代わりに、行列の固有値を利用することで、インターネット上の任意のウェブサイトのページランクを計算する賢いショートカットが生まれました。私の偽のガウス伝記サイトを上位に押し上げようとした試みは失敗に終わりましたが、企業がブリンとペイジのショートカットの仕組みを理解することは依然として重要です。企業が自社のウェブサイトがGoogleのショートカットによって適切に評価されるようにするためにできることがあります。Googleのアルゴリズムに小さな変動が加わると、ショートカットの進行方向がわずかに変わり、その結果、あなたのウェブサイトのランキングが下がることがあります。ウェブサイトを元の道に戻すために、どのような変更を加えるべきかを知っておく必要があります。 **ソーシャルショートカット** 時には、ネットワーク内のある地点から別の地点へ最短距離で移動することが課題となります。ネットワーク内に巧妙なショートカットは存在するのでしょうか？地球上の人口の社会的つながりのネットワークを考えてみましょう。もし私が二人のランダムな人を選んだ場合、彼らの間にどれほど短い友情のつながりを見つけることができるでしょうか？驚くべきことに、それには非常に少ないつながりで済むのです。この問いは、1929年にハンガリーの作家フリジェシュ・カリンティによって書かれた短編小説「チェーン・リンクス」で初めて提起されました。その中で、主人公はこのネットワークがそのリンクのチェーンを通じて驚くべきショートカットを持っていると考えます。この議論から魅力的なゲームが生まれました。私たちの一人が、地球上の15億人の住民の中から誰でも選び、その人に至るまでの距離が今まで以上に近いことを証明する実験を提案しました。彼は、個人的な知り合いを含む5人以内の個人を使って、選ばれた個人に連絡を取ることができると賭けました。この架空のゲームが実際に試されるまでに、ちょうど30年以上がかかりました。 1960年代にアメリカの心理学者スタンリー・ミルグラムが行った有名な実験では、ボストンに住むミルグラムの株仲買人の友人がターゲットに選ばれました。ミルグラムは、ボストンのターゲットから地理的にも社会的にも最も遠いと感じるアメリカの二つの都市、オマハ（ネブラスカ州）とウィチタ（カンザス州）を選ぶことにしました。その後、これらの町に住むランダムな人々に手紙が送られ、指定された株仲買人に手紙を転送するよう指示されました。ただし、住所は提供されませんでした。もし彼らが指定されたターゲットを知らなければ、手紙を自分の知り合いの中でより適任と思われる友人に転送するよう求められました。送信された296通の手紙のうち、232通はターゲットに届きませんでした。しかし、届いた手紙の平均転送回数は6回で、実際にスタート地点からエンド地点までの間には5人の個人が存在しました。この実験は「6次の隔たり」という有名な現象を生み出しました。 このフレーズは、ジョン・グアレの同名の戯曲によって広まりました。戯曲の終盤で登場人物の一人がこう宣言します。「どこかで読んだのですが、この地球上のすべての人は、たった6人の他の人を介してつながっているそうです。6次の隔たりです。私たちとこの地球上の他のすべての人との間に。アメリカ合衆国の大統領。ヴェネツィアのゴンドリエール。名前を埋めてください。大物だけではありません。誰でもです。熱帯雨林の先住民。ティエラ・デル・フエゴの人々。エスキモー。私はこの地球上のすべての人と、6人の人を介してつながっています。私たちのデジタル時代において、私たちはこれまで以上に相互に結びついており、それは米国の郵便システムを通じて手紙を転送するよりもはるかに簡単に探求できるネットワークです。2007年には、2億4000万人の間で行われた300億の会話からなるデータセットが、ユーザー間の平均的な距離が実際に6であることを明らかにしました。2011年に発表された論文では、Twitter上で任意の2人のユーザーを平均3.43人のユーザーの連鎖でつなぐことができることが示されました。なぜソーシャルネットワークにはこのようなショートカットがあるのでしょうか？すべてのネットワークに当てはまるわけではありません。100のノードを円形に配置し、隣接するものだけをつなぐと、ネットワークの一方からもう一方に移動するのに50回の握手が必要になります。どの2点間でも少数の接続で移動できるネットワークは「小世界」と呼ばれます。実際、私たちの社会的およびインターネットのつながりだけでなく、非常に多くのネットワークが小世界の例であることがわかりました。302のノードを持つC. elegans線虫の神経接続から、860億のニューロンを持つ人間の脳に至るまで、すべてが小世界ネットワークの例のようです。これにより、システム内の1つのニューロンが、少数のシナプスを介して他のニューロンと迅速に通信できるようになります。電力網も小世界であり、空港ネットワークや食物連鎖も同様です。これらのネットワークの何が小世界にしているのでしょうか？2人の数学者、ダンカン・ワッツとスティーブ・ストロガッツがその秘密を発見し、1998年に『ネイチャー』に論文を発表しました。ノードのセットを取り、近くにいるもの同士の間にローカルリンクを作成すると、通常は円のような図が得られ、ネットワーク全体でランダムに選ばれたノードを接続するために長い旅が必要になります。しかし、ワッツとストロガッツが発見したのは、ネットワーク全体にわずか数本のグローバルリンクを追加するだけでショートカットが現れるということです。ボストンの誰もが互いを知っているようなものですが、ボストンに住む誰かがカンザスに住むおばを持っていて、そのおばがこれらのローカルなコミュニティをよりグローバルに結びつける手段を提供するのです。C. elegans線虫でも同じ構造が見られます：ニューロンは円形に配置されていますが、その円を横切って遠くのニューロンを結ぶリンクが見られます。人間の脳も同様の構造を持っているようです。多くのローカル接続と、脳の異なる部分を結ぶ少数の長いシナプスがあります。 図9.5. スモールワールドネットワークの例 空港ネットワークは、いくつかのハブ空港が長距離便で世界を結びつけ、その地域内では多くの短距離便がハブから地元の目的地へと運ぶという点で、同様の仕組みで機能しています。ワッツとストロガッツは、N個のノードがあり、それぞれのノードがこのローカル・グローバルな方法でK人の知人とつながっているネットワークにおいて、ランダムに選ばれた2点間の平均経路は「log N/log K」という式で表されることを示しました。ここで、logはナピエが計算を簡略化するために考案した対数関数です。Nを60億に設定し、各ノードを30人の知人でつなげると、分離の度数は約6.6になります。もしあなたが社会的、物理的、または仮想的なネットワークを構築しているなら、しばしば接続のウェブを横断するショートカットが必要になるでしょう。しかし、今やそのようなシステムを作り出す方法がわかっています。もしスモールワールドの特性である驚くべきショートカットを持つネットワークを作りたいのであれば、ランダムに選ばれたグローバルな接続を追加することがその役割を果たすようです。 ガウスの脳 1855年に短縮の名手ガウスが亡くなった際、彼はその脳を科学のために提供しました。彼の友人であり同僚のルドルフ・ヴァグナー（ゲッティンゲン大学の生理学者）は、ガウスが数学的なショートカットを見つけるのが得意だった理由を探るために脳を解剖する任務を引き受けました。これは、エリートの脳と一般の脳との間に特別な構造的違いがあるかどうかを理解するために大学で行われていた大規模なプロジェクトの一環でした。ヴァグナーは、ガウスの脳は典型的な脳よりも皮質がより高度に折りたたまれていると提案しました。彼の研究は、ヴァグナーのチームの一人が作成した銅版画やリトグラフによって補完されました。最近では、現代の高解像度fMRIの助けを借りて、ゲッティンゲンのチームがガウスの脳の左半球の2つの領域間にかなり珍しい接続があることを確認しました。しかし、チームは標本の収集において奇妙な混乱に直面しました。実は、長年にわたりガウスの脳と考えられていたものは、同じ年に亡くなったゲッティンゲンのエリート、コンラート・ハインリッヒ・フックスのものであったことが判明しました。ヴァグナーが分析を行い、図を描いた後に標本が混同されたようです。チームがfMRIスキャンを元の図と比較した際に、初めてこの混乱が明らかになりました。 図9.6. ガウスの脳 ゲッティンゲンの19世紀のプロジェクトは、エリート思想家の脳の異なる構造を理解するためのもので、現在も続いています。 ルイビル大学の解剖学部では、故人の科学者たちの脳を研究しています（研究室では「スーパーノーマル」と呼ばれています）。この調査を主導しているマヌエル・カサノバ教授は、科学の専門家たちの脳に構造的な違いを発見しました。短い局所的な接続が豊富に存在することが、特定の思考モードに特化した脳を生み出すようです。これらの人々は、脳の特定の領域の力をより容易に引き出すことができます。一方で、脳の異なる領域を結ぶ長い接続を持つ脳は、新しいアイデアや独創的な思考を生み出すのに役立ちます。このことは、異なる思考スタイルの間に現れた二分法に対応しているようで興味深いです。「狐は多くのことを知っているが、ハリネズミは一つの大きなことを知っている」と、古代ギリシャの詩人アルキロコスに帰せられる一節があります。これは、思考者を二つのカテゴリーに分けようとするイザイア・バーリンのエッセイの出発点となりました。狐は幅広い興味を持ち、水平的な思考プロセスを持っています。一方、ハリネズミは深く考え、狐の思考プロセスに対して垂直に走る思考プロセスを持っています。狐はすべてに興味を持ち、ハリネズミは自分の執着に対して一途です。もし短距離の接続がハリネズミを特徴づけ、長距離の接続が狐を特徴づけるのであれば、短い接続と長い接続を組み合わせることができる脳は、狐とハリネズミのスキルを融合させることができるのではないでしょうか。それは理想的ですが、実際には脳内の配線には空間と代謝活動の両方が必要です。そして、頭蓋骨の形状という制約がある限り、両方を最大化することは不可能です。しかし、代替案があります。それは協力です。ガウスはウェーバーと協力して最初の電信線を生み出し、最終的には現代のインターネットを生み出しました。私たちの専門性を共有し、専門性を持つ脳同士の長距離接続を作ることで、新しく刺激的なものが生まれる可能性があります。手軽にできることは、自分の専門分野の外にいる誰かが話す言語を学び、それを自分の分野の問題に応用することです。これが、どの分野で働いていても、他の分野のアイデアを学ぶことが、あなたと他の分野の誰かが共同で別の側への近道を見つける手助けになる理由です。おそらく、狐とハリネズミの完璧な融合は、人間と機械の協力です。私の本は、近道を見つけるという明確に人間的な特性を祝うためのものですが、機械が提供できるものを軽視すべきではないかもしれません。機械は… brute forceを使って計算をより速く、より遠くまで行うことができるが、最終的には人間の巧妙なショートカットを見つける能力と組み合わせることで、個々では到達できない目的地に共に到達することができる。パズルの解法これは私が心理測定の職務応募で提示された課題です。オイラーのショートカットのおかげで、出発点から奇数の線が出ているノードが二つ以上あるため、この図形を描くことは不可能であることがわかります。しかし、トリックを使えば描く方法があります。紙を取り、下の四分の一を折りたたみます。左上の隅から四角を描き始めますが、下の線が折りたたんだ紙を横切るようにします。四角を描き終えたら、ページを元に戻し、左上の隅にペンを置いたまま、四角の三つの線を残します。残された図を分析すると、オイラーのテストを通過します。図9.7 図形を描くためのトリック：紙を折るネットワークは至る所に存在します：企業の構造、コンピュータの電気配線、異なる株式オプションの相互依存、輸送ネットワーク、私たちの体内の細胞間相互作用、小説の登場人物間の関係、私たちのソーシャルネットワーク。オブジェクトの集合とそれらのオブジェクト間の接続があるとき、ネットワークが存在します。理解しようとしている構造にネットワークが隠れているかどうかを分析する価値があります。ネットワークを特定すると、数学はその構造をナビゲートするためのショートカットを提供します。—ネットワーク内の最も重要なノードを特定するためのツール、片方からもう片方への速い道を持つ小さな世界にネットワークを変換するための戦略、余分な情報を排除し、実際に何が起こっているのかを見えるようにするトポロジカルマップ。ピットストップ9 神経科学最良のアイデアはどこからともなく現れるようです。考えないことが脳が答えへのショートカットを見つけるのを助けるかのようです。哲学者マイケル・ポランイは、この暗黙の思考プロセス、すなわち脳が無意識の、言葉にできない議論にアクセスすることが人間の思考の力の鍵であると信じていました。彼は「私たちは言葉にできる以上のことを知ることができる」と述べてこの主張を要約しました。これは私が数学を創造する際の体験そのものであり、なぜそれが正しいと感じるのかははっきりしないものの、答えを「見る」感覚です。私は数学的な風景がどのようなものかについての仮説を思いつくことができるのです。遠くの峰の存在を感じながら、そこに到達するための道をどうやって進むかはわからないのです。多くの数学者が、ひらめきの瞬間、脳がアイデアを私たちの意識に投げ込む様子について語っています。脳は無意識のうちに働き、解決策に到達すると、それを意識の領域に持ち上げることを知っています。私はこうしたひらめきを経験し、その後、私の無意識がどのようにこの結論に至ったのかを論理的に組み立てるという、しばしば痛みを伴う作業が続きます。 アンリ・ポアンカレは、ある問題に取り組んでいた際、全く進展がなかった有名な出来事を語っています。彼がデスクから離れ、心を休めているときに、突然その問題の解決策を思いついたのです。それはパリのバスに乗る瞬間でした。「足をステップに置いた瞬間、以前の考えから何も前触れもなく、フックス関数を定義するために使った変換が非ユークリッド幾何学のそれと同じであるというアイデアが浮かびました。」アラン・チューリングも、チューリングマシンのアイデアに取り組んでいるときに似たような体験をしました。チューリングは、カンブリッジのケム川の岸を走ることを楽しみ、ハードワークの後にリラックスする方法としていました。グランチェスターの近くの草原に仰向けに寝ているとき、彼は無理数の数学がどのようにして彼のチューリングマシンの計算能力に制限がある理由を示すのに使えるかを理解しました。 問題を考えずに解決する方法についてもっと学ぶために、私は神経科学者のオグニェン・アミジッチに連絡を取りました。彼は特定の専門分野に従事している人々の脳機能を探求しています。アミジッチは神経科学者になるつもりはありませんでした。彼の夢はチェスのグランドマスターになることでした。彼は何千時間も練習し、世界最高の教師とトレーニングするために旧ユーゴスラビアからロシアに移住しました。しかし、彼は最終的に頭打ちになり、専門家のレベル以上にランクを上げることができませんでした。アミジッチは、自分の脳の配線に何か問題があるのではないかと調査することに決めました。それで、彼は神経科学者になるための訓練を受け、アマチュアとグランドマスターの脳活動の違いを特定できるかどうかを研究し始めました。 彼は私にイギリスのグランドマスター、スチュアート・コンケストとチェスの対局をさせ、脳波計を使って脳活動の違いを示すことにしました。私はグランドマスターや専門家のレベルには全く及びませんが、論理的に考え、チェスの局面を分析して次の最善の手を見つけることはできます。私はゲームにかなり早く負けました。しかし、私が興味を持ったのはその結果ではなく、脳波計の結果でした。私たちはチェスをプレイする際に非常に異なる部分の脳を使っていることが分かりました。私はより多くの脳活動を使っているようでしたが、結果はあまり出ていませんでした。アミジッチの研究によれば、私のようなアマチュアプレイヤーは脳の中心にある内側側頭葉を使っていることが明らかになりました。これは、アマチュアの精神的鋭さがゲーム中の新しい異常な手を分析することに集中しているという解釈と一致しています。 これは、各手の結果についてのより明確な意識的分析のようなもので、アマチュアプレイヤーが自分の思考過程を解説するために声に出して表現できるかもしれません。それに対して、グランドマスターは前頭葉と頭頂葉の活動を活用し、内側側頭葉を完全にバイパスしています。前頭葉と頭頂葉は、直感とより関連付けられる脳の領域です。これらの領域を使うことは、長期記憶にアクセスすることを含み、より潜在意識的な思考過程に関与しています。グランドマスターは、なぜその手が良いのかを明確に説明できなくても、その手が良いと感じることがあるかもしれません。脳はその感覚の論理的な根拠を生み出すために一生懸命働くことはなく、内側側頭葉でエネルギーを無駄にすることはありません。意識的な思考をショートカットして解決策にたどり着いているのです。まるで私の脳が狂ったガゼルのように走り回っているのに対し、グランドマスターの脳はライオンのように静かに座っていて、致命的な一手を打つ前に余分なエネルギーを浪費しません。物議を醸すことに、アミジッチはアマチュアプレイヤーをスキャンすることで、彼らがグランドマスターになる可能性を持つ脳を持っているかどうかを判断できると考えています。なぜなら、キャリアの初めから彼らはすでにプレイ中に前頭葉と頭頂葉にアクセスしているからです。「誰もが、自分が望むものになれると考えたいと思っています」とアミジッチは言います。「もし彼らが人生でそれを達成できなければ、母親や政府、父親の支援、金銭的な不足など、何らかの責任を持つ人がいるということになります…だから彼らには説明があるのです。」しかし、アミジッチは、成功は10,000時間の練習に投資することや、優れた教育や指導を受けることではなく、遺伝に依存していると信じています。「あなたはグランドマスターとして生まれるか、平均的なチェスプレイヤーとして生まれるか、偉大な数学者や音楽家、サッカー選手として生まれるか、何であれ。人は生まれるものであって、作られるものではありません。私は、天才を作り出すことができるとは信じていませんし、そういった証拠も見たことがありません。」彼は、父親が息子をグランドマスターにしたいと切望していた子供をスキャンしたことを思い出します。彼は、その子供の脳が内側側頭葉で物事を分析することに固執していることが分かりました。彼は、この子供がエキスパート以上のレーティングを押し上げることはないだろうと信じ、父親に別の追求を考えるようにアドバイスしました。どうやら父親はそのアドバイスを無視したようで、アミジッチはその評価が正しかったことが後に証明されました。重要なのは、脳が良い直感を持っている活動を見つけることです。アミジッチの場合、最終的にはチェスではなく神経科学に優れた素質を持っていたと信じています。「人生は面白いものです。私はチェスプレイヤーとしてよりも、こちらの方が有名になりました。」私がチェスをプレイしている間に脳の活動が分析された結果、私はおそらくグランドマスターにはなれないことを学びました。 私の脳は良い手を打つためのショートカットを見つけられず、内側側頭葉を通る長い道を進むことに苦しんでいました。しかし、アミジックは、私が数学をしている間に脳をスキャンすれば、確かに直感的な部分にアクセスしていることがわかるだろうと提案しました。彼の研究からは、これが本当に遺伝の産物なのか、それとも脳を訓練することができるのかは明確ではありません。しかし、彼の研究は、最高のパフォーマンスを発揮している脳が、解決策への道のりを考えすぎずにショートカットを利用していることを特定しているようです。 第10章 パズル：グラストンベリー・フェスティバルでは、しばしばアストロレーブ劇場で演奏を行います。その後、他のすべてのステージを訪れるようにしています。地図上のすべてのステージを一度ずつ訪れ、アストロレーブで始まり、アストロレーブで終わる最短経路を見つけることができますか？ すべての問題にはショートカットがあります。身体に物理的な変化を要求する挑戦、例えば楽器を学ぶこと、セラピーを通じて脳を再配線すること、アスリートになるためのトレーニングなどには、達成するために時間と努力が必要です。しかし、別の範囲の挑戦にはショートカットがないかもしれないことがわかりました。数学者たちは、すべての可能な解決策を確認するという厳しい作業をしなければ解決できない問題がたくさんあると信じています。来年のクラススケジュールを計画している教師ですか？トラックのフリートが商品を配達するための最適なルートを計画している運送業者ですか？棚に箱を効率的に置く方法を探しているスーパーマーケットの在庫管理者ですか？あなたのチームがリーグのトップに立つ可能性があるか知りたいサッカーファンですか？難解な数独パズルを解くための良い戦略を探している数独ファンですか？これらすべての場合、あなたはショートカットを探しています。しかし、残念ながら、これらはより良い思考では解決策を見つけるのに役立たない挑戦かもしれません。ガウスでさえ、解決策を見つけるためにすべての可能なシナリオを確認するという厳しい作業をしなければならないでしょう。おそらく最も驚くべきことは、ショートカットの技術である数学が、特定の問題にはショートカットがないことを証明しようとしていることです。 数学者たちが解決策にショートカットがないと信じている古典的な問題は「巡回セールスマン問題」と呼ばれています。これは、都市のネットワークを巡る最短経路を見つけるという挑戦です。この名前は、1832年に発行された旅行セールスマンのためのハンドブックに由来しているようで、そこで問題が初めて定式化され、ドイツやスイスを巡るいくつかの例のツアーが示されています。現在まで、数学者たちは最短経路を見つけるためにすべての異なる可能な経路を試す以外に、より賢い方法を考案していません。問題は、都市を追加するにつれて可能なルートの数が急増し、すべての可能なルートをテストすることが、コンピュータを使っても完全に実行不可能になることです。解決策を見つけるためのより迅速な方法があるはずです。 オイラーやガウス、ニュートンのような数学者が、最短ルートを見つけるための巧妙な戦略を考え出せなかったのでしょうか？例えば、現在訪れている都市に最も近い都市を常に選ぶという方法はどうでしょうか？これは「最近傍法」と呼ばれています。この方法は、最適なルートよりも25％長いルートを生み出すことが多く、かなり良い結果を得られることがあります。しかし、このアルゴリズムを使うと、最短ルートではなく、都市を通る最長ルートを生成してしまうようなネットワークを簡単に作ることができます。いくつかのアルゴリズムは、与えられたネットワークに対して最適なパスよりも50％以上長くならないルートを保証するように開発されています。しかし、私が求めているのは、徹底的な探索をせずに最良のルートを見つけるための巧妙なショートカットです。この問題は数学者たちを非常に悩ませており、多くの人がそのようなショートカットは存在しないのではないかと疑い始めています。実際、21世紀の初めに選ばれた7つのミレニアム賞問題の1つは、旅行セールスマン問題を解くためのショートカットが存在しないことを証明するという挑戦です。この問題は「P対NP」と呼ばれ、ショートカットが存在しないことを証明できる数学者には100万ドルの賞金が与えられます。 ショートカットとは何でしょうか？この賞金を獲得するためには、この文脈でショートカットが何を意味するのかを数学的に定義することが重要です。長い道とショートカットの違いは、解決に指数関数的な時間を要するアルゴリズムと、多項式時間で済むアルゴリズムの違いとして数学的に表現されます。具体的にはどういうことかというと、この課題の核心にあるのは、1つのパズルに対して機能する方法だけでなく、出会うどのバージョンやサイズのパズルにも対応できるアルゴリズムを考案することです。問題は、与えたパズルのサイズに応じてアルゴリズムがどれくらいの時間を要するかです。 例えば、異なるパターンのある9枚のタイルがあるとします。これらの9枚のタイルを3×3のグリッドに配置し、隣接するマスのパターンが一致するようにしたいとします。タイルを配置する方法は何通りあるでしょうか？グリッドの左上隅に置くタイルには9つの選択肢があります。このタイルは4つの異なる向きに配置できます。つまり、合計で9×4=36通りの選択肢があります。次の位置には残りの8枚のタイルの選択肢があり、それぞれ4つの異なる向きがあります。グリッド全体を通して、すべてのタイルを配置する方法の総数は9!×49になります。もしコンピュータが1秒間に1億回のチェックを行えるとすると、これには15分以上かかります。悪くはありません。重要なのは、タイルの数を増やすと時間の要求がどれほど急激に増加するかです。では、今度は4×4のグリッドに16枚のタイルを考えたらどうなるでしょうか？ 同じ分析を用いると、チェックすべき組み合わせの数は16! × 416となります。これにより、すべてをチェックするのにかかる時間は2850万年に達します。単純な5×5のグリッドに移ると、宇宙の寿命をはるかに超えてしまいます。宇宙の寿命はわずか138億年です。n箇所のあるグリッドの場合、配置の数はn! × 4^nで表されます。ここでの4^nは、nに対して指数関数的に増加する関数として知られています。私は第1章で、この関数がどのように危険にエスカレートするかを説明しました。インドの王がチェスのゲームのために、盤面全体に指数関数的に増えていく米の粒を支払わなければならなかった話です。階乗n!は実際には指数関数的に増加するよりもさらに速く増加する関数です。これが「遠回り」の数学的定義です。問題を解くためのアルゴリズムで、解を計算するのにかかる時間が問題のサイズが大きくなるにつれてこのように指数的に増加する場合、その問題に対してはショートカットを見つけたいと思います。しかし、良いショートカットとは何でしょうか？それは、問題のサイズを増やしても比較的速く解を見つけることができるアルゴリズム、いわゆる多項式時間アルゴリズムの発見です。例えば、ランダムに選んだ単語をアルファベット順に並べたいとします。この単語のリストが長くなるにつれて、どれくらいの時間がかかるでしょうか？これを行うための単純なアルゴリズムは、最初のN個の単語のリストを調べ、辞書で最も前に来る単語を取り出します。それが終わったら、残りのN - 1個の単語に対して同じことを繰り返します。この方法では、単語をソートするためにN + (N - 1) + (N - 2) + ... + 1個の単語をスキャンする必要があります。しかし、ガウスの教室のショートカットのおかげで、これには合計でN × (N + 1)/2 = (N^2 + N)/2回のスキャンがかかることがわかります。これは多項式時間アルゴリズムの一例です。なぜなら、単語の数Nが増えるにつれて、必要なスキャンの数がNの二次方程式（Nを二乗する）として増加するからです。旅行セールスマン問題の場合、私が求めているのは、N都市を巡る際に、N^2や二次の数のルートだけをチェックすることで最短経路を見つけることができるアルゴリズムです。最初に考えたアルゴリズムは、残念ながら多項式ではありません。基本的には、まず訪れる都市を1つ選び、次の都市を選び、というように進めていきます。これにより、N都市の地図に対してN!のルートをチェックすることになります。前述のように、これは指数的な増加よりも悪化します。すべてのルートをテストするよりも良い戦略を見つけることが課題です。 ショートカットへのショートカット そのようなアルゴリズムが存在する可能性があることを示すために、一見同様に手に負えない問題を考えてみましょう。旅行セールスマンの地図上で2つの地点を選びます。この2つの都市の間の最短経路は何でしょうか？最初の印象では、まだ考慮すべき選択肢がたくさんあるように見えます。結局、出発都市に接続された都市のいずれかを訪れ始め、その都市に接続された都市のいずれかに向かうことができるからです。 私は再び都市の数に対して指数的に増加する何かに取り組んでいるようです。しかし、1956年にオランダのコンピュータ科学者エドスガー・W・ダイクストラは、二つの都市間の最短経路を見つけるための、より巧妙な戦略を考案しました。この戦略は、単語をアルファベット順に並べるのにかかるのと同じ二次時間で動作します。彼は、オランダのロッテルダムとフローニンゲンという二つの都市間の最速ルートという実際の問題について考えていました。ある朝、私は若い婚約者とアムステルダムで買い物をしていて、疲れたのでカフェのテラスに座り、コーヒーを飲んでいました。その時、私はこれを実現できるかどうか考えていて、最短経路のアルゴリズムを設計しました。それは20分での発明でした……。このアルゴリズムが素晴らしいのは、鉛筆と紙を使わずに設計したからです。後に、鉛筆と紙を使わずに設計することの利点の一つは、避けられる複雑さをほぼ強制的に避けることができるということを学びました。最終的に、そのアルゴリズムは、私の名声の礎の一つとなり、私を驚かせました。次の地図を考えてみましょう： **終了 14 (3)** **開始 ch** **図10.3** 最短経路は都市1から都市5までの間にどれか？ ダイクストラのアルゴリズムでは、出発都市である都市1から出発します。旅の各段階で、最短ルートを見つけるために、通過する都市に累積距離を付け加えます。まず、出発都市に接続されているすべての都市に、その距離をラベル付けします。この場合、都市2、都市3、都市6はそれぞれ7、9、14とラベル付けされます。最初の動きは、これらの都市の中で最も近い都市に移動することです。しかし、注意してください。アルゴリズムが問題を解決するために魔法をかけた後、これが最初に移動するのに最適な都市でない可能性があります。この図では、出発点である都市1から最も短い距離にある都市2に移動します。そして、出発した都市1を「訪問済み」としてマークします。新しい都市である都市2から、接続されているすべての都市のラベルを更新することを考えます。したがって、この場合、都市3と都市4のラベルを更新する可能性があります。まず、現在の都市である都市2を経由して、出発都市である都市1からの距離を計算します。この新しい距離がその都市の現在のラベルよりも短ければ、そのラベルを新しい距離で更新します。距離が長ければ、以前のラベルを保持します。都市3の場合、新しい距離（7 + 10）は長いため、元のラベル9を保持します。時には、都市4のように、前の都市に接続されていなかったためにラベルがまだ付いていないこともあります。この新しい都市には、計算した距離を使ってラベルを付けます。したがって、この場合、都市4には7 + 15 = 22とラベル付けされます。次に、再び現在いる都市を「訪問済み」としてマークし、出発位置からの現在の距離が最も小さい未訪問の都市に移動します。この例では、私は今、都市3に移動します。 ここでは、私の出発地点から都市2に向かうのが良いアイデアに見えたものの、実際にはそこからの距離が大きいため、アルゴリズムはおそらく私に都市3に向かうように導いている例を示します。再度、都市3に接続されている未訪問の都市のラベルを更新します。このプロセスを続けることで、最終的には目的地である都市5に到達し、出発した都市からの最短距離を示すラベルが付けられます。そこに到達するために通過した都市を、この距離を使って遡って確認することができます。私の例では、結局都市2を経由しなかったことに注意してください。最短ルートを見つけるために必要なステップ数はどれくらいかかるでしょうか？N都市の場合、これはアルファベット順に単語を並べるのと非常に似ています。各ステップで、もはや考慮する必要のない都市が除外されます。したがって、アルゴリズムの実行時間はN²、つまりNに対して二次的です。数学的な言語でのショートカットです！しかし、この数学的な言語でのショートカットは、実際には答えを出すのに非常に長い時間がかかることもあります。数学者は一般的に、多項式時間アルゴリズムを私たちが探しているショートカットと見なします。二次アルゴリズムはかなり速いですが、三次、四次、五次の多項式も数学的には速いと見なされますが、物理的には依然として長い時間がかかることがあります。もしコンピュータが1秒間に1億回の処理を行えるなら、小さなNの場合、あまり問題はありません。しかし、N²ステップで答えを見つけるアルゴリズムと、N³ステップを要するアルゴリズムの間には、時間に大きな違いがあります。1秒間で、N²アルゴリズムは1万都市のネットワークをチェックできますが、N³アルゴリズムは同じ数の都市をチェックするのに31,710年もかかります！それでも、これは数学的なショートカットと見なされています。10,000都市のネットワークをチェックするには、現在の指数アルゴリズムでは宇宙の寿命を超える時間が必要です。実際、100都市の計算でも、2の指数アルゴリズムでは宇宙の寿命を超えます。実用的な目的のためには、Nの累乗が最も少なくて済むアルゴリズムを見つけるために戦う価値があります。ショートカットには長さの違いがあります。 針と干し草の山 もしあなたが旅行セールスマンでなければ、すべての顧客に最短経路を見つけるためのショートカットがないことに影響されないことを望むかもしれません。しかし、問題は、同じ複雑さの問題を共有する多くの問題が存在することです。例えば、エンジニアリングの分野では、100の異なる場所を持つ回路基板を配線したい場合があり、ロボットが回路を作るためにワイヤを敷設する最も効率的な方法を見つける必要があります。ロボットが毎日何千ものこれらを作成することを考えると、ロボットがネットワークを移動するのにかかる時間が数秒短縮されるだけでも、会社にとっては大きな金額の節約につながる可能性があります。 ただ、私たちがショートカットを見つけたいのは、ネットワークを移動することだけではありません。ここでは、旅行セールスマン問題と同じ特性を持ついくつかの課題を紹介します。これらの問題は、解決策を見つけるためのショートカットが存在しないかもしれないと私たちは考えています。長い道のりを避けることができない場合もあるのです。たとえそれが偉大なガウスであっても！ **車のトランクチャレンジ** 異なるサイズの箱を車のトランクに運びたいとします。課題は、スペースを最も無駄にしない箱の組み合わせを見つけることです。実際、箱の寸法を入力して最適な組み合わせを出力する巧妙なアルゴリズムは存在しないことがわかりました。たとえば、すべての箱が同じ高さと幅で、ちょうどトランクの内部寸法と同じだとします。しかし、箱の長さは異なります。あなたのトランクは150 cmの長さで、梱包に使える箱の長さは次の通りです：16 cm、27 cm、37 cm、42 cm、52 cm、59 cm、65 cm、95 cm。トランクをできるだけ効率的に埋めるために、箱の組み合わせを選ぶ巧妙な方法はあるのでしょうか？ **学校の時間割チャレンジ** すべての学校は、学年の始まりにクラスの時間割を準備するという課題に直面します。しかし、学生が選択する科目は、いつ何をスケジュールできるかに制約を与えます。アダは化学と音楽を選択したため、これらの授業は同時にスケジュールできません。一方、アランは化学と映画研究を選びました。しかし、1日の授業は8コマしかありません。学校は、重複がないようにすべての授業を組み込む方法を見つけなければなりません。このような制約のもとで、クラスの時間割を組み立てることは、部屋にぴったり合わないカーペットを敷くような感覚になることがあります。あるコーナーにぴったり収まったと思ったら、別のコーナーではカーペットが浮き上がってしまうのです。または、数独を解いているときに、解決策が見つかったと思ったら、同じ行に2つの2があることに気づくようなものです。ああ、なんてことだ！ **数独** この日本のパズルの難解なバージョンを解こうとしたことがあるなら、次の数字を推測しなければならないポイントにしばしば直面するでしょう。その後、その推測の論理的な帰結を考えなければなりません。もしそれが間違った推測で矛盾が生じた場合、あなたは推測をした瞬間まで戻り、別の道を試さなければなりません。 **ディナーパーティーチャレンジ** 学校の時間割に似た課題が、友人をディナーに招待したいが、特定の友人同士が仲が悪く、同じディナーに招待できない場合に発生します。全員をディナーに招待しつつ、誰も嫌いな人と同じディナーに来ないようにするために必要な最小限のディナーパーティーの数を見つけることは、学校の時間割を組み立てる課題に似ています。 **地図の色塗り** このような課題も存在します。 任意の地図を取り、隣接する国が同じ色にならないように色を塗ろうとすると、常に4色で実現可能です。しかし、果たして3色だけで済むのでしょうか？3色で足りるかどうかを判断する唯一の方法は、地図の色塗りのさまざまな方法を試すことです。数独のように、最初の選択が後に2つの国に同じ色を強いることになります。すべての可能性を試すのは、国の数が増えるにつれて指数関数的に難しくなります。最大でも4色で済むという事実は、20世紀に証明された偉大な定理の一つです。1890年には5色で十分であることが示されました。その証明はそれほど複雑ではなく、数学者がよく使うショートカットに依存していました。5色で塗れない地図があると仮定します。国の数が最も少ない例を考えます。すると、巧妙な分析によって1つの国を取り除いても、残った地図が5色で塗れないことを示すことができます。しかし、これは最初に考えた地図が最小の国の数のものであるという事実と矛盾します。困ったことに、この巧妙なショートカットは、4色で足りることを示そうとすると機能しないようでした。数学者たちは、国を取り除くことで依然として塗れない地図が得られる理由を示すことができませんでした。それでも、誰も反例を思いつくことができませんでした。最終的に1976年に、4色で足りることを証明する方法が見つかりましたが、それは決してショートカットとは見なされませんでした。実際、その証明にはコンピュータの力を借りて数千のケースをチェックする必要があり、人間が整理することは不可能でした。この証明は数学における転換点であり、コンピュータが証明の終わりに至る道を強引に進むために使われた初めての例でした。まるで山脈にぶつかり、向こう側の谷に至る巧妙な道を見つけられなかったかのようでした。その代わりに、機械を使って山の斜面に穴を開けました。数学界には、この定理を証明するためにコンピュータが使われたことに対して不安を感じる人々が多くいました。証明は、4色で足りる理由を人間に理解させるためのものであり、単にそれが真実かどうかを判断するためのものではありません。人間の脳は作り出せる接続に限界があるため、ショートカットは脳が物事の本質を理解するために絶対に必要です。もし証明が遠回りを強いられると、脳にその証明を読み込むことができず、真の理解を得られないように感じます。地図の色塗りの課題に関連する問題は、点が選ばれた線で結ばれたネットワークを扱うことです。線は国の境界のようなものです。この課題は、線で結ばれた点が同じ色にならないように色を塗るために必要な最小の色の数を知ることです。サッカー。 私が好きな例の一つは、サッカーに関する問題で、解決のための近道が見つからないものです。ここで言うサッカーとは、実際のプレーではなく、シーズンの終わりに差し掛かると現れる素晴らしい挑戦についてです。それは、現在のリーグの順位を考慮したときに、私のチームがまだチャンピオンシップを勝ち取る可能性が数学的にあるのかということです。これが簡単な作業だと思うかもしれません。私のチームがすべての試合に勝ち、勝利ごとに3ポイントを獲得し、それがトップに立つのに十分かどうかを確認すればいいのです。しかし、実際には、他のチーム間の試合結果を考慮しなければなりません。明らかに、私は現在順位のトップにいるチームにたくさん負けてもらいたいのですが、そうすると彼らが対戦するチームが勝ってポイントを獲得することになります。もし私が彼らにポイントを与えすぎて、結局彼らがトップに立ってしまったらどうなるのでしょうか？これは、試合や結果のさまざまな組み合わせを考慮しなければならない別の問題です。勝ち、負け、引き分けを割り当てるたびに、私は数独のように後戻りしてしまいます。なぜなら、私が割り当てた結果の一つが、私の慎重なバランスを崩してしまうからです。現在存在するアルゴリズムは、リーグ内のチーム数に対して指数関数的です。この問題の挑戦は、私のチームがリーグで勝つ数学的なチャンスがまだあるかどうかを迅速に教えてくれる近道を見つけることです。しかし、私がこの問題をとても好きな理由は、過去に学校に通っていた頃には、そのようなアルゴリズムが存在していたからです。その間に何が起こったのでしょうか？アルゴリズムを失ったわけではなく、ポイントの割り当て方が変わったのです。私が学校にいた頃、チームは勝利で2ポイント、敗北で0ポイント、引き分けで1ポイントしか獲得できませんでした。これは、チームが退屈な引き分けを狙うことを促すと考えられていました。そこで1981年に、チームが勝利を目指すようにインセンティブを与えるための決定がなされました。2ポイントの代わりに、勝利で3ポイントを獲得できるようになったのです。一見無害な変更のように思えますが、チームがリーグの順位でトップに立つ可能性を計算する挑戦に劇的な影響を与えました。重要な変更点は、1981年以前は、勝敗や引き分けに関係なく、チーム間で分配される総ポイント数が決まっていなかったことです。20チームが互いに2回、ホームとアウェイで対戦するため、20 x 19の試合があります。旧システムでは、各試合に2ポイントが結果に応じて分配されるため、シーズン終了時の総ポイント数は2 x 20 x 19 = 760ポイントが20チーム間で分配されていました。しかし、今日の状況は非常に異なります。各試合は、勝者に3ポイントが与えられるか、引き分けの場合はそれぞれ1ポイントずつが与えられます。もしシーズン中のすべての試合が引き分けであれば、再び760ポイントになります。しかし、引き分けがなければ、総ポイントは3 x 20 x 19 = 1140ポイントになります。 この新しいポイント数の変動は、以前は私のチームがリーグで勝つための数学的なチャンスがあるかどうかを判断できた成功したアルゴリズムがもはや機能しないことを意味します。これらの問題の魅力的な点は、もし偶然に解決策の手がかりを見つけることができれば、それが本当にその課題を解決するかどうかをすぐに確認できることです。私はこれらの問題を「干し草の中の針」と呼ぶのが好きです。針を見つけるという最初の課題は、どこに針があるかを絞り込む手助けがほとんどない長くて徹底的な探索を必要としますが、一度手が針に触れると、それが針だとすぐにわかります。金庫を開けるのも同様で、1つの組み合わせの後に別の組み合わせを試すのに時間がかかりますが、正しい組み合わせを入力するとドアはすぐに開きます。 これらの「干し草の中の針」問題、または技術的な名称であるNP完全問題には、非常に特異な特徴があります。各問題には、できるだけ短時間で解決策を見つけるためのカスタマイズされた戦略が必要だと考えるかもしれません。しかし、もしあなたが旅行セールスマンが直面する任意の地図で最短経路を見つける高速な多項式時間アルゴリズムを発見した場合、それは他のすべての問題にもそのようなアルゴリズムが存在することを意味します。これにより、ショートカットを見つけるという課題が短縮されます。1つの問題にショートカットがあれば、それはリスト上の他のどの課題にもショートカットに変換できます。トールキンを誤引用するなら、「すべてを解決するための1つのショートカット」です。このことがなぜ真実である可能性があるのかを示すために、私が説明したいくつかの問題を互いに翻訳する方法を見てみましょう。例えば、学校のスケジュール問題を考えてみましょう。私は授業と時間枠、そして避けるべき授業の衝突がありました。この情報を使って、各授業をネットワークの点とし、授業間の衝突を衝突する2つの授業の間に引く線に対応させるネットワークを構築できます。そうすると、時間枠を割り当てることは、グラフの点に色を付けて、線で結ばれた2つの点が同じ色にならないようにするという課題とまったく同じになります。 ショートカットの欠如を利用することについてですが、ショートカットがないことが非常に重要な設定もあります。これは、壊れないコードを作成する場合に当てはまります。コード作成者は、可能性を徹底的に探る以外に暗号化されたメッセージを解読する方法がないように見える事実を利用したいと考えています。例えば、コンビネーションロックを考えてみましょう。4つのダイヤルがあり、それぞれのダイヤルに10の数字があるロックは、0000から9999までの10,000通りの異なる数字を確認する必要があります。時には、製造が不良なロックが、最初のダイヤルがセットされたときにロック装置に物理的な変化をもたらすため、ロックが解除される位置を明らかにすることがありますが、一般的には、泥棒がすべての組み合わせを試すことをショートカットする方法はありません。 しかし、他の暗号システムには、ショートカットを作成するために悪用できる弱点が明らかになっています。例えば、古典的なシーザー暗号や置換暗号があります。これは、文字を体系的に別の文字と交換するコードです。例えば、AのすべてのインスタンスはGに置き換えられます。次に、Bは残りの文字のいずれかに置き換えられます。このようにして、アルファベットの各文字に新しい文字が割り当てられます。選べるコードはたくさんあります。アルファベットの文字を並べ替える方法は26!通りあります。（並べ替えの中には、文字がそのままの状態で残る場合もあります。例えば、XがXにエンコードされることです。興味深い挑戦として、すべての文字が変更されるコードはいくつあるでしょうか？）この数の大きさを理解するために、26!秒はビッグバン以来の時間よりも長いことになります。もしハッカーが暗号化されたメッセージを傍受した場合、メッセージを解読するために多くの異なる組み合わせを試さなければなりません。しかし、このコードには弱点があり、9世紀の博学者ヤクーブ・アル＝キンディがそれを見抜きました。それは、いくつかの文字が他の文字よりも頻繁に現れるということです。例えば、英語ではEが最も一般的な文字で、テキストの13％を占め、その次にTが9％の頻度で現れます。文字にはそれぞれ独自の性格があり、他の文字と結びつく傾向が反映されます。英語では、Qの後には必ずUが続きます。アル＝キンディは、ハッカーがこれを利用して置換暗号でエンコードされたメッセージを攻撃するためのショートカットにできることに気づきました。エンコードされたテキストに対して頻度分析を行い、最も頻繁に現れる文字を平文で最も多く現れる文字と照合することで、ハッカーはメッセージを解読するための第一歩を踏み出します。頻度分析を使用することは、これらのコードを解読するための驚くべきショートカットであり、最初に見えるほど安全ではないことがわかりました。第二次世界大戦中、ドイツ人はこのショートカットを回避できる置換暗号の異なる使い方を見つけたと考えていました。彼らのアイデアは、メッセージ内の各新しい文字をエンコードするために異なる置換暗号を使用することでした。これにより、もし彼らがEEEEをエンコードしている場合、各Eは異なる文字に送信され、アル＝キンディの頻度分析を使用した攻撃を防ぐことができました。彼らがこの多重置換暗号エンコーディングを実現した方法は、エニグマ機という機械を作ることでした。現在でも、戦争中のイギリスの暗号解読者たちの拠点であるブレッチリー・パークで、この機械の一つを見ることができます。一見すると、この機械はキーボードを持つ従来のタイプライターのように見えますが、キーボードの上には別の文字のコピーが走っています。私がキーの一つを押すと、キーボードの上の文字の一つが点灯しました。これが、私がこの文字をエンコードする方法でした。本質的に、この機械の内部の配線は、古典的な置換暗号で文字を混乱させていたのです。 しかし、キーを押した瞬間、カチッという音が聞こえ、機械の中心にある三つのローターの一つが一段階動くのが見えました。同じ文字を再度押すと、異なる電球が点灯しました。これは、キーボードからライトへの配線が再配置されていたためです。配線は歯車を介して接続されており、歯車の位置が変わると、機械内の配線も変わります。このように、歯車が動くことで、機械は各文字に対して異なる置換暗号を使用することが保証されます。全体として、これは解読不可能に見えました。私が機械を設定するために使用できる歯車は6つあり、それぞれの歯車は26通りの設定が可能でした。さらに、機械の背面には別の固定された混乱を加えるための配線セットがありました。これにより、機械の設定方法は158兆兆通りにもなりました。オペレーターがメッセージを暗号化するためにどの設定を使用したのかを見つけ出すことは、まるで干し草の中から針を探すような究極の作業に思えました。ドイツ人たちは、この機械が生成するコードが解読不可能であると完全に自信を持っていました。しかし、彼らは20世紀のガウスとも言える数学者アラン・チューリングの巧妙な技術を考慮に入れていませんでした。彼はブレッチリー・パークに座り、システムの弱点を見抜き、徹底的な検索を短縮する方法を見つけました。鍵となるのは、機械が同じ文字で別の文字を暗号化することは決してないということでした。配線は常に文字を異なる文字に送ります。これは機械に関する無邪気な事実のように見えますが、チューリングはこれを利用して機械を追跡し、特定のメッセージがどのように暗号化されたのかの可能性を大幅に絞り込む方法を見出しました。彼は最終的な検索を行うために機械を使用する必要がありました。ブレッチリー・パークの小屋は、チューリングのショートカットを実装した機械「ボンブ」の音で一晩中ハム音を立てていました。しかし、毎晩それは連合軍に、ドイツ人が安全に送信していると思っていたメッセージへのアクセスを提供しました。 **主要な容疑者** 今日、インターネットを通じて飛び交うクレジットカードを保護するコードは、本質的にショートカットがないと考えられている数学的問題を利用しています。これらの暗号の一つ、RSAと呼ばれるものは、神秘的な数、素数に依存しています。各ウェブサイトは、約100桁の素数を2つ秘密裏に選び、それらを掛け合わせます。その結果、約200桁の数が得られ、これがウェブサイト上で公開されます。これがそのウェブサイトのコード番号です。私がウェブサイトを訪れると、私のコンピュータはこの200桁の数を受け取り、これを使ってクレジットカードに関する数学的計算を行います。この暗号化された数はインターネットを通じて送信されます。これは安全です。なぜなら、計算を元に戻すためには、ハッカーがそのウェブサイトの200桁のコード番号を生成する2つの素数を見つけなければならないからです。 この暗号技術が安全と見なされる理由は、まるで針を干し草の中から探し出すような問題だからです。数学者たちが知っている素数を見つける唯一の方法は、一つずつ試していくことで、突然、ウェブサイトのコード番号を正確に割り切る針に当たることを期待することです。ガウス自身も、彼の著作『算術研究』の中で、数を素数に分解するという課題について書いています。素数と合成数を区別し、合成数を素因数に分解する問題は、算術において最も重要で有用な問題の一つとされています。この問題は、古代から現代の幾何学者たちの知恵を引きつけてきたため、詳細に議論するのは冗長と言えるでしょう。さらに、この科学の威厳自体が、これほど優雅で有名な問題の解決のためにあらゆる可能な手段を探求することを要求しているようです。彼は、この問題がインターネットや電子商取引の時代にどれほど重要になるかを理解していませんでした。現在までのところ、大きな数を割り切る素数を見つけるための近道は誰も見つけていません。偉大なガウスでさえもです。私たちが知っている唯一の方法は、一つずつ素数をチェックすることです。200桁の数字を解読するために必要な素数の数は非常に膨大で、そのような攻撃は全く効果がありません。現在、徹底的な探索を避けるための近道は知られていません。素因数分解の課題は本質的に難しいのではないかと考えています。これは、数学者たちが現在取り組んでいるオープンな問題の一つです。素数を見つけるための近道が存在しないことを証明できるでしょうか？しかし、待ってください。ウェブサイトはどのようにメッセージを解読するのでしょうか？ポイントは、約100桁の素数を2つ選び、それらを掛け合わせて200桁の公開コード番号を生成するプロセスを開始したことです。このウェブサイトだけが、その計算を元に戻すための素数を持っています。しかし、素数を見つけることは、数学者たちがまだ解決していない問題の一つではないでしょうか？素数が数の宇宙の中でどのように配置されているかを解明すること、すなわちリーマン予想は、七つのミレニアム賞問題の一つです。しかし、数学者たちが素数の分布を正確に理解していないにもかかわらず、私たちは実際にこれらのインターネットコードのための大きな素数を見つけるための興味深い近道を持っています。それは、17世紀の偉大なフランスの数学者ピエール・ド・フェルマが素数について発見したことに依存しています。彼は、pが素数であり、nがpより小さい任意の数である場合、nをpの冪乗にすると、pで割ったときの余りはnになることを証明しました。例えば、2の5乗は32で、5で割ると余りは2になります。これは、候補となる数qが素数かどうかをテストしたい場合、qより小さい数でこのテストに失敗する数を見つけることができれば、qが素数でないことが分かるということです。例えば、2の6乗は64で、6で割ると余りは4で、2ではありません。 これは、6がフェルマーのテストに失敗するため、素数ではないことを意味します。もし、q未満の数の中でテストに失敗するのが1つだけであれば、このテストはあまり役に立たないでしょう。そうなると、q未満のすべての数をテストする必要があり、直接的に割り切れないかどうかを確認した方が良いかもしれません。このテストの大きな利点は、潜在的な素数が失敗した場合、その失敗が非常に明白に現れることです。フェルマーの手法を用いると、q未満の数の半分以上がqが素数でないことを証明する証人となります。しかし、問題もあります。素数のように振る舞う数も存在し、フェルマーの証人が存在しないために素数と見なされることがありますが、実際には素数ではありません。これらは擬似素数と呼ばれます。しかし、1980年代後半に、数学者のゲイリー・ミラーとマイケル・ラビンは、フェルマーのアプローチを洗練させ、素数性を保証するテストを多項式時間で実行できるようにしました。ただし、この素晴らしい近道を得るためには、彼らはまず非常に高い山の頂上、すなわちリーマン予想（またはその一般化）を登る必要があると仮定しなければなりませんでした。ミラーとラビンは、数学者たちがこの頂上を越える方法を見つければ、素数を見つけるための近道を保証できることを証明しました。この頂上が重要なのは、多くの数学者がそれを越えることで多くの近道にアクセスできることを示しているからです。私自身も、リーマン予想が真であることを証明できれば、何かが真である理由を示すいくつかの定理を持っています。しかし、山を回避する巧妙な方法があるかもしれないという可能性を決して諦めてはいけません。2002年、数学界は、インド工科大学カンプール校に所属する3人のインドの数学者、マニンドラ・アグラワル、ニラージ・カヤール、ニティン・サクセナが、リーマン山を越えることなく多項式時間で数が素数かどうかをテストする方法を考案したという興奮のニュースに揺れました。この発見の2人の著者はアグラワルと共に学部生であり、アグラワル自身も数学界の多くの数論研究者には知られていませんでした。この出来事は、20世紀初頭に数学者G.H.ハーディに手紙を書いて数学的発見を伝えた偉大なラマヌジャンの物語を思い起こさせました。この突破口は、リーマン山を越えることを仮定せずに多項式時間で機能する素数性のテストを確立しましたが、実際的にはあまり実用的なアルゴリズムではありませんでした。前述のように、多項式の次数を知ることは重要です。もしそれが2次であれば、処理は速くなります。アグラワル、カヤール、サクセナが提案した元のアルゴリズムは、次数12の多項式を持っていました。 これはアメリカの数学者カール・ポメランスとオランダの数学者ヘンドリック・レンストラによって6に削減されましたが、前に説明したように、数学的にはショートカットですが、実際にはすぐに速度が落ちてしまいます。インターネットのセキュリティが大きな素数の健全な供給に依存していることを考えると、ウェブサイトはどのようにしてそれらを迅速に見つけ、金融サービスを効率的に運営しているのでしょうか？鍵となるのは、数が素数であることを保証する必要はないが、高い信頼性を持って素数であると判断できるアルゴリズムを使用することです。もし数が素数でも擬似素数でもない場合、その数未満の半分の数はフェルマーのテストに失敗します。しかし、もし私が本当に運が悪くて、テストに合格した半分を試してしまったらどうなるでしょうか？非素数性の証拠を見つけるためには、半分の数をテストする必要があるようです。しかし、証拠を見逃す確率はどれくらいでしょうか？例えば、100回テストを行って証拠を得られなかったとしましょう。それは、その数が素数または擬似素数であるか、あるいは210の0乗分の1の確率で全ての証拠を見逃したことを意味します。それは私が賭ける価値のある賭けです！その数が擬似素数でないという非常に長いオッズですが、私は証拠を見つけられなかったのです。素数を見つけるための優れたアルゴリズム、決定論的および確率的なものがある一方で、コードを破るための従来のアルゴリズムは存在しないようです。もう少し型破りな方法はどうでしょうか？ 量子ショートカット 従来のコンピュータが数を因数分解しようとする際に直面する問題の一つは、次のテストに進む前に一つの試行を実行する必要があることです。私が本当に望んでいるのは、コンピュータをビットに分割し、それぞれのビットに異なるテストを行わせることです。並列処理は、アクションを加速する非常に効果的な方法です。家を建てるケースを考えてみましょう。ロサンゼルスで開催された、どの建設チームが最も早く家を建てられるかを競うコンペティションでは、200人の建設作業員が並行して作業を行ったチームが勝利し、4時間で家を建てました。明らかに、順序で行う必要がある作業もあります。高層ビルを建てたり、地下駐車場を掘ったりする場合は、次の階を追加する前に各階を建設する必要があります。しかし、数をテストして因数分解しようとしている数を割り切れるかどうかを確認する作業は、並行して行うのに最適なタスクです。各タスクは他のチェックの結果に依存しません。並列処理の問題は、物理的なキャパシティの問題が依然としてあることです。問題を半分に分けることで、チェックを実行する時間を2倍に短縮しましたが、必要なハードウェアの量は倍増しました。このアプローチは因数分解の問題を根本的に解決するものではありません。しかし、もしハードウェアを倍増させることなくこの並列処理を行うことができればどうでしょうか？これは、1990年代にベル研究所で働いていた数学者ピーター・ショアのアイデアで、彼はかなり型破りな計算を利用して同時にテストを行うことができることに気づきました。 そのアイデアは、量子世界の奇妙な物理学を利用することでした。量子物理学では、電子のような粒子を観測する前に、実質的に同時に二つの位置に存在させることが可能です。この二つの位置を0と1と呼びましょう。これを量子重ね合わせといいます。この利点は、ハードウェアが二倍になっていないことです。実際には一つの電子が、二つの情報を同時に保存しているのです。これをキュービットと呼びます。従来のコンピュータは、ビットをオンかオフのいずれかに設定しなければなりませんが、0または1のいずれかに分かれたこのキュービットは、並行する量子世界に分かれます。一方はスイッチが0に設定され、もう一方は1に設定されています。したがって、これらのキュービットをたくさんつなげることが考えられます。例えば、64個のキュービットを量子重ね合わせの状態にできれば、この64個のキュービットのバンクは同時に0から2^64 - 1までのすべての数を表すことができます。従来のコンピュータは、これらの数を順番に処理し、各ビットを0または1に設定しなければなりません。しかし、量子コンピュータはそれを同時に行うことができます。まるで私の従来のコンピュータが、電子のように並行する宇宙の中で同時に存在しているかのようです。それぞれの宇宙で64個のキュービットが異なる数に設定されています。しかし、ここからが本当に面白い部分です。各並行世界で、私がその数が暗号数を割り切るかどうかをコンピュータに確認させます。しかし、どうやって量子コンピュータが因数分解が行われる世界を見つけ出すことができるのでしょうか？これがショアの素晴らしいトリックで、彼が量子アルゴリズムに組み込んだものです。量子重ね合わせを観測すると、それは決断を下し、どちらかの状態に崩壊しなければなりません。基本的には、0の位置か1の位置のいずれかを選ぶのです。どちらに進むかを決定する確率があります。ショアが成し遂げたのは、各並行宇宙でテストの因数分解を行った後、因数分解が行われた世界に崩壊する確率が圧倒的になるようなアルゴリズムを組み立てることでした。因数分解が失敗した他の世界は十分に似ていたため、互いに打ち消し合い、唯一際立ったのは因数分解が行われた世界でした。時計の文字盤の位置を指す12の異なる方向を想像してみてください。すべての方向が同じ長さであれば、これらの方向をすべて足し合わせると、互いに打ち消し合い、時計の中心に向かうことになります。しかし、もしそのうちの一つが他のすべての方向の2倍の長さだったらどうでしょう？その場合、私は長い方向を指すことになります。これは、テストの因数分解の量子観測で実際に起こることです。ショアは1994年にソフトウェアを書いたものの、そのアルゴリズムを実装できる量子コンピュータを構築することは遠い夢のように思われました。量子状態に関する問題の一つは、デコヒーレンスと呼ばれるものです。 64量子ビットが互いに観測し始めると、計算を行う前に状態が崩壊してしまいます。これが、シュレーディンガーの猫が実現不可能かもしれないと考えられる理由の一つです。確かに、電子は重ね合わせの状態に置くことができますが、猫を構成する全ての原子を同時に死んでいる状態と生きている状態にすることはどうやって可能なのでしょうか。多数の原子が相互作用を始めると、デコヒーレンスが起こり、重ね合わせが崩れてしまいます。しかし、近年では同時に量子状態を隔離するための驚くべき進展がありました。2019年10月、Nature誌にGoogleの研究者による「プログラム可能な超伝導プロセッサを用いた量子優越性」というタイトルの論文が発表されました。この論文では、53量子ビットを重ね合わせの状態にすることができ、約10^101までの数を同時に表現できる能力を持つことが報告されています。このコンピュータは、従来のコンピュータでは1万年かかる特定のタスクを実行することができました。このニュースは非常に興奮を呼びましたが、量子コンピュータに求められたタスクは数の因数分解に匹敵するものではなく、使用されているハードウェアに非常に特化したものでした。多くの人々は、Googleが「量子優越性」という見出しを少し過剰に宣伝していると感じました。IBMの量子コンピューティングチームはこの発表に対して厳しい批判をし、Googleチームが実施したタスクは従来のコンピュータで数日で実行できるものであり、1万年ではないことを示しました。それでも、非常に興味深い結果でした。しかし、クレジットカードの詳細をハッキングできる量子コンピュータを作成することは、まだしばらく先のようです。 生物計算についてはどうでしょうか？旅行セールスマン問題については？非従来型の手段を使ってショートカットを見つけることができるでしょうか？旅行セールスマン問題に関連する問題があり、研究者たちは非従来型の計算手法を利用して解決しています。ハミルトン経路問題と呼ばれるこの課題は、地図上の都市を結ぶ一方通行の道路のネットワークを巡る方法を見つけることです。 問題は、ある都市（例えば都市A）から始まり、別の都市（例えば都市E）で終わる経路を見つけることですが、その経路は途中で他の全ての都市を一度だけ訪れなければなりません。そのような経路は可能でしょうか？これは旅行セールスマン問題と同じくらい複雑です。しかし、再び並列処理に適した問題です。ただし、量子の世界を利用するのではなく、数学者レナード・アデルマンはこの問題に生物学を利用する興味深い方法を考案しました。（アデルマンはRSAのAであり、オンライン取引を安全に保つために素数を利用する暗号技術の名前です。）1994年にMITでのセミナーで、アデルマンはハミルトン経路問題に取り組むために構築したスーパーコンピュータTT-100を発表しました。彼がジャケットのポケットから試験管を取り出したとき、聴衆は困惑しました。 TTは試験管を意味し、100はこの小さなプラスチックバイアルに含まれる100マイクロリットルを指していることがわかりました。この試験管の中で作業を行っていたのは、小さなDNAの鎖でした。DNAの鎖は、A、T、C、Gの4つの塩基から構成されています。これらの塩基は、AとT、CとGのようにペアで結合することを好みます。これらの塩基からなる短い一本鎖をオリゴヌクレオチドと呼びますが、これらはペアになる塩基を持つ別の鎖を見つけようとします。例えば、ACAという鎖は、TGTという鎖と結合して安定した二本鎖DNAを形成しようとします。アドレマンのアイデアは、ナビゲートしようとしている地図上の各都市に8つの塩基からなるラベルを付けることでした。そして、2つの都市の間に一方通行の道路がある場合、彼は出発都市のコード番号からなる最初の8つの塩基と、道路の終点となる都市に対応する補完的な8つの塩基からなる16塩基のDNA鎖を作成しました。もしA市に入る道路と出る道路があれば、これらの道路のための2つの16塩基の鎖は、A市に入る道路の最後の8つの塩基と、A市から出る道路の最初の8つの塩基で結合します。これらの道路に沿った都市の周りのルートは、実際にDNA鎖が互いに結合することで再現可能でした。例えば、A市はATGTACCAというラベルを持ち、B市はGGTCCACG、C市はTCGACCGGというラベルを持つことができます。AからBへの道路は次のように表されます。 ATGTACCACCAGGTGC BからCへの道路は次のように表されます。 GGTCCACGAGCTGGCC これらの2つの道路は、最初のルートの最後の8つの塩基と、2番目のルートの最初の8つの塩基で結合し、A市からC市への旅が可能であることを示します。素晴らしいことに、商業ラボからこのようなDNA鎖を大量に注文することが可能です。アドレマンは7つの都市のネットワークを探索するために十分な量を注文し、試験管にその鎖を満たしました。そして、並列処理の行為として、鎖は結合し始め、ネットワークを通るさまざまな経路を作成しました。もちろん、その多くは都市を一度だけ訪れるという課題に違反していました。しかし、アドレマンは、彼が求めていたルートは、8（出発都市）+ 6 x 8（各道路）+ 8（目的地都市）の長さのDNA鎖であることに気づきました。彼はこれらを溶液からフィルタリングし、各都市がシーケンスのどこかに現れる鎖をチェックすることができました。このプロセスは遺伝子指紋のようなものでした。全体のプロセスには1週間以上かかりましたが、それでも生物学の世界を利用して効率的に並列処理できる機械を作るという興味深い可能性を開きました。化学者たちは物質のモル単位で遊ぶことに満足していますが、1モルにはアボガドロ数の分子が含まれています。これは約6 x 10^23、つまり非常に大きな数です。 アドレマンは、生物界の非常に小さなものを利用することが、従来の計算課題における非常に大きなものをナビゲートするための近道になる可能性があると考えています。自然はすでにこのことを理解しているのかもしれません。実際、スライムモールドという奇妙な生物が、地図上で最も効率的なルートを見つけるのが得意であることがわかりました。スライムモールド（Physarum polycephalum）は、単細胞のプラズモイド生物で、食料源を探しながら一点から外側に成長します。彼らが最も好む食べ物はオートミールです。オックスフォードと札幌のチームは、スライムモールドに東京の鉄道網の駅に配置されたオートミールの周りで最短ルートを見つけるという課題を与えました。人間の技術者たちは、都市を結ぶ最も効率的な方法を作るのに何年もかけてきました。スライムモールドはどのように比較されるのでしょうか？最初、スライムモールドはオートミールの位置について何も知らず、すべての方向に成長を始めます。しかし、食料源に出会うと、食べ物を見つけられなかった多くの枝が枯れ、食料源間の最も効率的なルートだけが残ります。数時間以内に、スライムモールドはその構造を洗練させ、異なる場所間で効率的にナビゲートするルートを作成します。この実験を行ったチームが驚いたのは、スライムモールドの生成したパターンが、人間が東京の鉄道システムを設計した方法に非常に似ていたことです。人間は何年もかけてきましたが、スライムモールドは午後のうちにそれを成し遂げました。この単細胞のスライムモールドは、数学の大きな未解決問題の一つを解決する手助けとなる近道を知っているのでしょうか？ パズルの解決策 こちらが旅行セールスマンの地図上の最短経路です。より短い経路がないことを確認するのに時間がかかりました。時には、解決しようとしている問題に近道がないことを知ることも同じくらい重要です。遠回りが目的地への唯一の道であることを知っていれば、近道を見つけようとする無駄な時間を避けることができます。そして、すべての作業を行うのであれば、時間を無駄にしていないことを知っておく価値があります。ある問題をまったく異なる問題に変える近道を使って、解決しようとしている課題が実際には旅行セールスマン問題の変装であるかどうかを確認できます。近道がない場合、暗号解読者たちが行っているように、これを自分の利益に利用することができるかもしれません。 到着 人間の創意工夫は、世代を超えて私たちの種の発展を加速させるさまざまな近道を生み出してきました。 私たちが現在占めている技術的に進んだ地位に到達することができたのは、より良い思考法のポートフォリオがあったからです。数字のための記号というショートカットがなければ、3を超えるものはただの「たくさん」に見えるだけです。地球上を移動する私たちの物理的な旅は、その幾何学を理解することでより効率的になりました。宇宙に行ったのは566人だけで、月を超えた人はいませんが、三角法のショートカットを使って深宇宙を航行しています。パターン認識の力と微積分を使って、未来を垣間見るための旅を短縮することができました。確率のショートカットのおかげで、どの結果がより可能性が高いかを理解するために、実験を何百回も繰り返す必要がなくなりました。インターネット上で目的を探し回るのではなく、巧妙な分析方法によって、目的地への道をショートカットすることができます。私たちは、-1の平方根のような新しい数を考案し、解決策へのショートカットとして踏み込むことができる鏡の世界を作り出しました。飛行機は、この想像上の世界を通ることで安全に着陸します。面倒な労働を避けることが、私が数学の旅に出た初めの理由でした。無思考の労働を避けることは、若い頃の怠惰な自分にとって魅力的でした。私の数学の先生には感謝しています。彼は、クラスを退屈な反復や計算に押し込むのではなく、数学が賢く考えることだと教えてくれました。しかし振り返ってみると、ショートカットの核心には逆説があることにも気づき始めました。数学者の仕事は新しい賢い思考法を発見することですが、これらのショートカットを考案するのは簡単ではありません。数学をするには、問題について何時間も瞑想し、考え続け、なかなか進展がないことが必要です。そして突然、理解の高まりが訪れ、問題の奥深くにあるショートカットを発見するのです。しかし、何時間も瞑想し、黄色い法的メモ帳にランダムに落書きすることをしなければ、その発見の高揚感を得ることはできません。その「アハ！」の瞬間のスリルが私の欲求です。それが私の麻薬です。そして、隠された通路、ショートカットを発見することで、私はその向こう側にたどり着くのです。結局、私がショートカットの技術に専念したのは、実際には怠惰だからではないことに気づきました。むしろその逆です。ショートカットを見つけるための努力が、その満足感を生み出すのです。山に直面したとき、ヘリコプターで頂上に行くこともできます。景色を楽しむことはできますが、ロバート・マクファーレンが私に説明してくれたように、登山者であればそれは本来の目的を損なうことになります。頂上に達する満足感こそが、努力をする理由なのです。「肉体を透明に歩く」ために。私はハーバードの物理学者メリーサ・フランクリンと、偉大な未解決問題に取り組む知的な挑戦について話したことを思い出します。 ある時、彼女は私に仮想のボタンを押すことを提案しました。それを押せば、私が取り組んでいるすべての問題の答えが得られるというものでした。私はそのボタンに手を伸ばしましたが、彼女は私の手を掴みました。「本当にそれを押したいの？楽しみがなくなっちゃうんじゃない？」と。ナタリー・クラインも同じような懸念を表明しました。もしチェロを弾くための近道があったとしても、それは演奏を魅力的でなくしてしまうかもしれません。心理的なフローの恍惚とした瞬間を得ることは、スキルと難しい挑戦を組み合わせることに関わっています。 私のお気に入りのハリウッド映画の一つは『グッド・ウィル・ハンティング』です。部分的には、数学者のノーベル賞とも言えるフィールズ賞がポピュラー文化で初めて言及される場所の一つだからです。しかし、この映画は、フラストレーションを感じる問題に何時間も取り組むことの重要性を示しています。それは、問題を解決するための近道を発見する瞬間の前戯のようなものです。『グッド・ウィル・ハンティング』の中心人物は、マット・デイモンが演じる数学科の清掃員で、黒板に書かれた問題を見てすぐに解決法を理解します。翌朝、数学の教授たちがその解答が黒板に書かれているのを見て驚愕します。しかし最終的に、デイモンのキャラクターは数学者にはなりません。私にとって、その理由は彼がそれをあまりにも簡単だと感じるからです。彼が追いかけている女の子こそが、明白な解決策のない複雑な問題であり、これが映画の終わりに彼の旅を動機づけるのです。 数学的な近道の重要な特徴の一つは、問題に真正面から取り組んだ後の努力の結果として、恍惚とした解放の瞬間を提供することです。私が求めている近道は、教科書の後ろで答えを調べることではありません。それは満足のいく近道ではありません。最良の近道は、問題に苦しむ努力の後に現れるものです。それは音楽的な特質を持っていて、音楽の緊張が最終的に解決されるようなものです。 興味深い逆説が浮かび上がってきました。それは、近道を求める動機が、最初は長時間のハードワークを避けたいという気持ちから来ているかもしれませんが、最終的にはその近道を見つけるために同じくらいの努力をすることになるかもしれないということです。しかし、努力を表す曲線の性質が、なぜ私が近道よりもその努力を楽しむのかを反映しているのかもしれません。もし私が1から100までの数字を足すのにかかる努力のグラフを描いたら、それはおそらく一定の grind（努力）を示すもので、時間が経ってもあまり変わらず、総努力が線形的に増えていくように見えるでしょう。一方、近道を見つけるための努力を示すグラフは、はるかに予測不可能です。上下の波があり、最後の方で急上昇し、その後近道が実行されるときに急降下するでしょう。重要なのは、この時点から、努力のグラフが基準の最小値を超える必要がないということです。その後は近道がその仕事をしてくれるからです。長期的なグラフは、依然として一定の grind を続けています。 もう一つの興味深い逆説は、ハンス・ウルリッヒ・オブリストが指摘したものです。 迂回路は不可欠です。しばしば、迂回路を経ることで最良の近道にたどり着くことができます。フェルマーの最終定理の証明が数学者たちを導いた迂回路は、私たちがその道中で出会った奇妙な道や小道のすべてに値するものです。その迂回路は、私たちが旅の途中で生み出さざるを得なかった多くの驚くべき近道の発見へとつながりました。近道の力は、しばしばそれを辿る人々に目的地により早く到達する機会を与えることにあります。2016年、世界で最も長く深いトンネルが開通しました。57キロメートルのゴッタルドトンネルはアルプスの下を通り、北ヨーロッパと南ヨーロッパを結んでいます。建設には17年かかりましたが、現在そのトンネルを通る列車は片道17分で一端からもう一端へと移動します。ガウスの最後の旅の一つは、ハノーファーとゲッティンゲンを結ぶ新しい鉄道の開通式に出席することでしたが、それが彼の最後の外出となりました。彼の健康は徐々に悪化し、ガウスは1855年2月23日の早朝に眠るように亡くなりました。ガウスは、数学者になるきっかけとなった発見の一つである17角形の幾何学的な構成を彼の墓石に刻むように頼みました。しかし、その記念碑を彫ることになった石工はそのデザインを見て、刻むことを拒否しました。その構成は理論的には17角形を生み出すかもしれませんが、石工はそれがただの大きな円に見えるだろうと考えたのです。私が学生時代に学んだ近道は、その創造者たちが何年もの深い思考をかけて切り開いたものです。しかし、一度トンネルが作られると、それを辿る人々はできるだけ早く知識の最前線に到達する機会を得ることができます。若き日のガウスは、1から100までの数字を足すという課題を終えた教室で、新しいことを考えるチャンスを得ました。そして、私にとってこれが近道の意義です。無意味な作業に時間を費やすことで、自分自身の探求、新しい発見、視野を広げる機会を奪ってしまいます。近道は、私が新しく刺激的でやりがいのある事業に努力を注ぐことを可能にしてくれます。ですから、私たちが歩んできた旅が、あなたに賢く考えるための近道を提供し、新しい思考のための時間を解放してくれることを願っています。一つの近道の終わりは、新しい旅を始めるチャンスです。ガウスは、1808年9月2日付の友人ファルカス・ボルヤイへの手紙の中で、知識の追求に関する彼の見解をまとめています。「知識そのものではなく、学ぶ行為こそが、所有することではなく、そこに到達する行為こそが、最も大きな喜びをもたらすのです。あるテーマを明確にし尽くしたとき、私はそれから離れ、再び暗闇に入るのです。決して満足しない人は本当に奇妙です。彼が一つの構造を完成させたとき、それは平穏にそこに留まるためではなく、別のものを始めるためなのです。私は、世界を征服する者がこう感じるのだろうと思います。彼は一つの王国をほとんど征服した後、他の王国を求めて腕を伸ばすのです。近道は旅を早く終えるための道ではなく、新しい旅を始めるための踏み石なのです。」 それは、他の人々が知識の最前線に迅速に到達し、自らの暗闇への旅を始めるために整備された道であり、掘られたトンネルであり、架けられた橋です。ガウスや歴代の数学者たちが磨き上げてきた道具を手に、次なる偉大な征服に向けて腕を伸ばしてください。